平面桁架有限元分析及程序設(shè)計.ppt

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1、第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計,2.1 平面桁架單元的離散 2.2 平面桁架單元分析 2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成 2.4 邊界條件的處理 2.5 單元內(nèi)力與支座反力的計算 2.6 平面桁架有限元程序設(shè)計,有限單元法及程序設(shè)計,解題方法,方法1：節(jié)點法,方法2：截面法,靜定桁架,回顧,,,第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計,解題方法：力法和位移法,超靜定桁架,第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計,如圖所示桁架，求各桿軸力。,力的平衡條件：,位移的協(xié)調(diào)方程：,1桿和3桿位移：,2桿位移：,超靜定桁架,第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計,1桿軸力豎向分量：,2桿軸力：,式中： 和

2、 為桿件的剛度系數(shù)；,物理意義： 4點產(chǎn)生單位位移，桿端產(chǎn)生的豎向桿端力； 由桿件的物理性質(zhì)和幾何性質(zhì)決定；,V4為第4節(jié)點豎向位移,第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計,超靜定桁架,代入平衡方程：,,,,,,結(jié)構(gòu)的整體剛度系數(shù),位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)。,離散原則：每個結(jié)點離散后還是一個結(jié)點，每個桿件離散后變成一個單元,1,結(jié)構(gòu)的離散化：盡量將結(jié)構(gòu)離散成數(shù)量最少的等截面直桿單元,2,3,4,5,6,,,,,,,,,,2.1 平面桁架單元的離散,9個單元，6個結(jié)點,1,,2,3,4,5,6,,,,,,,,,,7,8,,16個單元，8個結(jié)點,2.2.1 局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣,局部坐標(biāo)系的建立

3、,,,i,,E，A，l,,j,e, 軸：沿單元的桿軸方向；,2.2 平面桁架的單元分析, 軸：從 軸逆時針旋轉(zhuǎn)90。, 原點：以第一個結(jié)點為坐標(biāo)原點；,,桿端位移：,,,,i,,,,,j,e,桿端力：,符號：與坐標(biāo)系的方向一致為正，反之為負(fù)。,單元右端桿端力：,單元左端桿端力：,單元應(yīng)力：,單元應(yīng)變：,右結(jié)點固定,結(jié)點位移：,左結(jié)點固定,桿的受力分為兩種情況：,2.2 平面桁架的單元分析,任意情況（左右結(jié)點均有變形）即為以上兩種狀態(tài)的疊加：,桿端力為：,式中 為單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系),桿單元軸力為：,式中 為單元應(yīng)力(廣義)矩陣；,2.2 平面桁架的單元分析,單元桿端力方程：,,桿端位

4、移：,,,,桿端力：,單元軸力：,2.2 平面桁架的單元分析,桿端位移和桿端力,符號：與坐標(biāo)系的方向一致為正，反之為負(fù)。,桿端力：,,,,,,,,,2.2 平面桁架的單元分析,2.2.2 整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣,若局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系重合，則整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣與局部坐標(biāo)下的單元剛度矩陣相同。,若局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系不重合，如下圖所示：,桿端位移：,桿端力：,桿端位移：,i 結(jié)點：,j 結(jié)點：,2.2 平面桁架的單元分析,設(shè)桿件的長度為 l ，則：,兩邊微分：,,,由于桿件的變形產(chǎn)生位移：,因此，桿件應(yīng)變?yōu)椋?桿件軸力為：,符號：桿件軸力以拉為正，壓為負(fù)。,桿件的結(jié)點力為：,因此

5、，桿件結(jié)點力向量為：,式中 是整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣；,2.2 平面桁架的單元分析,寫成分塊矩陣形式：,,式中：,2.2 平面桁架的單元分析,（1）單元剛度系數(shù)kij的意義,j自由度(結(jié)點)產(chǎn)生的單位桿端位移引起的i自由度(結(jié)點)的桿端力,（2）單元剛度矩陣是對稱矩陣,反力互等定理,式中：,桿件單元的應(yīng)力矩陣為：,單元剛度矩陣的性質(zhì),2.2 平面桁架的單元分析,（3）單元剛度矩陣一般是不可逆的,2.2.3 單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,,,,,,,,,,,,2.2 平面桁架的單元分析,取任意桿件,建立如圖所示的局部坐標(biāo)系：,桿端力：,桿端位移：,2.2.3 單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,,,,,,,,,,,x,

