楊輝三角與布萊尼茲三角.ppt

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1、,楊輝三角與布萊尼茲三角,授課教師:符日仕 授課班級(jí):08電子技術(shù)與應(yīng)用,楊輝:,杭州錢(qián)塘人,南宋末年數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家。他著作甚多,由他編著的數(shù)學(xué) 書(shū)共五種二十一卷,分別是詳解九章算法十二卷(1261年)、日用算法 二卷、乘除通變本末三卷、田畝比類乘除算法二卷、續(xù)古摘奇算法 二卷。其中后三種合稱為楊輝算法,朝鮮、日本等國(guó)均有譯本出版,后流傳 世界。,“楊輝三角”出現(xiàn)在楊輝編著的詳解九章算法一書(shū)中,此書(shū)還說(shuō)明表內(nèi)除 “1”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和。楊輝指出這個(gè)方法出于釋鎖算 書(shū),且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲(約公元11世紀(jì))已經(jīng)用過(guò)它,這表明國(guó)發(fā)現(xiàn)在 這個(gè)表不晚于11世紀(jì)。,二項(xiàng)式(a

2、+b)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù),當(dāng)n依次取1,2,3時(shí),列出的一張表,叫做二項(xiàng)式系數(shù)表,因它形如三角形,南宋的楊輝對(duì)其有過(guò)深入研究,所以我們又稱它為楊輝三角(表1),例如 : ,它的兩項(xiàng)的系數(shù)是1和1; ,它的三項(xiàng)系數(shù)依次是1、2、1; ,它的四項(xiàng)系數(shù)依次1、3、3、1。,什么是楊輝三角?,規(guī)律:,(1)楊輝三角的第2K-1行(K是正整數(shù))的各數(shù)字之除了兩端為1,其余都是偶數(shù)。,(2)行數(shù)為素?cái)?shù)(質(zhì)數(shù))時(shí),如第2,3,7,11等行,除了兩端的1外,行數(shù) 可以整除其余各數(shù)。,(3)計(jì)算一下楊輝三角中各行數(shù)數(shù)學(xué)之和,第2行 1+1=

3、21 第3行 1+2+1=4=22 第4行 1+3+3+1=8=23 第5行 1+4+6+4+1=16=24 第6行 1+5+10+10+5+1=32=25 。。。 。。。 第n+1行 Cn0+Cn1+Cn2++Cnr+ Cnn-1+ Cnn=2n,第n+1行 數(shù)字的和為2n,前n行所有數(shù)的和為2n-1, 它恰好比第n+1的和小2 n小1。,(4)從楊輝三角中一個(gè)確定的數(shù)的“左(右)肩出發(fā),向右(左)上方作 一條和左(右)斜邊平行的射線,在這條射線上的各數(shù)的和等于這個(gè)數(shù)。 例如:101234, 2013610,,,,(第4條斜線),根據(jù)這一性質(zhì),猜想下列數(shù)列的前n項(xiàng)和:,1

4、11 1(第1條斜線),123 ,(第2條斜線),136 ,,(第3條斜線),1410 ,,(第r+1條斜線),于是有一般性結(jié)論: 一般地,在第m條斜線上(從右上到左下)前n個(gè)數(shù)字的和,等于第 條 斜線上的第 個(gè)數(shù),1,1,2,3,5,8,13,21,34,此數(shù)列an滿足, a1=1, a2=1, 且 an = an-1 + an-2 (n3),(5)如圖,寫(xiě)出斜線上各行數(shù)字的和,有什么規(guī)律?,這就是著名的斐波那契數(shù)列(斐波那契,中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家,傳世之作算術(shù)之法),?問(wèn)題:,楊輝三角與“堆垛術(shù)”(三角垛,正方垛, )我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就堆垛術(shù),,2、將圓彈堆成三角垛:底層是每

5、邊n的三角形,向上逐層每邊少一個(gè)圓彈,頂層是一個(gè)圓彈,求總數(shù):,1、計(jì)算11的1、2、3、次冪,看一看與楊輝三角有 什么有趣的聯(lián)系?,觀察楊輝三角所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系(表2),(1)表中每個(gè)數(shù)都是組合數(shù),第n行的第r+1個(gè)數(shù)是, (2)三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字1,而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字相加, 也就是, (3)楊輝三角具有對(duì)稱性(對(duì)稱美),即, (4)楊輝三角的第n行是二項(xiàng)式(a+b)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù),即,楊輝三角基本性質(zhì):,介紹楊輝三角蘊(yùn)含的基本規(guī)律 :,德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲在研究中發(fā)現(xiàn)了下面的單位分?jǐn)?shù)三角形,其特點(diǎn)是單位分?jǐn)?shù)是分子為1,分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)。由于這個(gè)三角形最早是由萊布

6、尼茲作出,所以叫做萊布尼茲單位分?jǐn)?shù)三角形,或簡(jiǎn)稱為萊布尼茲三角形。,根據(jù)前五行的規(guī)律,可以知道第六行的第三個(gè)數(shù)是,( 1/60 ),在觀察中進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換,打破常規(guī),從下到上。楊輝三角中,一肩扛兩數(shù),是從上到下習(xí)慣觀察順序,上行兩數(shù)的和與下行中間正對(duì)數(shù)相等;萊布三角形中,一腳踏兩數(shù),是自下而上的觀察順序,下行兩數(shù)的和與上行中間正對(duì)數(shù)相等.,布萊尼茲三角與楊輝三角有著相似的性質(zhì):,(1)第n+1條線上所有數(shù)之和等于1/n。即,某些由單位分?jǐn)?shù)組成的 無(wú)窮級(jí)數(shù)可以由布萊尼茲三角求得。,如:1/2 = 1/3 + 1/12 + 1/30 + 1/4 = 1/5 + 1/30 + 1/105 + ,(2)布萊尼茲三角中每一個(gè)數(shù)等于其腳下兩個(gè)數(shù)之和。,如:1/2 = 1/3 + 1/6 X 1/6 = 1/12 + 1/12 X 1/12 = 1/20 + 1/30,科學(xué)的發(fā)現(xiàn)離不開(kāi)仔細(xì)的觀察,數(shù)學(xué)領(lǐng)域中也是如此。著名數(shù)學(xué)學(xué)歐拉曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“在被稱為純數(shù)學(xué)的那部分?jǐn)?shù)學(xué)中,觀察無(wú)疑地也占有重要的地位?!蔽以撛谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)和生活中注意觀察,學(xué)會(huì)觀察,善于觀察,不斷提高自己的觀察能力。,總結(jié):,

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