北師大版七年級(jí)下 1.1 整式 教學(xué)案例

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1、- 9 - 第一章 整式的運(yùn)算 某地區(qū)在推耕還林期間，有一塊原長(zhǎng)為m米、寬為a米的長(zhǎng)方形林區(qū)增長(zhǎng)了n米，加寬了b米。用不同的方法表示林區(qū)現(xiàn)在的面積，便可得到一個(gè)等式： 在七年級(jí)上冊(cè)，我們已學(xué)過(guò)用字母表示數(shù)，并了解了什么是代數(shù)式。在這一章里，我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)代數(shù)式的有關(guān)概念，并對(duì)代數(shù)式中的整式進(jìn)行四則運(yùn)算。 整式的運(yùn)算并不復(fù)雜，整式的加減其實(shí)就是合并同類項(xiàng)，這你不陌生吧，整式的乘除中單項(xiàng)式的乘法是基礎(chǔ)。因此，掌握并熟練運(yùn)用它是整式乘除運(yùn)算的關(guān)鍵。 在學(xué)習(xí)本章時(shí)，我們要能夠自己推導(dǎo)運(yùn)算性質(zhì)，要注意掌握各種運(yùn)算之間的聯(lián)系和區(qū)別，要善于

2、從一般問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)特殊規(guī)律。 隨著學(xué)習(xí)的深入，你會(huì)越來(lái)越深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力。 第一節(jié) 整式 走進(jìn)新課程 [教材講解] 在現(xiàn)實(shí)情景中進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義，發(fā)展符號(hào)感，通過(guò)具體的例子確實(shí)理解單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式的概念，從而能準(zhǔn)確確定一個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出代數(shù)式。在具體實(shí)例歸納概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的快樂(lè)，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感，培養(yǎng)感知能力，鍛煉學(xué)生細(xì)心、探究的能力。 課題引入可以這樣,引導(dǎo)回顧搭建橋梁：“在上冊(cè)中學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)，代數(shù)式等內(nèi)容。我們常說(shuō)學(xué)以致用，那么，我們學(xué)這些又有什么作用呢？”本節(jié)課通過(guò)創(chuàng)設(shè)一定的問(wèn)題情景，回憶復(fù)習(xí)字母表示數(shù)的知識(shí)，

3、列代數(shù)式，例如“求窗戶裝飾物的面積”等，教師還可以選取學(xué)生感興趣的題目，選出5～6道，通過(guò)小組討論、交流，比較所列出的代數(shù)式，找出它們的區(qū)別與聯(lián)系，從而引出單項(xiàng)式、多項(xiàng)式以及整式的概念，進(jìn)而引出整式的次數(shù)。 上學(xué)期已經(jīng)學(xué)習(xí)了字母表示數(shù)，代數(shù)式等內(nèi)容，本節(jié)主要討論的是整式的有關(guān)概念。教材沒(méi)有直接給出整式的概念，而是給出了一個(gè)為娛樂(lè)場(chǎng)所設(shè)計(jì)方案的情景，目的是使學(xué)生了解整式的實(shí)際背景，進(jìn)一步理解字母表示數(shù)的意義，認(rèn)識(shí)代數(shù)式的表示作用?！白x一讀”的目的是進(jìn)一步豐富整式的實(shí)際背景，使學(xué)生再一次體會(huì)代數(shù)式的表示作用，并由此引出單項(xiàng)式、多項(xiàng)式及整式的概念。對(duì)于概念的教學(xué)，學(xué)生只要能夠識(shí)別單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，并

