2014屆高三數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)+難點(diǎn)）《 第32講 數(shù)列的綜合問題課時(shí)訓(xùn)練卷 理 新人教A版

《2014屆高三數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)+難點(diǎn)）《 第32講 數(shù)列的綜合問題課時(shí)訓(xùn)練卷 理 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014屆高三數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)+難點(diǎn)）《 第32講 數(shù)列的綜合問題課時(shí)訓(xùn)練卷 理 新人教A版（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、[第32講　數(shù)列的綜合問題] (時(shí)間：45分鐘　分值：100分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．[2013·遼寧三校聯(lián)考] “λ<1”是“數(shù)列an＝n2－2λn(n∈N*)為遞增數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2．對(duì)于數(shù)列{an}，a1＝4，an＋1＝f(an)，n＝1，2，…，則a2 012等于(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 A.2 B．3 C．4 D．5 3．[2013·威海一模] 已知函數(shù)f(

2、x)＝x2＋2bx過點(diǎn)(1，2)，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012的值為(　　) A. B. C. D. 4．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升． 5．[2013·湖南六校聯(lián)考] 已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3＞0，則f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值(　　) A．恒為正數(shù) B．恒為負(fù)數(shù) C．恒為0 D．可正可負(fù) 6．已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝＋f(x)，x∈R，且f(1)＝

3、，則數(shù)列{f(n)}(n∈N*)的前20項(xiàng)的和為(　　) A．305 B．315 C．325 D．335 7．已知向量a＝(an，2)，b＝，且a1＝1，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a∥b，則Sn＝(　　) A. B. C. D. 8．[2013·開封模擬] 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，則滿足Sn>1 025的最小n值是(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 9．[2013·信陽二調(diào)] 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知(a2－1)3＋2 011(a2－1)＝sin，(

4、a2 010－1)3＋2 011(a2 010－1)＝cos，則S2 011等于(　　) A．0 B．2 011 C．4 022 D．2 011 10．有這樣一首詩：“有個(gè)學(xué)生資性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，問君每日讀多少？”(注：《孟子》全書共34 685字，“一倍多”指一倍)，由此詩知該君第二日讀的字?jǐn)?shù)為________． 11．[2013·南通一模] 各項(xiàng)均為正偶數(shù)的數(shù)列a1，a2，a3，a4中，前三項(xiàng)依次成公差為d(d>0)的等差數(shù)列，后三項(xiàng)依次成公比為q的等比數(shù)列，若a4－a1＝88，則q的所有可能的值構(gòu)成的集合為________． 12．[2013·泉州質(zhì)

5、檢] 同學(xué)們都有這樣的解題經(jīng)驗(yàn)：在某些數(shù)列的求和中，可把其中一項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差，使得某些項(xiàng)可以相互抵消，從而實(shí)現(xiàn)化簡求和．如：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝，則將其通項(xiàng)化為an＝－，故數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＋＋…＋＝1－＝.“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的數(shù)列，在斐波那契數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝1，an＋an＋1＝an＋2(n∈N*)，若a2 013＝a，那么數(shù)列{an}的前2 011項(xiàng)的和是________． 13．已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，數(shù)列{xn}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，滿足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，則x2013的值等于

6、________． 14．(10分)已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，滿足2S2＝a2(a2＋1)，且a1＝1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的最小值項(xiàng)． 15．(13分)[2013·廈門質(zhì)檢] 某軟件公司新開發(fā)一款學(xué)習(xí)軟件，該軟件把學(xué)科知識(shí)設(shè)計(jì)為由易到難共12關(guān)的闖關(guān)游戲．為了激發(fā)闖關(guān)熱情，每闖過一關(guān)都獎(jiǎng)勵(lì)若干慧幣(一種網(wǎng)絡(luò)虛擬幣)．該軟件提供了三種獎(jiǎng)勵(lì)方案：第一種，每闖過一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)40慧幣；第二種，闖過第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)4慧幣，以后每一關(guān)比前一關(guān)多獎(jiǎng)勵(lì)4慧幣；第三種，闖過第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)0.5慧幣，以后每一關(guān)比前一

