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1、
大題沖關集訓(二)
1.已知函數f(x)=4cos ωx·sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調性.
解:(1)f(x)=4cos ωx[sin ωxcos +cos ωxsin ]
=4cos ωx[sin ωx+cos ωx]
=2sin ωxcos ωx+2cos2 ωx
=sin 2ωx+(cos 2ωx+1)
=sin 2ωx+cos 2ωx+
=2sin(2ωx+)+,
因為f(x)的最小正周期為π且ω>0,故=π,則ω=1.
(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+)+.
若0≤x≤,則≤2
2、x+≤.
當≤2x+≤,
即0≤x≤時,f(x)單調遞增;
當<2x+≤,
即c.已知·=2,cos B=,b=3,求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
解:(1)由·=2,
得c·acos B=2,
又cos B=,
所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.
又b=3,
所以a2+c2=9+2×2=13.
解
得a=2,c=3或a=3
3、,c=2.
因為a>c,
所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sin B===,
由正弦定理,得sin C=sin B=×=.
因為a=b>c,
所以C為銳角,
因此cos C===.
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
=×+×
=.
3.(2014資陽二模)已知f(x)=sin(2x+)+cos(2x-).
(1)求f(x)的最大值及取得最大值時x的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(C)=1,c=2,sin A=2sin B,求△ABC的面積.
解:(1)f(x)=sin(2x+)+cos(2
4、x-)
=sin 2x+cos 2x+cos 2x+sin 2x
=sin 2x+cos 2x
=2sin(2x+).
當2x+=2kπ+,k∈Z,
即x=kπ+,k∈Z時,函數f(x)取得最大值2.
(2)由f(C)=2sin(2C+)=1,
得sin(2C+)=,
∵<2C+<2π+,
∴2C+=,解得C=.
因為sin A=2sin B,根據正弦定理,得a=2b,由余弦定理,有c2=a2+b2-2abcos C,則(2)2=4b2+b2-2×2b2cos =3b2,解得b=2,a=4,故△ABC的面積S△ABC=absin C=×4×2×sin =2.
4.(201
5、4上饒市二模)設a∈R函數f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2(+x)滿足f(-)=f(0).
(1)求f(x)的單調遞減區(qū)間;
(2)設銳角△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且=,求f(A)的取值范圍.
解:(1)f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2(+x)
=sin 2x-cos 2x,
由f(-)=f(0)得-+=-1,
∴a=2,
∴f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),
由2kπ+≤2x-≤2kπ+π得kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z,
∴f(x)的單調遞減區(qū)間為[kπ+,kπ+π].
(
6、2)∵=,
由余弦定理得==,
即2acos B-ccos B=bcos C,由正弦定理得
2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,
2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,cos B=,
∴B=,
∵△ABC為銳角三角形,
∴
7、2+c2-2accos =a2+c2-ac,又已知b2=ac,所以a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,所以a=c,所以A=C,而A+C=π-=,所以A=C=.
(2)由已知得sin A+sin C=sin A+sin(-A)=sin A+cos A=（sin A+cos A）=sin（A+）,因為A∈（0,）,所以0)在一個周期內的圖象如圖所示,A為圖象的最高點,B、C為圖象與x軸的交點,且△ABC為正三角形.
8、
(1)求ω的值及函數f(x)的值域;
(2)若f(x0)=,且x0∈(-,),求f(x0+1)的值.
解:(1)f(x)=6cos2+sin ωx-3
=3cos ωx+sin ωx
=2sin(ωx+).
由題意知正三角形ABC的高為2,
則BC=4,
所以函數f(x)的周期T=4×2=8,
即=8,解得ω=.
所以函數f(x)的值域為[-2,2].
(2)因為f(x0)=,由(1)有
f(x0)=2sin(+)=,
即sin(+)=,
由x0∈(-,),得+∈(-,).
即cos(+)==,
故f(x0+1)=2sin(++)
=2sin[(+)+]
9、=2[sin(+)cos+cos(+)sin]
=2(×+×)
=.
7.(2014昆明模擬)已知△ABC的三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a,b,c成等差數列,且2cos 2B-8cos B+5=0,求角B的大小,并判斷△ABC的形狀.
解:因為2cos 2B-8cos B+5=0,
所以2(2cos2B-1)-8cos B+5=0.
所以4cos2B-8cos B+3=0,
即(2cos B-1)(2cos B-3)=0.
解得cos B=或cos B=(舍去).
因為0
10、===,
化簡得a2+c2-2ac=0,
解得a=c.
所以△ABC是等邊三角形.
8.(2014福州模擬)已知函數f(x)=2cos (cos -sin ),在△ABC中,有f(A)=+1.
(1)若a2-c2=b2-mbc,求實數m的值;
(2)若a=1,求△ABC面積的最大值.
解:(1)f(x)=2cos (cos -sin )=2cos2-2sin cos =+cos x-sin x=+2sin（-x）,
由f(A)=+1,可得+2sin（-A）=+1,
所以sin（-A）=.
又A∈(0,π),
所以-A∈（-,）,
所以-A=,即A=.
由a2-c2=b2-mbc及余弦定理,可得==cos A=,所以m=.
(2)由(1)知cos A=,則sin A=,
又=cos A=,
所以b2+c2-a2=bc≥2bc-a2,
即bc≤(2+)a2=2+,當且僅當b=c時等號成立,
所以S△ABC=cbsin A≤,
即△ABC面積的最大值為.
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【導與練】（新課標）2016屆高三數學一輪復習 大題沖關集訓（二）理