4、且能求出他們的次數(shù)即可?！白h一議”是對(duì)前面情境的進(jìn)一步討論，學(xué)生將初步體會(huì)整式運(yùn)算對(duì)解決問(wèn)題的作用。同時(shí)回顧一些學(xué)過(guò)的運(yùn)算法則，活動(dòng)中要求學(xué)生能根據(jù)冪的意義和乘法運(yùn)算律解決這個(gè)問(wèn)題。第二問(wèn)的設(shè)計(jì)方案的處理，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生充分發(fā)揮想象和創(chuàng)造，設(shè)計(jì)出符合要求而且美觀的方案，同時(shí)敘述自己的設(shè)計(jì)思路，并與同伴進(jìn)行交流。學(xué)生的設(shè)計(jì)只要符合要求，教師都應(yīng)鼓勵(lì)。對(duì)于有特色的設(shè)計(jì)，教師應(yīng)注意記錄?！白x一讀”中皮克公式是一個(gè)非常有趣的結(jié)論，教師可以根據(jù)情況，留為課下作業(yè)，鼓勵(lì)學(xué)生探索教科書(shū)中給出的點(diǎn)陣中多邊形面積的計(jì)算方法，并運(yùn)用皮克公式計(jì)算其他一些多邊形的面積。 本節(jié)課的重點(diǎn)是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的區(qū)別，有一點(diǎn)教

5、師需要強(qiáng)調(diào)“單獨(dú)一個(gè)數(shù)字或單獨(dú)一個(gè)字母也叫做單項(xiàng)式”。求整式的次數(shù)是本節(jié)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。這一點(diǎn)有少部分學(xué)生容易忽視，例如：“求23x2y3的次數(shù)”，有較少部分學(xué)生容易求得“3+2+3=8”，教師應(yīng)該強(qiáng)調(diào)只有字母因數(shù)的指數(shù)對(duì)單項(xiàng)式的次數(shù)起作用，數(shù)字因數(shù)的指數(shù)對(duì)單項(xiàng)式的次數(shù)不起作用。教師可以舉這樣一個(gè)生動(dòng)形象的例子來(lái)解釋，“有三只兔子和兩只雞放在同一個(gè)籠子里，現(xiàn)在問(wèn)你這個(gè)籠子里共有幾只家禽腿？”雖然兔子的腿比雞的腿要多，但是，兔子不是家禽，不能算進(jìn)去。這樣就容易理解了。 [課程資源] 為了突出重點(diǎn)，建議設(shè)計(jì)以下教學(xué)活動(dòng)，以供參考。 用多媒體展示鮮花(百合花)彩圖。(假如沒(méi)有多媒體設(shè)施，可

6、以直接提問(wèn)學(xué)生各種正鮮花的寓意) 師：我們看一下這束美麗鮮花，哪位同學(xué)可以告訴我這是什么花？這種花代表什么？也就是有什么寓意？ (展示這幅圖后，學(xué)生的興趣很高，這樣，就起到了激發(fā)學(xué)生興趣的作用) 師：知道這些“鮮花寓意”后，不要忘了給自己的長(zhǎng)輩以及親朋好友在恰當(dāng)?shù)墓?jié)日送恰當(dāng)?shù)孽r花??！你們看小明和他爸爸是怎樣送花的： 小明想春節(jié)送給每位老師一束康乃馨，他想了想，需要送給9位老師，而小明的爸爸要送給奶奶和爺爺各一束，送給媽媽一束玫瑰花，送給三位很不錯(cuò)的戰(zhàn)友一束百合花：每束康乃馨的價(jià)格為a元，每束玫瑰花為b元，每束百合花的價(jià)格為c元。你能幫助小明計(jì)算小明和爸爸各需要多少錢(qián)？一共需要多少錢(qián)嗎

7、？ 學(xué)生用代數(shù)式將結(jié)果表達(dá)出來(lái)后，再找出2個(gè)代數(shù)式，并把它們寫(xiě)在一起，進(jìn)行分析，分類。從而引出單項(xiàng)式、多項(xiàng)式以及整式的概念，然后通過(guò)練習(xí)強(qiáng)化概念間的區(qū)別。 師生互動(dòng)室 [案例鑒賞] 1、單項(xiàng)式的概念 例1 將下列各項(xiàng)中的單項(xiàng)式填入單項(xiàng)式集合中： ， ， ， ， ， ， ， 單項(xiàng)式集合 … 精析:單項(xiàng)式概念有兩個(gè)方面：一是指含有數(shù)字與字母乘積的代數(shù)式，如，；二是指單獨(dú)的一個(gè)字母或一個(gè)數(shù)也是單項(xiàng)式，如，。由概念知單項(xiàng)式中可含有乘法和乘方運(yùn)算，不能含有加