7、關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)翻一番(即增加1倍)，游戲規(guī)定：闖關(guān)者須于闖關(guān)前任選一種獎(jiǎng)勵(lì)方案． (1)設(shè)闖過n(n∈N*，且n≤12)關(guān)后三種獎(jiǎng)勵(lì)方案獲得的慧幣依次為An，Bn，Cn，試求出An，Bn，Cn的表達(dá)式； (2)如果你是一名闖關(guān)者，為了得到更多的慧幣，你應(yīng)如何選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案？ 16．(12分)[2013·湘潭三模] 國家助學(xué)貸款是由財(cái)政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生支付在校學(xué)習(xí)期間所需的學(xué)費(fèi)、住宿費(fèi)及生活費(fèi)．每一年度申請(qǐng)總額不超過6 000元．某大學(xué)2013屆畢業(yè)生凌霄在本科期間共申請(qǐng)了24 000元助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)

8、后3年內(nèi)(按36個(gè)月計(jì))全部還清．簽約的單位提供的工資標(biāo)準(zhǔn)為第一年內(nèi)每月1 500元，第13個(gè)月開始，每月工資比前一個(gè)月增加5%直到4 000元．該同學(xué)計(jì)劃前12個(gè)月每個(gè)月還款額為500元，第13個(gè)月開始，每月還款額比前一月多x元． (1)若該同學(xué)恰好在第36個(gè)月(即畢業(yè)后三年)還清貸款，求x的值； (2)當(dāng)x＝50時(shí)，該同學(xué)將在第幾個(gè)月還清最后一筆貸款？他當(dāng)月工資的余額是否能滿足每月3 000元的基本生活費(fèi)？ (參考數(shù)據(jù)：1.0518＝2.406，1.0519＝2.526，1.0520＝2.653，1.0521＝2.786) 課

9、時(shí)作業(yè)(三十二) 【基礎(chǔ)熱身】 1．A　[解析] 若λ<1，則an＋1－an＝(n＋1)2－2λ(n＋1)－(n2－2λn)＝2(n－λ)＋1， 由n∈N*，即n≥1，得an＋1－an＞0，即數(shù)列{an}為遞增數(shù)列； 若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則an＋1－an＞0，即2(n－λ)＋1＞0，解得λ<，由n∈N*，即n≥1，得λ<，則λ<1不一定成立，故選A. 2．A　[解析] 由已知a1＝4，a2＝f(a1)＝1，a3＝f(a2)＝5，a4＝f(a3)＝2，a5＝f(2)＝4，…即數(shù)列{an}是周期為4的數(shù)列，而2 012＝503×4，則a2 012＝a4＝2，故選A. 3．D　[解

10、析] 由函數(shù)f(x)＝x2＋2bx過(1，2)點(diǎn)，得b＝， ∴＝＝－， S2 012＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝，故選D. 4.　[解析] 設(shè)該等差數(shù)列為{an}，公差為d，則有即 解得a1＝，d＝， 所以a5＝a1＋4d＝＋4×＝. 【能力提升】 5．A　[解析] f(0)＝0，a3＞0，f(a3)＞f(0)＝0，又a1＋a5＝2a3＞0，∴a1＞－a5，∴f(a1)＞f(－a5)＝－f(a5)， ∴f(a1)＋f(a5)＞0，故選A. 6．D　[解析] 由已知f(x＋1)－f(x)＝， 則數(shù)列{f(n)}是等差數(shù)列，公差為， 其前20項(xiàng)和為20×＋×＝335，故選D.

11、 7．A　[解析] 由向量a∥b，得an＝2an＋1，即＝，數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列，則Sn＝＝，故選A. 8．C　[解析] ∵log2an＋1＝log2an＋1，∴l(xiāng)og2＝1，∴＝2，所以，數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn＝＝2n－1>1 025，∴2n>1 026.又210<1 026<211，∴n>10，∴nmin＝11.故選C. 9．B　[解析] ∵sin＝sin＝sin＝， cos＝cos＝cosπ＝－cos＝－， ∴(a2－1)3＋2 011(a2－1)＝，(a2 010－1)3＋2 011(a2 010－1)＝－， 兩式相加，得[(a2－1

