專題四 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

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1、專題四 數(shù)列、推理與證明第 2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用主 干 知 識(shí) 梳 理熱 點(diǎn) 分 類 突 破真 題 與 押 題高考對(duì)本節(jié)知識(shí)主要以解答題的形式考查以下高考對(duì)本節(jié)知識(shí)主要以解答題的形式考查以下兩個(gè)問(wèn)題：兩個(gè)問(wèn)題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項(xiàng)公以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項(xiàng)公式，考查用等差、等比數(shù)列知識(shí)分析問(wèn)題和探式，考查用等差、等比數(shù)列知識(shí)分析問(wèn)題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題；究創(chuàng)新的能力，屬中檔題；2.通過(guò)分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列通過(guò)分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問(wèn)題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及的求和問(wèn)題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸

2、思想的應(yīng)用，屬中檔題轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題考情解讀主干知識(shí)梳理1.數(shù)列求和的方法技巧數(shù)列求和的方法技巧(1)分組轉(zhuǎn)化法分組轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開(kāi)或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列數(shù)列通項(xiàng)拆開(kāi)或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并或常見(jiàn)的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并.(2)錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列方法主要用于求數(shù)列anbn的前的前n項(xiàng)和，其中項(xiàng)和，其中an

3、，bn分分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(3)倒序相加法倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和倒序相加法求和.(4)裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或n項(xiàng)的差，通過(guò)相項(xiàng)的差，通過(guò)相加過(guò)程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和加過(guò)程中的相互抵消，最后只剩下

4、有限項(xiàng)的和.這種方這種方法，適用于求通項(xiàng)為法，適用于求通項(xiàng)為 的數(shù)列的前的數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中項(xiàng)和，其中an若為等差數(shù)列，則若為等差數(shù)列，則 .常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：2.數(shù)列應(yīng)用題的模型數(shù)列應(yīng)用題的模型(1)等差模型：如果增加等差模型：如果增加(或減少或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加該模型是等差模型，增加(或減少或減少)的量就是公差的量就是公差.(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比是公比.(3)混合模

5、型：在一個(gè)問(wèn)題中同時(shí)涉及等差數(shù)列和等混合模型：在一個(gè)問(wèn)題中同時(shí)涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型比數(shù)列的模型.(4)生長(zhǎng)模型：如果某一個(gè)量，每一期以一個(gè)固定生長(zhǎng)模型：如果某一個(gè)量，每一期以一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)增加的百分?jǐn)?shù)增加(或減少或減少)，同時(shí)又以一個(gè)固定的具體，同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加量增加(或減少或減少)時(shí)，我們稱該模型為生長(zhǎng)模型時(shí)，我們稱該模型為生長(zhǎng)模型.如分如分期付款問(wèn)題，樹(shù)木的生長(zhǎng)與砍伐問(wèn)題等期付款問(wèn)題，樹(shù)木的生長(zhǎng)與砍伐問(wèn)題等.(5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項(xiàng)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項(xiàng)an與它與它的前一項(xiàng)的前一項(xiàng)an1(或前或前n項(xiàng)項(xiàng))間的遞推關(guān)系式，我們可以間的遞推

6、關(guān)系式，我們可以用遞推數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題用遞推數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.熱點(diǎn)一 分組轉(zhuǎn)化求和 熱點(diǎn)二 錯(cuò)位相減法求和 熱點(diǎn)三 裂項(xiàng)相消法求和熱點(diǎn)分類突破 熱點(diǎn)四 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例1等比數(shù)列等比數(shù)列an中，中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列下表的同一列.熱點(diǎn)一 分組轉(zhuǎn)化求和第一列第一列第二列第二列第三列第三列第一行第一行3210第二行第二行6414第三行第三行9818(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；思維啟迪 根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個(gè)推敲確定根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個(gè)推敲確定

7、an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；解當(dāng)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；時(shí)，不合題意；當(dāng)當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；時(shí)，符合題意；當(dāng)當(dāng)a110時(shí)，不合題意時(shí)，不合題意.因此因此a12，a26，a318，所以公比，所以公比q3.故故an23n1(nN*).(2)若數(shù)列若數(shù)列bn滿足：滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn.思維啟迪 分組求和分組求和.解因?yàn)橐驗(yàn)閎nan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以所以Sn2(133n1)111

8、(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正在利用分組求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)負(fù)交替的，所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最進(jìn)行

