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1、阻尼系數(shù)和固有頻率 的測(cè)量,8.1 阻尼系數(shù)的測(cè)量,8.1.1 自由振動(dòng)衰減法,圖1 單自由度系統(tǒng)模型,圖1所示的一個(gè)單自由度質(zhì)量---彈簧----阻尼系統(tǒng)，其質(zhì)量為m (kg)，彈簧剛度系數(shù)為k (N/m)，粘性阻尼系數(shù)為r (N. m /s)。當(dāng)質(zhì)量上承受初始條件t=0時(shí)，位移 ，速度 激勵(lì)時(shí)，將做自由衰減振動(dòng)。在弱阻尼條件下其位移響應(yīng)為,衰減系數(shù),（1）,響應(yīng)曲線如圖2所示。,結(jié)論：,為衰減振動(dòng)的周期， 為衰減振動(dòng)的頻率， 為衰減振動(dòng)的圓頻率。,圖2 弱阻尼衰減振動(dòng)的響應(yīng)曲線,從圖2衰減振動(dòng)的響應(yīng)曲線上可直接測(cè)量出 ，然后根據(jù) 可計(jì)算出 n ；
2、 計(jì)算出 p； 可計(jì)算出 計(jì)算出r； 計(jì)算出無(wú)阻尼時(shí)系統(tǒng)的固有頻率 ； 計(jì)算出無(wú)阻尼時(shí)系統(tǒng)的固有周期,對(duì)于衰減系數(shù)n，可以用三種方法來(lái)計(jì)算：,1、由相鄰的正逢（或相鄰的負(fù)峰）幅值比計(jì)算,2、由相鄰的峰---峰幅值比計(jì)算,3、小阻尼情況適用公式,8.1.2 半功率點(diǎn)法,圖3所示為一個(gè)單自由度質(zhì)量---彈簧----阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)模型。其質(zhì)量為m(kg)，彈簧剛度系數(shù)為k (N/m)，粘性阻尼系數(shù)為r (N. m /s)。質(zhì)量m上承受簡(jiǎn)諧激振力 作用。其強(qiáng)迫振動(dòng)的位移響應(yīng)為,圖3 單自由度系統(tǒng)模型,引入符號(hào),則有,上式中， 相當(dāng)于激振力的最大幅值 靜止地作用在彈
3、簧上所引起的彈簧靜變形； 稱為頻率比； 稱為放大因子，以 為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)，對(duì)于不同的 值所得到的一組曲線，稱為幅頻響應(yīng)曲線，如圖4所示（圖中只給出了一種 值）； 為位移響應(yīng)滯后力的相位角，以 為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)，對(duì)于不同的 值所得到的一組曲線，稱為相頻響應(yīng)曲線，如圖5所示。,圖4 強(qiáng)迫振動(dòng)幅頻響應(yīng)曲線,圖5 強(qiáng)迫振動(dòng)相頻響應(yīng)曲線,在幅頻響應(yīng)曲線中，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，其最大值 。在圖中作一條水平線，其縱坐標(biāo)為 ，與曲線交于 兩點(diǎn)，該兩點(diǎn)稱為半功率點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離為,圖4 強(qiáng)迫振動(dòng)幅頻響應(yīng)曲線,8.1.3 共振法,強(qiáng)迫振動(dòng)的位移響應(yīng)為,
4、速度響應(yīng)為,速度幅值為,取得極值的條件為 ，即當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生速度共振， 。此時(shí)相位差 ，即速度響應(yīng)與激振力 之間的相位差為0；阻尼力 ，即激振力所作的功全部被阻尼所消耗。故有系統(tǒng)發(fā)生速度共振時(shí)，,因此，只要測(cè)量系統(tǒng)發(fā)生速度共振時(shí)的速度幅值 和激振力幅值 ，即可計(jì)算出阻尼系數(shù) ，并根據(jù) 算出衰減系數(shù) ， 算出相對(duì)阻尼系數(shù) 。,也可利用示波器力與速度的圖像來(lái)測(cè)量阻尼系數(shù)。如圖6所示，將力信號(hào)接入示波器的x 軸，速度信號(hào)接入示波器的y 軸，兩通道的放大倍數(shù)調(diào)成一致，因二者之間的相位差為0，故形成圖示的
5、直線，該直線的斜率即為阻尼系數(shù)，即,圖6 共振法測(cè)阻尼的圖像,若x軸接入的是位移信號(hào)，則形成的圖像為正橢圓，橢圓與x、y軸的交點(diǎn)即為 和 。據(jù)此也可測(cè)出阻尼系數(shù),8.2 固有頻率的測(cè)量,8.2.1 自由振動(dòng)衰減法,系統(tǒng)的固有頻率是指系統(tǒng)無(wú)阻尼時(shí)自由振動(dòng)的頻率，即 。 對(duì)圖1所示的單自由度質(zhì)量---彈簧----阻尼系統(tǒng)，當(dāng)受初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)的衰減曲線如圖2所示。在曲線上可直接測(cè)量并計(jì)算出衰減的周期 ，衰減系數(shù) 、相對(duì)阻尼系數(shù) ，因而有,圖1 單自由度系統(tǒng)模型,圖2 弱阻尼衰減振動(dòng)的響應(yīng)曲線,8.2.1 速度共振的相位判別法,圖3 單自由度系統(tǒng)模型,圖3所示為一個(gè)單自
