2013年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專(zhuān)題14 極 限

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1、2013年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專(zhuān)題14 極 限【難點(diǎn)突破】 難點(diǎn) 1 數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用 1．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足條件（n-1）an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,設(shè)bn=an+n(n∈N*), (1)求{bn}的通項(xiàng)公式； （2）求（）的值。 2．設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)所有的有理數(shù)m、n都有|f(m+n)-f(m)| ≤證明：對(duì)所有正整數(shù)k有|f(2k)-f(2i)| ≤ 2．設(shè)xn=,求數(shù)列{xn}的極限。 【解析】 由于的極限都不存在，所以應(yīng)先將xn變形，使之變成極限可求的數(shù)列。 【答案】 因?yàn)閤n==用除分子和【答案】 =。 難點(diǎn) 4 函數(shù)

2、的連續(xù)性 1．函數(shù)f(x)在x0處有定義是（fx）存在的 （ ） A．充分不必要條件 【特別提醒】 1．深刻理解函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)的概念，即函數(shù)f(x)在x0處有定義。f(x)在x0處有極限。f(x)=f(x0).函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)反映在圖像上是f(x)在x0處是不間斷的。 2．由連續(xù)的定義，可以得到計(jì)算極限的一種方法：如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，則 f(x)=f(x0)，只要求出函數(shù)值f(x0)即可 【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】 易錯(cuò)點(diǎn) 1 數(shù)學(xué)歸納法 1．已知a>0,數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=a,an+1=a+,n=1,2,…. (Ⅰ)已知數(shù)列{an}極限存在且大

3、于零，求A=(將A用a表示)； (Ⅱ)設(shè)bn=an-A,n=1,2…,證明：bn+1=- (Ⅲ)若|bn|≤, 對(duì)n=1,2…都成立，求a的取值范圍。 【錯(cuò)誤解答】 (Ⅰ)由，存在，且A=（A>0）,對(duì)aa+1=a+兩邊取極限得，由于 而當(dāng)a≥時(shí)，而當(dāng)a≥時(shí)， ∴即A|bk+A|≥2. 故當(dāng)a≥時(shí)， 即n=k+1時(shí)結(jié)論成立。 根據(jù)(i)和(ii)，可知結(jié)論對(duì)一切正整數(shù)都成立。 ①當(dāng)n=1時(shí)，a1=,猜想成立； ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即ak=成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閍k+1=ak，所以ak+1=·=這表明，當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立。 由①，②可知，猜想對(duì)

4、n∈N*都成立。 3．已知不等式++…+>[log2n],其中n為大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過(guò)log2n的最大整數(shù)。設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，且滿(mǎn)足a1=b(b>0),an≤,n=2,3,4,…. 【特別提醒】 1．一般與自然數(shù)相關(guān)的命題，或有關(guān)代數(shù)恒等式的證明，三角恒等式、三角不等式、整除性、與數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題和有關(guān)幾何問(wèn)題都可用數(shù)學(xué)歸納法。 2．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第二步是關(guān)鍵、必須用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法的證明。 【變式訓(xùn)練】 1. 曲線C：xy=1(x>0)與直線l:y=x相交于A1,作A1B1⊥l交x軸于B1,作B1A2∥l交曲線C于A2…依此類(lèi)推。

5、 2. 設(shè)數(shù)列a1,a2,…，an,…的前n項(xiàng)的和Sn和an的關(guān)系是Sn=1-ban-其中b是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，且b≠-1。 （1）求an和an-1的關(guān)系式； 答案： an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)- 解得an= （2）猜想an的表達(dá)式（用n和b表示）； 答案：∵a=S1=1-ba1- 1．已知數(shù)列{xn}滿(mǎn)足x2=xn=(xn-1+xn-2),n=3,4,….若=2,則x1= ( ) A． B．3 C．4 D．5 A．2 B．4 C． D．0 ∴ ∴ =

6、=1 4、計(jì)算：=___________。 Sn= 2.對(duì)于型的數(shù)列極限，分子分母同除以最大數(shù)的最高次項(xiàng)，然后分別求極限。 3．運(yùn)算法則中各個(gè)極限都應(yīng)存在，都可推廣到任意有限個(gè)極限的情況，不能推廣到無(wú)限個(gè)。 【變式訓(xùn)練】 1 若q為二項(xiàng)式（）8的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，則=___________. 4 設(shè)an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N+,q≠±)，An=C1na1+C2na+…+Cnnan (1)用q和n表示An; 【正【特別提醒】 1．求函數(shù)的極限時(shí)，如果x→x0即x0是連續(xù)的點(diǎn)。即使函數(shù)f(x)有意義的點(diǎn)，只需求f(x0)的值。就是函數(shù)的極限值。 2．當(dāng)f(x