9、討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)公式后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)公式.思維升華變式訓(xùn)練1已知數(shù)列已知數(shù)列an中，中，a11，anan1()n(nN*).(1)求證：數(shù)列求證：數(shù)列a2n與與a2n1(nN*)都是等比數(shù)列；都是等比數(shù)列；證明因?yàn)橐驗(yàn)閍nan1()n，an1an2()n1，又又a11，a2 ，所以數(shù)列，所以數(shù)列a1，a3，a2n1，是，是以以1為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；為公比的等比數(shù)列；數(shù)列數(shù)列a2，a4，a2n，是以，是以 為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，為公比的等為公比的等比數(shù)列比數(shù)列.(2)若數(shù)列若數(shù)列an的前的前2n項(xiàng)和為項(xiàng)和為T2n，令，令bn(3T2n)n(n1)，求數(shù)列，求數(shù)

10、列bn的最大項(xiàng)的最大項(xiàng).bn13(n1)(n2)()n1，所以所以b1b4bn，所以所以(bn)maxb2b3 .例2設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，已知，已知a11，Sn12Snn1(nN*)，(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；熱點(diǎn)二 錯(cuò)位相減法求和思維啟迪n1時(shí)，時(shí)，Sn2Sn1n兩式相減得兩式相減得an的遞推關(guān)系式，然的遞推關(guān)系式，然后構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)；后構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)；解Sn12Snn1，當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，Sn2Sn1n，an12an1，an112(an1)，又又S22S12，a1S11，an12n，即，即an2n1(nN*).(2)若若bn ，數(shù)列，數(shù)列bn的前的

11、前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Tn，nN*，證明：證明：Tn0，前，前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，S36，且滿足，且滿足a3a1,2a2，a8成等比數(shù)列成等比數(shù)列.(1)求求an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；熱點(diǎn)三 裂項(xiàng)相消法求和思維啟迪 利用方程思想可確定利用方程思想可確定a，d，寫出，寫出an；解由由S36，得，得a22.a3a1,2a2，a8成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，(2d)(26d)42，解得解得d1或或d ，d0，d1.數(shù)列數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為ann.(2)設(shè)設(shè)bn ，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Tn的值的值.思維啟迪 利用裂項(xiàng)相消法求利用裂項(xiàng)相消法求Tn.裂項(xiàng)相消法適合于形如裂項(xiàng)相消法適合于

12、形如 形式的數(shù)列，其形式的數(shù)列，其中中an為等差數(shù)列為等差數(shù)列.思維升華變式訓(xùn)練3已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，且滿足是遞增數(shù)列，且滿足a4a715，a3a88.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；解根據(jù)題意根據(jù)題意a3a88a4a7，a4a715，所以所以a4，a7是方程是方程x28x150的兩根，且的兩根，且a480，當(dāng)當(dāng)n7時(shí)，由于時(shí)，由于S6570，因?yàn)橐驗(yàn)閍n是遞減數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列.所以必須在第九年年初對(duì)所以必須在第九年年初對(duì)M更新更新.解答數(shù)列應(yīng)用題，與函數(shù)應(yīng)用題的求解過(guò)程類似，解答數(shù)列應(yīng)用題，與函數(shù)應(yīng)用題的求解過(guò)程類似，一般要

13、經(jīng)過(guò)三步：一般要經(jīng)過(guò)三步：(1)建模，首先要認(rèn)真審題，理解建模，首先要認(rèn)真審題，理解實(shí)際背景，理清數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列實(shí)際背景，理清數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題；問(wèn)題；(2)解模，利用所學(xué)的數(shù)列知識(shí)，解決數(shù)列模型中的解模，利用所學(xué)的數(shù)列知識(shí)，解決數(shù)列模型中的相關(guān)問(wèn)題；相關(guān)問(wèn)題；(3)釋模，把已解決的數(shù)列模型中的問(wèn)題返回到實(shí)際釋模，把已解決的數(shù)列模型中的問(wèn)題返回到實(shí)際問(wèn)題中去，與實(shí)際問(wèn)題相對(duì)應(yīng)，確定問(wèn)題的結(jié)果問(wèn)題中去，與實(shí)際問(wèn)題相對(duì)應(yīng)，確定問(wèn)題的結(jié)果.思維升華變式訓(xùn)練4設(shè)某商品一次性付款的金額為設(shè)某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的元，以分期付款的形式等額地分成形式等額地分

14、成n次付清，若每期利率次付清，若每期利率r保持不變，保持不變，按復(fù)利計(jì)算，則每期期末所付款是按復(fù)利計(jì)算，則每期期末所付款是()解析設(shè)每期期末所付款是設(shè)每期期末所付款是x元，元，則各次付款的本利和為則各次付款的本利和為x(1r)n1x(1r)n2x(1r)n3x(1r)xa(1r)n，答案B本講規(guī)律總結(jié)1.數(shù)列綜合問(wèn)題一般先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是做數(shù)列綜合問(wèn)題一般先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是做好該類題的關(guān)鍵好該類題的關(guān)鍵.若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運(yùn)用公式求解，否則常用下列方法求解：接運(yùn)用公式求解，否則常用下列方法求解：(2)遞推關(guān)系形如遞推關(guān)系形如an1anf(n)

