常用數(shù)值分析方法3插值法與曲線(xiàn)擬合

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1、3 插值法與曲線(xiàn)擬合,3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理 3.2 插值法（Lagrange插值法） 3.3 曲線(xiàn)擬合（最小二乘法）,平行試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理，誤差分析。,根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)定的離散數(shù)據(jù)，求未測(cè)的某點(diǎn)數(shù)據(jù)。,根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)定的離散數(shù)據(jù)，擬合曲線(xiàn)，分析數(shù)據(jù)規(guī)律，求函數(shù)表達(dá)式。,,3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理,,系統(tǒng)誤差 偶然誤差 過(guò)失誤差,,,3.1.1誤差,3.1.2 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析,（4）剔出錯(cuò)誤數(shù)據(jù),（5）用標(biāo)準(zhǔn)形式表示統(tǒng)計(jì)處理結(jié)果,（1）算術(shù)平均值,（2）標(biāo)準(zhǔn)偏差,（3）平均標(biāo)準(zhǔn)偏差,返回（1）重算,,函數(shù)常被用來(lái)描述客觀事物變化的內(nèi)在規(guī)律數(shù)量關(guān)系，如宇宙中天體的運(yùn)行，地球上某地區(qū)平均氣溫的變化等等，但在生

2、產(chǎn)和科研實(shí)踐中碰到的大量的函數(shù)中，不僅僅是用解析表達(dá)式表示的函數(shù)，還經(jīng)常用數(shù)表和圖形來(lái)表示函數(shù)，其中函數(shù)的數(shù)表形式在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用廣泛，主要原因是有相當(dāng)一部分函數(shù)是通過(guò)實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到的一些數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)只是某些離散點(diǎn) xi 上的值（包括函數(shù)值f (xi)，導(dǎo)數(shù)值 f(xi)等,i = 1,2,,n)，雖然其函數(shù)關(guān)系是客觀存在的，但卻不知道具體的解析表達(dá)式，因此不便于分析研究這類(lèi)數(shù)表函數(shù)的性質(zhì)，也不能直接得出其它未列出點(diǎn)的函數(shù)值，我們希望能對(duì)這樣的函數(shù)用比較簡(jiǎn)單的表達(dá)式近似地給出整體的描述。,3.2 插值法（ Interpolation ）,3.2.1 概述,另一方面，有些函數(shù)，雖然有解析表達(dá)式

3、，但因其過(guò)于復(fù)雜，不便于計(jì)算和分析，同樣希望構(gòu)造一個(gè)既能反映函數(shù)的特性又便于計(jì)算的簡(jiǎn)單函數(shù)，近似代替原來(lái)的函數(shù)。 如在積分 中，當(dāng)f (x)很復(fù)雜，要計(jì)算積分 I 是很困難的，構(gòu)造近似函數(shù)使積分容易計(jì)算，并且使之離散化能上機(jī)計(jì)算求出積分I，都要用到插值逼近。,解決上述問(wèn)題的方法有兩類(lèi)：一類(lèi)是對(duì)于一組離散點(diǎn)(xi,f (xi)) (i = 1, 2, ,n)，選定一個(gè)便于計(jì)算的函數(shù)形式(x)，如多項(xiàng)式，分段線(xiàn)性函數(shù)，有理式，三角函數(shù)等，要求(x)通過(guò)點(diǎn)(xi)=f (xi) (i = 1, 2,,n),由此確定函數(shù)(x)作為f (x)的近似。這就是插值法。這里的 g(x) 稱(chēng)為f

4、(x) 的插值函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是 ?,另一類(lèi)方法在選定近似函數(shù)的形式后，不要求近似函數(shù)過(guò)已知樣點(diǎn)，只要求在某種意義下它在這些點(diǎn)上的總偏差最小。這類(lèi)方法稱(chēng)為曲線(xiàn)（數(shù)據(jù)）擬合法，將在下一節(jié)介紹。,,,,g(x) f(x),多項(xiàng)式,f(x),已知：一系列離散的（互不相同的）點(diǎn)xi ， yi（i = 1，2，n） 求：給定點(diǎn) x 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 y 或近似函數(shù)表達(dá)式。,思路,構(gòu)造函數(shù) y=p(x),代數(shù)多項(xiàng)式 ：,,,算法,拉格朗日（Lagrange）法,,兩點(diǎn)插值（線(xiàn)性插值） 一元三點(diǎn)插值（拋物線(xiàn)插值） 一元多點(diǎn)插值（插值公式的一般形式） 分段插值,,已知點(diǎn)滿(mǎn)足該函數(shù),其他：牛頓（Newto