12、)3＋(a2 010－1)3]＋2 011[(a2－1)＋(a2 010－1)]＝0， 即(a2＋a2 010－2)[(a2－1)2－(a2－1)(a2 010－1)＋(a2 010－1)2＋2 011]＝0， ∵(a2－1)2－(a2－1)(a2 010－1)＋(a2 010－1)2＋2 011>0， ∴a2＋a2 010＝2，∴S2 011＝＝2 011，故選B. 10．9 910　[解析] 設(shè)第一日讀的字?jǐn)?shù)為a，由“每日添增一倍多”得此數(shù)列是以a為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，可求得三日共讀的字?jǐn)?shù)為＝7a＝34 685，解得a＝4 955，則2a＝9 910，即該君第二日讀的字?jǐn)?shù)為9

13、 910. 11.　[解析] 設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a1，a1＋d，a1＋2d，a1＋88，其中a1，d均為正偶數(shù)，則(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋88)，整理得a1＝>0， (注意體會(huì)這里用“a1>0”而不用“a1≥2”的好處，實(shí)際是一種估算能力) 所以(d－22)(3d－88)<0，即22

14、＝a2 013，各式相加，得a2＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 011＝a2 013，故數(shù)列{an}的前2011項(xiàng)和為a－1. 13．4 003　[解析] 設(shè)x8＝m，則x9＝m＋2，x10＝m＋4，x11＝m＋6，且x8＋x11＝x9＋x10， ∴f(m)＋f(m＋2)＋f(m＋4)＋f(m＋6)＝0， 且f(m)0. 若m與m＋6關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則m＋2與m＋4也關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱， ∵f(x)是奇函數(shù)，即f(－x)＝－f(x)， ∴f(m)＋f(m＋2)＋f(m＋4)＋f(m＋6)≠0，矛盾， ∴m與m

15、＋6關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m＋2與m＋4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 則m＝－3，x8＝－3，x2 011＝x8＋(2 011－8)×2＝4 003. 14．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由2S2＝a＋a2，可得2(a1＋a1＋d)＝(a1＋d)2＋(a1＋d)． 又a1＝1，數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，可得d＝1. 數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴an＝n. (2)根據(jù)(1)得Sn＝，bn＝＝＝n＋＋1. 由于函數(shù)f(x)＝x＋(x>0)在(0，]上單調(diào)遞減，在[，＋∞)上單調(diào)遞增， 而3<<4，且f(3)＝3＋＝＝，f(4)＝4＋＝＝， 所以當(dāng)n＝4時(shí)，bn取得最小值，且最小

16、值為＋1＝. 即數(shù)列{bn}的最小值項(xiàng)是b4＝. 15．解：(1)第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成常數(shù)列，∴An＝40n， 第二種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是4，公差為4的等差數(shù)列， ∴Bn＝4n＋×4＝2n2＋2n， 第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是0.5，公比為2的等比數(shù)列， ∴Cn＝＝(2n－1)． (2)令A(yù)n>Bn，即40n>2n2＋2n，解得n<19， ∵n∈N*，且n≤12，∴An>Bn恒成立． 令A(yù)n>Cn，即40n>(2n－1)，可得n<10， ∴當(dāng)n<10時(shí)，An最大；當(dāng)10≤n≤12時(shí)，Cn>An. 綜上，若我是一名闖關(guān)者，當(dāng)能沖過的

17、關(guān)數(shù)小于10時(shí)，應(yīng)選用第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案；當(dāng)能沖過的關(guān)數(shù)大于等于10時(shí)，應(yīng)選用第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案． 【難點(diǎn)突破】 16．解：(1)依題意，從第13個(gè)月開始，每個(gè)月的還款為an構(gòu)成等差數(shù)列，其中a1＝500＋x，公差為x, 從而，到第36個(gè)月，凌霄共還款12×500＋24a1＋·x. 令12×500＋(500＋x)×24＋·x＝24 000，解之得x＝20. 即要使在三年全部還清，第13個(gè)月起每個(gè)月必須比上一個(gè)月多還20元． (2)設(shè)凌霄第n個(gè)月還清，則應(yīng)有 12×500＋(500＋50)×(n－12)＋·50≥24 000， 整理可得n2－3n－828≥0，解之得n≥>30，取n＝31. 即凌霄工作31個(gè)月就可以還清貸款． 這個(gè)月凌霄的還款額為 24 000－12×500＋(500＋50)×(30－12)＋·50＝450元． 第31個(gè)月凌霄的工資為1 500×1.0519＝1 500×2.526＝3 789元． 因此，凌霄的剩余工資為3 789－450＝3 339，能夠滿足當(dāng)月的基本生活需求．