6、y,,,,,,,,,,2.2 平面桁架的單元分析,桿端力：,桿端位移：,在上圖中,建立如圖所示的整體坐標(biāo)系：,以i結(jié)點為例：,同理，對于j 結(jié)點：,2.2 平面桁架的單元分析,寫成矩陣形式：,因此：,其中，T為轉(zhuǎn)換矩陣：,轉(zhuǎn)換矩陣的性質(zhì),轉(zhuǎn)換矩陣是正交矩陣；,同理，位移也存在轉(zhuǎn)換關(guān)系：,代入局部坐標(biāo)系下 的剛度方程：,,,2.2 平面桁架的單元分析,與利用微分得到的單元在 總體坐標(biāo)下的剛度方程相同,1、對總體結(jié)點位移和單元進(jìn)行編碼；,2、單元局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣;,,,,,,,1,2,3,例：如圖所示平面桁架，桿長為l，截面積為A，求三個單元在整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣。,2.2 平面桁架的單元

7、分析,3、單元整體坐標(biāo)系分析:,解：,單元整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣為:,4、單元整體坐標(biāo)系分析:,5、單元整體坐標(biāo)系分析:,,,,,,,1,2,3,例：如圖所示平面桁架，桿長為l，截面積為A，求結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。,2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,1、單元整體坐標(biāo)系下剛度矩陣分塊,解：,2.3.1 結(jié)點的平衡方程,2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,,F,,,1,,,,,,2、結(jié)點1的平衡方程：,結(jié)點1的受力狀態(tài)為（如右圖）:,結(jié)點1的平衡條件為:,,由單元的剛度方程：,由單元的剛度方程：,2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,代入結(jié)點1的平衡條件:,,3、結(jié)點2的平衡方程：,同理，結(jié)點2的

8、平衡條件為:,由單元的剛度方程：,由單元的剛度方程：,2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,代入結(jié)點2的平衡條件:,,4、結(jié)點3的平衡方程：,同理，結(jié)點3的平衡條件為:,由單元的剛度方程：,由單元的剛度方程：,2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,代入結(jié)點3的平衡條件:,,5、系統(tǒng)的平衡方程：,2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,6、結(jié)構(gòu)整體剛度方程,寫成矩陣形式，即可得到結(jié)構(gòu)的整體剛度方程,,其中，K為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；,2.3.2 整體剛度矩陣的集成步驟,1、定位,單元結(jié)點編號,2、累加,整體結(jié)點編號,單元剛度系數(shù),整體剛度系數(shù),2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,單元定位向量,,,

9、,,,,,,,,,,,,1,2,3,2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,例：求上例平面桁架結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；,1、定位,單元：,1 2 3,1 2 3,(2) (1),(2) (1),2、累加,2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,1、定位,單元 ：,(2) (1),(2) (1),2、累加,1、定位,單元 ：,2、累加,(1) (2),(1) (2),2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為:,將每個字塊展開，結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為:,2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,1、整體剛度矩陣的性質(zhì),2.3.2 整體剛度矩陣的集成方法,（1）剛度系數(shù)K

10、ij的意義,分塊矩陣：,（2）單元剛度矩陣是對稱矩陣,反力互等定理,j結(jié)點產(chǎn)生的單位桿端位移引起的i結(jié)點的桿端力；,j自由度產(chǎn)生的單位桿端位移引起的i自由度的桿端力；,不分塊矩陣：,2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,思考題：如何由剛度矩陣元素的意義確定整體剛度矩陣每個元素的組成？,2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,1,2,3,4,,,,,,,,,,,,,練習(xí)題：利用整體剛度矩陣的意義確定以下桁架剛度矩陣元素（分塊）的組成。,2.3.2 整體剛度矩陣的集成步驟,1、定位,單元自由度編號,2、累加,整體自由度編號,2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成,自由度定位向量,單元剛度系數(shù),整體剛度