8、減運(yùn)算，如，都不是單項(xiàng)式。另外單項(xiàng)式可以含有除以數(shù)的運(yùn)算，不能含有除以字母的運(yùn)算，如，。所以，單項(xiàng)式集合是，，， … 2、單項(xiàng)式的次數(shù)和系數(shù) 例2 ①單項(xiàng)式 的系數(shù)是 ，次數(shù)是 。 ②單項(xiàng)式 的系數(shù)是 ， 。 精析： 單項(xiàng)式的系數(shù)指它的數(shù)字因數(shù)，次數(shù)是指所有字母的指數(shù)的和，另外是常數(shù)。因此。單項(xiàng)式 的系數(shù)是，次數(shù)是4；單項(xiàng)式 的系數(shù)，次數(shù)是2 3、多項(xiàng)式及其次數(shù) 例3 下列代數(shù)式中那些是多項(xiàng)式，它們的次數(shù)分別是多少？ ① ② ③ 精析：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。 ①是、兩個(gè)單項(xiàng)

9、式的和，它們的次數(shù)分別是、。 因此，這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)是。②是、、三個(gè)單項(xiàng)式的和，它們的次數(shù)分別是、 、，因此，這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)是。③是 、、三個(gè)單項(xiàng)式的和，它們的次數(shù)分別是、、。因此多項(xiàng)式的次數(shù)是。 例4 根據(jù)題意，列出整式: 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)迅猛發(fā)展，電腦價(jià)格不斷降低，某品牌電腦按原價(jià)降低元后，又降價(jià)，現(xiàn)售價(jià)為元，那么該電腦的原售價(jià)為（ ）。 A.元 B.元 C.元 D.元 精析：第一次降價(jià)后的售價(jià)=，即原售價(jià)=， 所以原售價(jià)=元，故選B。 [數(shù)學(xué)天地] 好奇是數(shù)學(xué)教育的寶貴財(cái)富 1、一個(gè)重要的評(píng)估 據(jù)教育進(jìn)展國(guó)際評(píng)

10、估組織對(duì)世界21個(gè)國(guó)家的調(diào)查，中國(guó)孩子的計(jì)算能力是世界上最強(qiáng)的。調(diào)查同時(shí)顯示，中國(guó)的中學(xué)生在學(xué)校用來(lái)做數(shù)學(xué)題的時(shí)間是每周307分鐘，而其他國(guó)家孩子學(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)間僅為217分鐘。令人痛心的是，中國(guó)學(xué)生為這個(gè)“計(jì)算能力世界第一”付出的不僅僅是時(shí)間，而且還犧牲了孩子的創(chuàng)造力。其創(chuàng)造力在所有參加調(diào)查的國(guó)家中排名倒數(shù)第五。中小學(xué)生中，認(rèn)為自己有好奇心和想像力的只占4.7%，而希望培養(yǎng)想像力和創(chuàng)造力的只有14.9%。 2、一個(gè)重要的案例 近年來(lái)，世界數(shù)學(xué)領(lǐng)域有一個(gè)很大的成就，就是英國(guó)人懷爾斯證明了法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出的360多年沒(méi)有人能證明的“費(fèi)馬大定理”。什么是“費(fèi)馬大定理”呢？我們都

11、知道商高定理，就是直角三角形兩邊平方的和等于斜邊的平方。360年前，法國(guó)的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬就提出過(guò)這樣一個(gè)疑問(wèn)，平方成立，那么3次方成立不成立，4次方成立不成立……他認(rèn)為，在n是大于2的自然數(shù)時(shí)沒(méi)有正整數(shù)解。這激起好多人去證明。360多年來(lái)，費(fèi)馬問(wèn)題有幾千種“證明”，但沒(méi)有一種經(jīng)得起推敲。這是數(shù)學(xué)上的難題。到1953年，英國(guó)的懷爾斯誕生了，。在他10歲時(shí)，老師教他商高定理的時(shí)候，跟他講還有一個(gè)“費(fèi)馬大定理”，說(shuō)這是一個(gè)世界數(shù)學(xué)難題。在老師的影響下，這個(gè)10歲小孩就對(duì)這個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生了興趣，從此非常喜歡學(xué)數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)，最終成了一個(gè)數(shù)學(xué)家。1985年他做了美國(guó)普林斯頓大學(xué)的教授。在此后七、八年的時(shí)間里，他