5、n）插值法、 Hermite插值法、樣條函數(shù)插值法等。,歸納一下：,3.2.2 線(xiàn)性插值,已知：兩點(diǎn)( x1 , y1）、( x2, y2 ） 求：兩點(diǎn)間任意 x 對(duì)應(yīng)的 y 值。,插值函數(shù)：y=p1(x),近似直線(xiàn),實(shí)際曲線(xiàn),,,理論函數(shù)：y=f(x),直線(xiàn)方程：,,,（插值多項(xiàng)式）,,特點(diǎn)：,,3.2.3 拋物線(xiàn)插值,已知：三點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其間任意 x 對(duì)應(yīng)的 y 值,插值函數(shù)：y=p2(x),近似拋物線(xiàn),實(shí)際曲線(xiàn),,,理論函數(shù)：y=f(x),插值基函數(shù)：,插值多項(xiàng)式,,,3.2.4 Lagrange插值的一般形式,已知：n點(diǎn)（x1，y1）、（x2

6、，y2）（xn，yn） 求：其間任意 x 對(duì)應(yīng)的 y 值,（1）構(gòu)造插值基函數(shù),（2）插值多項(xiàng)式,,3.2.5 分段插值（分段拋物線(xiàn)插值）,各區(qū)段函數(shù)規(guī)律明顯不同,適用條件,處理方法,插值公式,分段基點(diǎn),分段,3.3 曲線(xiàn)擬合,插值法的不足,曲線(xiàn)擬合,對(duì)逼近函數(shù)P(x)不必要求過(guò)給定的點(diǎn)， 而用一條近似的曲線(xiàn)來(lái)接近這些測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)。,問(wèn)題：在大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi , yi) (i =1,2,,n) 中尋找其函數(shù)關(guān)系y =f (x) 的近似函數(shù)P (x)，是在實(shí)踐中常遇到的。,3.3.1 概述,,求經(jīng)驗(yàn)公式,求模型參數(shù),已知：試驗(yàn)數(shù)據(jù)和相應(yīng)函數(shù)關(guān)系（或稱(chēng)：數(shù)學(xué)模型） 求：其中的參數(shù)值,已知：試

7、驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1，2，，n 求：函數(shù)關(guān)系式 y = f(x),3.3.2 求經(jīng)驗(yàn)公式多項(xiàng)式擬合,擬合多項(xiàng)式,已知：n組試驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1，2，，n 求：函數(shù)關(guān)系式 y=f(x),,偏差 Ri =,盡可能最小,盡可能最小,,,3.3.2.1 概述,盡可能最小,3.3.2.2 最小二乘技術(shù),最小,多元函數(shù)的極值問(wèn)題,=,,( k = 0 , 1 , 2 , , m ),解多元線(xiàn)性方程組,m 的確定,,略,3.3.2.3 多項(xiàng)式的次數(shù)（m）的確定,初設(shè) m=1,,為預(yù)先選定的一個(gè)足夠小的正數(shù),3.3.2.4 多項(xiàng)式擬合舉例,例1 設(shè)在某材料的熱膨脹系數(shù)試驗(yàn)中，測(cè)得一批數(shù)據(jù)

8、如表3.1所示，希望用一簡(jiǎn)單公式表示這些數(shù)據(jù)的關(guān)系。,表3.1 熱膨脹系數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù),解：由數(shù)據(jù)之間的關(guān)系和我們已知的材料熱膨脹規(guī)律可知，這些點(diǎn)大體上分布在一條直線(xiàn)上，因此可用線(xiàn)性式表示為：,,如果我們將上述六組數(shù)據(jù)代入上式，可得：,顯然，上述方程組中只有兩個(gè)未知參數(shù)，任取兩個(gè)方程即可解出a, b。其幾何意義就是任選兩點(diǎn)，連成一線(xiàn)，故該法又稱(chēng)“選點(diǎn)法”。然而，由于試驗(yàn)誤差的存在，這些點(diǎn)并不會(huì)在同一條直線(xiàn)上，因此隨著選點(diǎn)不同，得到的a, b的值也有差異，如：,選1、2點(diǎn)得：,選4、5點(diǎn)得：,解之得：,解之得：,造成上述不同結(jié)果的原因是當(dāng)試驗(yàn)觀測(cè)點(diǎn)數(shù)大于待定參數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，代入所有點(diǎn)數(shù)據(jù)將出現(xiàn)一個(gè)矛盾

9、方程組，選點(diǎn)法并未充分利用所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)，故結(jié)果不可靠；而用曲線(xiàn)擬合法，則可避免該問(wèn)題。,仍設(shè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)滿(mǎn)足直線(xiàn)關(guān)系：,用前面介紹的最小二乘法進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，此處是最簡(jiǎn)單的一元線(xiàn)性擬合。,（1）用最小二乘法（偏導(dǎo)）分析或直接用前面介紹的公式寫(xiě)出最小二乘法得到的線(xiàn)性方程組的系數(shù)表達(dá)式：,,（2）代入試驗(yàn)數(shù)據(jù)得：,（3）進(jìn)而得到線(xiàn)性方程組：,解之得：,說(shuō)明：假如我們事前并不能從試驗(yàn)數(shù)據(jù)中看出其近似滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系，則可用一般的多項(xiàng)式擬合程序進(jìn)行擬合（即：設(shè)定一定的誤差限，先設(shè)多項(xiàng)式次數(shù)m=1，進(jìn)行擬合，得到一線(xiàn)性表達(dá)式，判斷誤差，若滿(mǎn)足誤差要求，則停止，否則m=m+1，重新擬合得二次多項(xiàng)式，再判誤差，直到滿(mǎn)