6、由度質(zhì)量---彈簧----阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)模型。,位移響應(yīng)為,幅值B取得極值的條件為 ，即在該點(diǎn)發(fā)生共振。共振幅值,位移信號(hào)與激振力信號(hào)之間的相位差,速度響應(yīng)為,幅值 取得極值的條件為 ，即在該點(diǎn)發(fā)生共振。共振幅值,速度信號(hào)與激振力信號(hào)之間的相位差,加速度響應(yīng),幅值 取得極值的條件為 ，即在該點(diǎn)發(fā)生共振。共振幅值,加速度信號(hào)與激振力信號(hào)之間的相位差,圖7 速度響應(yīng)判別速度共振,圖8位移響應(yīng)判別速度共振,圖9加速度響應(yīng)判別速度共振,速度共振的相位判別法的依據(jù)即為系統(tǒng)發(fā)生速度共振時(shí)，激振力和速度響應(yīng)之間的相位差為0。實(shí)驗(yàn)時(shí)，將激振力信號(hào)接入示波器的軸，速度響應(yīng)信號(hào)接
7、入示波器的軸，改變激振信號(hào)的頻率，根據(jù)李沙育原理，屏幕上將出現(xiàn)如圖的圖像。即當(dāng)圖像變成斜直線時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生速度共振，此時(shí)， ，即激振力的頻率就是系統(tǒng)的固有頻率。 若示波器軸上分別接入的是位移信號(hào)和加速度信號(hào)，則屏幕上出現(xiàn)圖，的圖像。,8.2. 穩(wěn)態(tài)激振法,圖3 單自由度系統(tǒng)模型,圖3所示為一個(gè)單自由度質(zhì)量---彈簧----阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)模型。,位移響應(yīng)為,位移幅值,系統(tǒng)確定后p,n,m是確定的。只要保證激振力幅值 是常量， 的大小唯一取決于激振力頻率 。穩(wěn)態(tài)激振法是每給定一個(gè)激振頻率 ，測(cè)量一次位移響應(yīng)幅值 ，從而得到一組 隨 變化的數(shù)據(jù)。以 為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)，可描在
8、曲線上，振幅最大的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的激振頻率稱為共振頻率，測(cè)試系統(tǒng)發(fā)生了位移共振。,圖10 強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)幅頻響應(yīng)曲線,式中，相對(duì)阻尼系數(shù) 可以通過(guò)半功率點(diǎn)法測(cè)得，在 的情況下也可忽略，此時(shí)系統(tǒng)的共振頻率等于固有頻率。 若測(cè)量的是系統(tǒng)速度響應(yīng)幅值與激振頻率之間的關(guān)系曲線，則系統(tǒng)的共振頻率就是固有頻率，即 若測(cè)量的是系統(tǒng)加速度幅值與激振頻率之間的關(guān)系曲線，則系統(tǒng)的共振頻率與固有頻率的關(guān)系為,8.3 傳遞函數(shù)與頻響函數(shù),圖11單自由度粘性阻尼系統(tǒng),由振動(dòng)理論可知，圖11所示單自由度粘性阻尼系統(tǒng)，阻尼力 ，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為：,對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并假設(shè)初始速度、位移值為0，有,式中s為拉氏
9、變換因子，為復(fù)變量，也稱復(fù)頻率，其實(shí)部和虛部常用 和 表示，即 ； 為 的拉氏變換， 為 的拉氏變換。按照機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義，有該系統(tǒng)的傳遞函數(shù),對(duì)于自由振動(dòng)， ，則有 。在小阻尼的情況下，求得的一對(duì)共軛復(fù)根為,和 稱為該系統(tǒng)的復(fù)頻率，其實(shí)部 即為系統(tǒng)的衰減系數(shù)，虛部 為系統(tǒng)的有阻尼固有頻率。,對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程兩邊進(jìn)行傅立葉變換，即 ，即有系統(tǒng)的頻響函數(shù),式中， 為 的傅立葉變換， 為 的傅立葉變換。,頻響函數(shù)是頻率的函數(shù)，為復(fù)數(shù)，即有幅值與相位，又有實(shí)部與虛部，常用以下曲線來(lái)描述其特性。,8.3.1 Bode圖,頻
10、響函數(shù)的幅頻圖和相頻圖稱為Bode圖。對(duì)粘性阻尼，其模與相位角為,式中， 為頻率比， 為相對(duì)阻尼系數(shù)，圖形如圖12,圖12 頻響函數(shù)的幅頻與相頻圖,8.3.2 實(shí)頻圖與虛頻圖,頻響函數(shù)的實(shí)部和虛部分別為,其圖形如圖13所示。在實(shí)部圖上，利用半功率點(diǎn)法可以識(shí)別出系統(tǒng)的相對(duì)阻尼系數(shù) ， 時(shí)虛部達(dá)到極大值，實(shí)部為0，系統(tǒng)處于共振狀態(tài)，可識(shí)別出系統(tǒng)的固有頻率。,圖13頻響函數(shù)的實(shí)部與虛部圖,8.3.2 Nyquist圖,以頻響函數(shù)的實(shí)部為橫坐標(biāo)，虛部為縱坐標(biāo)，繪出頻響函數(shù)矢量隨頻率的變化圖，這些變化矢量的端點(diǎn)軌跡圖稱為Nyquist圖，圖形方程為：,圖形如圖14所示。在圖中虛部與圖的交點(diǎn)處的頻率即為系統(tǒng)的固有頻率 p ，實(shí)部達(dá)到極值的兩點(diǎn)即為半功率點(diǎn)，由此可確定系統(tǒng)的相對(duì)阻尼系數(shù)。,圖14 頻響函數(shù)的Nyquist圖,
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