12、沒(méi)有一篇文章發(fā)表，什么會(huì)議上都看不到他，大家都說(shuō)他年輕時(shí)腦袋用完了，他消失了。但他若干年后，終于解決了“費(fèi)馬大定理”。 3、一個(gè)重要的結(jié)論——好奇心是數(shù)學(xué)教育的寶貴財(cái)富 這個(gè)故事給我們很大的啟發(fā)，讓我們感到學(xué)生人無(wú)全才，人人有才。學(xué)生的頭腦不是知識(shí)的容器，而是智慧的火種。每個(gè)學(xué)生的火種是不一樣的，教師、家長(zhǎng)、同學(xué)有義務(wù)來(lái)把這個(gè)火種點(diǎn)燃。懷爾斯的火種就被老師點(diǎn)燃了。所以我們感到有這樣能喚起學(xué)生好奇心的老師是非常重要的。 復(fù)旦大學(xué)原校長(zhǎng)、教授楊福家曾經(jīng)給上海600名教師作報(bào)告。他問(wèn)，在座的有沒(méi)有知道商高定理的？大家都舉手。他又問(wèn)，有誰(shuí)知道“費(fèi)馬大定理”，11個(gè)人舉手。

13、他再問(wèn)，誰(shuí)在講商高定理時(shí)告訴了學(xué)生“費(fèi)馬大定理”，而這個(gè)大定理還沒(méi)有解決，是世界難題，只有一個(gè)人舉手。學(xué)生在年輕時(shí)產(chǎn)生的好奇心、興趣對(duì)他的一生都是有用的。我們?nèi)タ纯茨切┯邪l(fā)明創(chuàng)造的人，他們年輕時(shí)代都有一個(gè)故事。而我們現(xiàn)在的考試制度，使得我們的一些年輕人整天在被動(dòng)學(xué)習(xí)、做題訓(xùn)練中度過(guò)。這種狀況亟待改變。我們應(yīng)該讓學(xué)生在年輕時(shí)生活得愉快，有濃厚的興趣，充滿好奇心。 但同時(shí)，學(xué)生有興趣地大量做題也不能被簡(jiǎn)單地否定。比如在中學(xué)里，一個(gè)學(xué)生一個(gè)暑假很有興趣地做了1000道數(shù)學(xué)題，雖然沒(méi)有去玩，但這對(duì)這個(gè)學(xué)生很有幫助。從此這個(gè)學(xué)生就不怕數(shù)學(xué)了，同時(shí)這個(gè)學(xué)生的邏輯思維也得到了訓(xùn)練，顯然，這是終

14、身受益的?，F(xiàn)在的問(wèn)題是，受高考制度的影響，學(xué)生的學(xué)習(xí)變成被動(dòng)的、沒(méi)有興趣的解題訓(xùn)練，這就抹殺了年輕一代的好奇心和興趣。 楊福家教授認(rèn)為，我們的教育缺少對(duì)好奇心的引發(fā)與引導(dǎo)，而西方發(fā)達(dá)國(guó)家在這方面要比我們好得多。在英國(guó)的伊頓公學(xué)是一個(gè)教師對(duì)一個(gè)學(xué)生。牛津大學(xué)、劍橋大學(xué)在上個(gè)世紀(jì)就實(shí)施了導(dǎo)師制。楊福家教授很欣賞他們的一句話：導(dǎo)師抽煙(楊福家教授是不贊成導(dǎo)師抽煙的)，不斷地把煙往學(xué)生身上噴，一直噴到把他們心中的火種點(diǎn)燃。因此，我們說(shuō)，好奇心是數(shù)學(xué)教育的寶貴財(cái)富。 [活動(dòng)教室] 活動(dòng)一： 一塊長(zhǎng)方形紙板，長(zhǎng)為a厘米，寬為b厘米，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為c厘米的小正方形，然后折成無(wú)