15、，常用累加法求通項(xiàng)，常用累加法求通項(xiàng).(3)遞推關(guān)系形如遞推關(guān)系形如 f(n)，常用累乘法求通項(xiàng)，常用累乘法求通項(xiàng).(4)遞推關(guān)系形如遞推關(guān)系形如“an1panq(p、q是常數(shù)，且是常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，常用待定系數(shù)法的數(shù)列求通項(xiàng)，常用待定系數(shù)法.可設(shè)可設(shè)an1p(an)，經(jīng)過(guò)比較，求得，經(jīng)過(guò)比較，求得，則數(shù)列，則數(shù)列an是一個(gè)等比是一個(gè)等比數(shù)列數(shù)列.(5)遞推關(guān)系形如遞推關(guān)系形如“an1panqn(q，p為常數(shù)，且為常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，此類型可以將關(guān)系式兩邊同除以的數(shù)列求通項(xiàng)，此類型可以將關(guān)系式兩邊同除以qn轉(zhuǎn)化為類型轉(zhuǎn)化為類型(4)，或同除以，或同除以pn1轉(zhuǎn)

16、為用迭加法求解轉(zhuǎn)為用迭加法求解.2.數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型：數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型：(1)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題求解求和問(wèn)題求解.(2)并項(xiàng)求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和并項(xiàng)求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.(3)分組求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯(cuò)位分組求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法或并項(xiàng)法求和的幾個(gè)數(shù)列的和相減法或裂項(xiàng)相消法或并項(xiàng)法求和的幾個(gè)數(shù)列的和求解求解.提醒：運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，相減后，要注意右邊的運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，相減后，要注意右邊的n1項(xiàng)中的前項(xiàng)中的

17、前n項(xiàng)，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩邊需項(xiàng)，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時(shí)注意要討論代數(shù)式是否為零除以代數(shù)式時(shí)注意要討論代數(shù)式是否為零.3.數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解析問(wèn)數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解析問(wèn)題的能力題的能力.其中，建立數(shù)列模型是解決這類問(wèn)題的其中，建立數(shù)列模型是解決這類問(wèn)題的核心，在解題中的主要思路：核心，在解題中的主要思路：首先構(gòu)造等差數(shù)列首先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項(xiàng)公式與求和公或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項(xiàng)公式與求和公式求解；式求解；通過(guò)歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識(shí)求解通過(guò)歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識(shí)求解.真題感悟 押題精練真題

18、與押題12真題感悟1.(2013湖南湖南)設(shè)設(shè)Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和，項(xiàng)和，Sn(1)nan ，nN*，則：，則：(1)a3_；(2)S1S2S100_.12真題感悟解析anSnSn112真題感悟根據(jù)以上根據(jù)以上an的關(guān)系式及遞推式可求的關(guān)系式及遞推式可求.12真題感悟真題感悟212.(2014課標(biāo)全國(guó)課標(biāo)全國(guó))已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足a11，an13an1.(1)證明證明an 是等比數(shù)列，并求是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；證明(1)由由an13an1，真題感悟21真題感悟21因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，時(shí)，3n123n1，真題感悟21押題精練1231.如圖，一個(gè)類似楊輝

19、三角的數(shù)陣，則第如圖，一個(gè)類似楊輝三角的數(shù)陣，則第n(n2)行行的第的第2個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為_(kāi).押題精練123解析由題意可知：圖中每行的第二個(gè)數(shù)分別為由題意可知：圖中每行的第二個(gè)數(shù)分別為3,6,11,18，即即a23，a36，a411，a518，a3a23，a4a35，a5a47，anan12n3，累加得：累加得：ana2357(2n3)，ann22n3.答案n22n3押題精練1232.秋末冬初，流感盛行，特別是甲型秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H1N1流感流感.某醫(yī)某醫(yī)院近院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列an，已知已知a11，a22，且，且an2an1(1)n(nN*)，則該醫(yī)院則該醫(yī)院30天入院治療甲流共有天入院治療甲流共有_人人.押題精練123解析由于由于an2an1(1)n，所以所以a1a3a291，a2，a4，a30構(gòu)成公差為構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，所以所以a1a2a29a3015152 2255.故該醫(yī)院故該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為天入院治療甲流的人數(shù)為255.答案255押題精練1233.已知數(shù)列已知數(shù)列bn滿足滿足3(n1)bnnbn1，且，且b13.(1)求數(shù)列求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；即數(shù)列即數(shù)列bn的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式bnn3n.押題精練123押題精練123