10、足誤差要求為止）。 對(duì)該例，在誤差要求不是太高的情況下，經(jīng)m=1線(xiàn)性擬合即可達(dá)到要求，得到線(xiàn)性表達(dá)式。如果誤差限非常低，則將擬合出高次，但可以發(fā)現(xiàn)，該例的高次系數(shù)非常非常小，相比a, b值，完全可忽略。,,求經(jīng)驗(yàn)公式,求模型參數(shù),已知：試驗(yàn)數(shù)據(jù)和相應(yīng)函數(shù)關(guān)系（或稱(chēng)：數(shù)學(xué)模型） 求：其中的參數(shù)值,已知：試驗(yàn)數(shù)據(jù)（xi，yi），i=0，1，2，，n 求：函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),曲 線(xiàn) 擬 合,,3.3.3 模型參數(shù)的確定,已知：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系（或稱(chēng)數(shù)學(xué)模型），含未知參數(shù)。 求：其中的未知參數(shù)值。,3.3.3.1 線(xiàn)性模型的參數(shù)確定,函數(shù)關(guān)系通式,為方便起見(jiàn)，可令x01使上式變?yōu)椋?/p>

11、,（多元線(xiàn)性回歸）,利用最小二乘技術(shù)求出模型中的各待定參數(shù)aj（j = 0, 1, 2, , m）,例如：已知n組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：x1i、x2 i、、xmi yi （i = 1, 2, , n），且函數(shù)關(guān)系式可用式（6.33）表示，求模型中各參數(shù)值。,1、計(jì)算偏差的平方和,2、由最小二乘技術(shù)的限制條件,可得到一個(gè)由m+1個(gè)含有m+1個(gè)未知數(shù)（aj j = 0, 1, 2, , m）的線(xiàn)性方程構(gòu)成的多元線(xiàn)性方程組（見(jiàn)下頁(yè)）,m+1元線(xiàn)性方程組,具體展開(kāi)為：,3、解線(xiàn)性方程組（全主元消去法 ） 即得：要求的已知線(xiàn)性模型中的未知參數(shù)。,3.3.3.2 簡(jiǎn)單非線(xiàn)性模型的參數(shù)確定,簡(jiǎn)單非線(xiàn)性模型能通過(guò)簡(jiǎn)單

12、的數(shù)學(xué)變換（變量代換等） 轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性模型的非線(xiàn)性模型。,參數(shù)確定的關(guān)鍵：就在于變量代換，即：通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，使之轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線(xiàn)性模型，然后就可運(yùn)用線(xiàn)性模型的求解方法解之 。,例1. 用非線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)公式 擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)xi、yi （i = 1, 2, , n），求模型參數(shù)a、b。,令：,則有：,解：公式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：,例2. 已知一活化極化體系的陽(yáng)極極化過(guò)程符合如下規(guī)律： 現(xiàn)通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得其n組陽(yáng)極極化數(shù)據(jù)為：Ei、iai（i = 1, 2, , n），求該體系腐蝕速度icor和Tafel斜率ba。,則式（6.36）變?yōu)椋?作變量代換：,,3.3.3.3 一般非線(xiàn)性模型的

13、參數(shù)確定,例1活化極化控制的腐蝕體系的基本動(dòng)力學(xué)方程式,例2充電曲線(xiàn)方程式,迭代的最小二乘技術(shù)（以充電曲線(xiàn)方程式的擬合為例 ）,a) 數(shù)學(xué)變換,,,移項(xiàng)變形,兩邊求對(duì)數(shù),變量代換,所以：,b) 近似處理變超越方程為線(xiàn)性方程,,c) 用最小二乘法擬合線(xiàn)性模型，求出其中的參數(shù)u、v、z,,,,,迭代的最小二乘技術(shù) 高斯牛頓曲線(xiàn)擬合法。,一般非線(xiàn)性模型的參數(shù)確定 兩種最常用的擬合方法,,,自學(xué),作 業(yè),1、編制最小二乘曲線(xiàn)擬合法（多項(xiàng)式擬合）的通用程序，上機(jī)調(diào)試，并對(duì)以下試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行高次擬合（誤差限自定）。,表3.2 低碳鋼屈服點(diǎn)與晶粒直徑試驗(yàn)數(shù)據(jù) （說(shuō)明：將 d 換算成 后進(jìn)行擬合）？？？？,表3.3 某材料熱膨脹系數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù),2、編制最小二乘多元線(xiàn)性回歸的通用程序，上機(jī)調(diào)試，并對(duì)以下試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析（誤差限自定）。,3、分別編制Lagrange分段拋物線(xiàn)插值和Lagrange一般多點(diǎn)插值的通用程序。 已知CO2熱容試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3.4所示，試用上述程序求出在1708K時(shí)之熱容。,表3.4 CO2熱容試驗(yàn)數(shù)據(jù),