15、蓋的長(zhǎng)方體盒子，請(qǐng)動(dòng)手制作一下，求出它的表面積。 在輕松愉快的活動(dòng)中，體會(huì)多項(xiàng)式的應(yīng)用。培養(yǎng)學(xué)生的好奇心，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。 活動(dòng)二： 天安門(mén)廣場(chǎng)有一個(gè)圓形花壇，在花壇內(nèi)是一個(gè)圓形的小噴水池。如果花壇的半徑是a米，小噴水池的半徑比花壇的半徑少20米，問(wèn)花壇的外圍周長(zhǎng)與噴水池的周長(zhǎng)一共多少米？ 由于圓形花壇的半徑是a米，圓形噴水池的半徑是米，由圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式，得花壇的外圍周長(zhǎng)是米，噴水池的周長(zhǎng)是米，則花壇的外圍周長(zhǎng)和噴水池的周長(zhǎng)一共是[+]米。這里[+]屬于代數(shù)式中的整式。 如果有圖片，讓學(xué)生置身于優(yōu)美的環(huán)境中，猶如身臨其境，有點(diǎn)燃思維火花之功效。

16、 活動(dòng)三 每個(gè)同學(xué)寫(xiě)出6個(gè)整式，并要求既有單項(xiàng)式，又有多項(xiàng)式，然后交給同桌的同學(xué)，完成以下任務(wù)： ① 找出單項(xiàng)時(shí)，多項(xiàng)式。 ② 是單項(xiàng)式的寫(xiě)出系數(shù)與次數(shù)，是多項(xiàng)式的寫(xiě)出是幾次幾項(xiàng)式，最高次數(shù)是什么？ ③互相討論對(duì)方的答案是否正確。 設(shè)計(jì)這樣的開(kāi)放性活動(dòng)，學(xué)生興趣很高，積極性十分高漲。在輕松愉悅的氛圍中，獲得知識(shí)鞏固知識(shí)。 [課本習(xí)題金鑰匙] 1. 單項(xiàng)式有一個(gè)，是7h,次數(shù)是1。 其余的都是多項(xiàng)式，分別是4，2，3。 2.⑴有3項(xiàng)，系數(shù)分別是－，－1，2；次數(shù)分別是1，3，0。 ⑵有3項(xiàng)，系數(shù)分別是1，－2，3；次數(shù)分別是3，4，2。 3.⑴xy2 ⑵3

17、a+b 學(xué)生自習(xí)室 [放飛思維] 一、選擇題 1.下列各式中，單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)是（ ） ， ， ， ， A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 2.下列代數(shù)式是單項(xiàng)式的是 （ ） A. B. C. D. 3.在整式，，，，， 中，單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)為 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.下列說(shuō)法中正確的是 （ ） A.單項(xiàng)式的系數(shù)是 –2，次數(shù)是2; B.單項(xiàng)式的系數(shù)是0，次數(shù)是0。 C. 是二次單項(xiàng)式。 D.單項(xiàng)式的系數(shù)是 ，次數(shù)

18、是3。 二、填空： 5.單項(xiàng)式的系數(shù)是 ，次數(shù)是 。 6.單項(xiàng)式的系數(shù)是 ，次數(shù)是 。 7.多項(xiàng)式是 次 項(xiàng)式，最高次項(xiàng)的系數(shù)是 ，常數(shù)項(xiàng)是 。 8.在代數(shù)式 ：，，，，，，，， 中，單項(xiàng)式有 個(gè)，多項(xiàng)式有 個(gè)，整式有 個(gè)。 三、解答題： 9.下列多項(xiàng)式分別有幾項(xiàng)？每項(xiàng)的系數(shù)，次數(shù)是多少？多項(xiàng)式次數(shù)是多少？ ⑴ ⑵ ⑶ 10.已知多項(xiàng)式 ⑴請(qǐng)你按照上述規(guī)律寫(xiě)出多項(xiàng)式的第五項(xiàng)，并指出它的系數(shù)和次數(shù)。 ⑵這個(gè)多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)式？ 11.已知多項(xiàng)式是五次四項(xiàng)式，單項(xiàng)式的次數(shù)與這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)相同，求的值。