11、系數(shù),,,,,,練習(xí)題：利用整體剛度矩陣的意義確定以下桁架剛度矩陣元素（自由度）的組成。,2.4.1 結(jié)點邊界條件,2.4 邊界條件的處理,結(jié)點可以自由變形，整體結(jié)點力等于對應(yīng)的外荷載。,1、自由變形的結(jié)點,2、約束結(jié)點或給定了結(jié)點位移的數(shù)值,約束結(jié)點：,給定結(jié)點位移：,2.4.2 邊界條件的處理方法,2.4 邊界條件的處理,1）劃行劃列法,處理方法：若第i個自由度位移為零，則將總剛第i行和第i列劃掉，剛度矩陣相應(yīng)降低一階。,0,0,0,,,,優(yōu)點：簡單易行，矩陣降階，減小計算工作量；,缺點：矩陣行列、位移、荷載向量需重新編號，程序?qū)崿F(xiàn)比較復(fù)雜；,只適用于約束結(jié)點情況；,2.4 邊界條件的處理

12、,2）0、1置換法（填0置1法）,處理方法：將與約束自由度對應(yīng)整體剛度矩陣對角線元素全部置換成1，相應(yīng)行和列其他元素置換成0，將同一行荷載分量置換成0。,0,0,0,1,1,1,0,0,0,適用條件：只適用于約束結(jié)點，不適用給定位移邊界條件；,2.4 邊界條件的處理,3）乘大數(shù)法,處理方法：將與約束自由度對應(yīng)整體剛度矩陣對角線元素乘以一個大數(shù)N (1010-1015)，將同一行荷載分量置換成N與對角線元素的乘積與給定位移之積。,N,N,N,NK33b1,NK44b2,NK66b3,優(yōu)點：處理工作量小，適用于給定位移情況；,0,0,0,2.5 單元軸力及支座反力的計算,單元軸力：,(1)整體坐標(biāo)

13、系下的單元桿端位移,(2)整體坐標(biāo)系下的單元軸力,,,2.5.1 單元軸力的計算,位移和荷載向量分解為自由結(jié)點和約束結(jié)點兩部分，剛度矩陣相應(yīng)分塊，如下所示：,2.5.2 支座反力的計算,其中：,為自由位移;,為約束位移;,為外荷載;,為約束自由度結(jié)點力;,因此：,為支座反力;,為約束自由度結(jié)點荷載;,其中：,,2.5 單元軸力及支座反力的計算,1、計算分析題 平面桁架結(jié)構(gòu)網(wǎng)格如圖所示，已知EA=1500 kN，采用乘大數(shù)方法引入支撐條件，試求后處理法引入支撐條件后的滿陣存貯的整體剛度矩陣 K。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下單元剛度矩陣計算公式如下：,例題,式中：,,2、計算分析題 按照有限元法的計算步驟，求圖示

14、桁架結(jié)構(gòu)各桿軸力。已知：EA=10 kn。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣計算公式如下： ：,例題,式中：,,2.6 程序設(shè)計,程序設(shè)計原則 完整性 擴充性 兼容性 邏輯性 可讀性 可維護(hù)性 模塊化,2.6 程序設(shè)計,程序設(shè)計流程圖（程序框圖） 什么是流程圖？ “程序流程圖”常簡稱為“流程圖”，是一種傳統(tǒng)的算法表示法，程序流程圖是人們對解決問題的方法、思路或算法的一種描述。它利用圖形化的符號框來代表各種不同性質(zhì)的操作，并用流程線來連接這些操作。,2、如何畫流程圖,編碼和單元測試 這個階段的任務(wù)是程序員根據(jù)目標(biāo)系統(tǒng)的性質(zhì)和實際環(huán)境，選取一種適當(dāng)?shù)母呒壋绦蛟O(shè)計語言(必要時用匯編語言)，把詳細(xì)設(shè)計的結(jié)果