7、)在x0處不連續(xù)時(shí)，即x=x0代入后使式子f(x)無(wú)意義，應(yīng)考慮約去此因式，使之有意義時(shí)再求f(x0)的值，即為極限值。 3．已知函數(shù)的極限，求出函數(shù)中的系數(shù)時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)條件，即存在性與極限值同時(shí)考慮。 【變式訓(xùn)練】 1 設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo)，f(x0)=0則nf(x0-)=___________. 易錯(cuò)點(diǎn) 4 函數(shù)的連續(xù)性 1．極限f(x)存在是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)的 （ ） A．充分而不必要的條件 B．必要而不充分的條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件 ∴f(x)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（-1，+∞）。 而在定域內(nèi)，x=1時(shí)。 f

8、(x)=0. f(x)=-1. ∴f(x)不存在。 故f(x)在x=1處不連續(xù)?！鄁(x)在定義域內(nèi)不連續(xù)。 【特別提醒】 1．在判斷函數(shù)的連續(xù)性時(shí)，充分運(yùn)用它的重要條件，即f(x)=f(x0).前提是f(x)在x0處的極限要存在。 2．在求函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)時(shí)，或不連續(xù)區(qū)間。首先是定義之外的點(diǎn)或區(qū)域一定不連續(xù)。往往只須考慮定義域內(nèi)的不連續(xù)部分。 【變式訓(xùn)練】 1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n),則最大的m的值為 （ ） A．30 B．26 C．36 D．6 2.記二項(xiàng)式（1+2x

9、）n展開(kāi)式的各系數(shù)和為an,其二項(xiàng)系數(shù)為b，則等于 （ ） A．1 B．-1 C．0 D． 不存在 5. 已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145 (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式bn; 答案：解：設(shè)數(shù)列為{bn}的公差為d由題意知 （2）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga(1+)(其中a>0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論。 7.設(shè)實(shí)數(shù)q滿(mǎn)足|q|<1,數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=2,a2≠0,an·an+1=-qn,求an表達(dá)式，又如果S2n<3,求q的取值范

10、圍。 （Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線ln的斜率為bn.且與曲線y=x2有且僅一個(gè)交點(diǎn)，與y軸交于Dn，記dn=-(2n+7)求dn; 答案：設(shè)ln:y=bnx+m.由 ∴△=令x=0得y=-(3n+1)2 ∴ Dn(0,-3(n+1)2)Dn+1 (0,-3,(n+4)2∴ ∴dn=|DnDn+1|-(2n+7)=4n-2 (Ⅲ)若xn=(n∈N)求證(x1+x2+…+xn-n)=1. 答案： xn= ∴x1+x2+…+xn-n=(1- 9.某學(xué)生在體育訓(xùn)練時(shí)弄傷了膝關(guān)節(jié)，醫(yī)生給開(kāi)了一些消炎藥，并囑咐每天早晚8點(diǎn)各服用一片藥片，已知該藥品每征220mg,他的賢臟每次12

11、小時(shí)從體內(nèi)濾出這種藥的60%，如果這種藥在體內(nèi)殘留超過(guò)386mg,將產(chǎn)生副作用。 請(qǐng)問(wèn)：（1）該同學(xué)上午8時(shí)第一次服藥后，到第二天早晨服藥后，藥在體內(nèi)還殘留多少？ 10.已知點(diǎn)集L={（x,y）|y=m·n},其中m=(2x-b,1),n=(1,b+1),點(diǎn)列Pn(an,bn)在L中，P1為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列{an}的公差為1，n∈N+. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式； an-an+1=an- ∴a1,…an>an+1>…>2,即{an}是行列增后減數(shù)列，（an）max=a2= （2）已知圓錐曲線Cn的方程為：設(shè)Cn=C,求曲線C的方程并求曲線

12、C的面積。 答案：由上可知，所以圓錐曲線Cn為橢圓. 由于{an} 存在極限，所以可設(shè) 14．已知 =,且 （1）求 ， ， （2）猜測(cè){ }的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明之. 解: ∵, ∴ 15. 自然狀態(tài)下的魚(yú)類(lèi)是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響. 用xn表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c. （Ⅰ）求xn+1與xn的關(guān)系式； （Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿(mǎn)足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？（不要求證明） （Ⅲ）設(shè)a＝2，b＝1，為保證對(duì)任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論. 解（I）從第n年初到第n+1年初，魚(yú)群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為 （II）若每年年初魚(yú)群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*，從而由（*）式得