15、翻譯成用選定的語言書寫的程序，并且仔細(xì)測試編寫出的每一個模塊。 程序員在書寫程序模塊時，應(yīng)使它的可讀性、可理解性和可維護(hù)性良好。,綜合測試,這個階段的任務(wù)是通過各種類型的測試，使軟件達(dá)到預(yù)定的要求。 最基本的測試是集成測試和驗收測試。集成測試是根據(jù)設(shè)計的軟件結(jié)構(gòu)，把經(jīng)單元測試的模塊按某種選定的策略裝配起來，在裝配過程中對程序進(jìn)行必要的測試。驗收測試是按照需求規(guī)格說明書的規(guī)定，由用戶對目標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行驗收。 通過對軟件測試結(jié)果的分析可以預(yù)測軟件的可靠性；反之，根據(jù)對軟件可靠性的要求也可以決定測試和調(diào)試過程什么時候可以結(jié)束。 在進(jìn)行測試的過程中，應(yīng)該用正式的文檔把測試計劃、詳細(xì)測試方案以及實際測試結(jié)果

16、保存下來，作為軟件配置的一部分。,2.6 程序設(shè)計,2.6.1 程序框圖,輸入數(shù)據(jù),單元局部剛度,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,單元整體剛度,集成整體剛度矩陣元素,約束條件處理、解方程,計算單元軸力、約束反力,單元循環(huán),,,,,,,,,包括單元、結(jié)點、材料、荷載、約束數(shù)據(jù),2.6 程序設(shè)計,2.6.2 程序說明,1、總體剛度矩陣的半帶寬存儲,總體剛度矩陣：,對稱稀疏矩陣；,0,0,,,,,半帶寬：,總體剛度矩陣集成：,2.6 程序設(shè)計,行號：,,,0,,,列號：,,,主對角線,半帶寬存儲下三角：,2.6 程序設(shè)計,2、先處理法處理邊界條件,單元定位向量：,(1,2),(3,4),(5,6),后處理：,(1,2

17、),(0,0),(3,0),劃行劃列法,先處理法：,單元定位向量：,void force() int i,j,ie,m; float dx,dy,dz,l,cx,cy,cz,ea,w7; for(ie=1; ie<=ne; ie++) i=jmie1; j=jmie2; m=jmie0; w1=f2*i-2; w2=f2*i-1; w3=f2*j-2; w4=f2*j-1; dx=xyj1-xyi1; dy=xyj2-xyi2;,例題,,3、程序說明 下面為一個平面桁架計算程序段，試在左端有編號的程序右面寫出其注釋。（10分）,l=sqrt(dx*dx

18、+dy*dy); cx=dx/l; cy=dy/l; ea=EAm/l; dx=w3-w1; dy=w4-w2; l=ea*(cx*dx+cy*dy); Fie=l; ,1,2,4,5,3,,,1、運用有限單元法，計算圖示桁架：桿件截面積為A，彈性模量為E，結(jié)點2作用集中力，結(jié)點3給定水平位移b，要求寫出整體平衡方程及邊界條件處理方法。,作業(yè),2、運用有限單元法程序,計算程序書第4頁作業(yè)題，要求打印輸入文件、輸出文件，并畫出各個桿件的軸力圖。,3、計算分析題（15分） 平面桁架結(jié)構(gòu)網(wǎng)格如圖所示，已知EA=6000 kN，采用填0置1法（0、1置換法）引入支撐條件，試

19、求后處理法引入支撐條件后的滿陣存貯的整體剛度矩陣 。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下單元剛度矩陣計算公式如下：,式中：,,作業(yè),,4、程序說明（10分） 下面為一個平面桁架計算程序段，左端有編號的程序部分有兩處錯誤，請改正，并在沒有錯誤的程序右面寫出其注釋。（10分）,int ekzk(int ie ) int i1,j1,i,j,i2,j2,ii,jj,ji; for(i1=1;i1<=2;i1++) for(i2=1;i2<=2;i2++) 1 i=2*(i1-1)+i2; 2 ii=2*jmiei1+i2; for(j1=1; j1<=2; j1++) for(j2=1; j2<=2; j2++) j=2*(j1-1)+j2; 3 jj=2*(jmiej1-1)+j2; 4 ji=bw+jj-ii+1; 5 if(ji<=bw) Kii-1ji-1=Kii-1ji-1+ekij; ,作業(yè),