高考數(shù)學大一輪復習 第七章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課件 理 新人教A版.ppt

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1、(理)第7節(jié)立體幾何中的向量方法,.理解直線的方向向量與平面的法向量.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系.能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理(包括三垂線定理).能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何中的應用.能用向量法解決空間的距離問題,,,整合主干知識,1用向量證明空間中的平行或垂直 (1)直線的方向向量：直線的方向向量就是指和這條直線所對應向量____(或共線)的向量，顯然一條直線的方向向量有____個 (2)若直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量，顯然一個平面的法向量也

2、有____個，它們是____向量,平行,無數(shù),無數(shù),共線,質(zhì)疑探究：在求平面法向量時，所列方程組中有三個變量，但只有兩個方程，如何處理？ 提示：給其中某一變量恰當賦值，求出該方程組的一組非零解，即可以作為平面法向量的坐標,(3)用向量證明空間中的平行關系 設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2(或l1與l2重合)v1v2. 設直線l的方向向量為v，與平面共面的兩個不共線向量v1和v2，則l或l存在兩個實數(shù)x，y使vxv1yv2. 設直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l或lvu. 設平面和的法向量分別為u1，u2，則u1u2.,(4)用向量證明空間中的垂直關系 設直線l1

3、和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2v1v2v1v20. 設直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則lvu. 設平面和的法向量分別為u1和u2，則u1u2u1u20.,2用向量計算空間角和距離 空間向量與空間角的關系 (1)設異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角滿足cos |cosm1，m2|. (2)設直線l的方向向量和平面的法向量分別為m，n，則直線l與平面所成角滿足sin |cosm1，m2|.,如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos cosn1，n2或cosn1，n2,,,1(2015西安模擬)若直線l的方

4、向向量為a(1，1,2)，平面的法向量為u(2,2，4)，則() AlBl Cl Dl與斜交 解析：因為直線l的方向向量a(1，1,2)與平面的法向量u(2,2，4)共線，則說明了直線與平面垂直，故選B. 答案：B,2設平面的法向量為(1,2，2)，平面的法向量為(2，4，k)，若，則k等于() A2 B4 C4 D2 答案：C,3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線NO、AM的位置關系是() A平行 B相交 C異面垂直 D異面不垂直,,答案：C,,4長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為

5、CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為________,,答案：,,聚集熱點題型,典例賞析1 (2015湖北省八校聯(lián)考)如圖，直三棱柱ABCABC的側(cè)棱長為3，ABBC，且ABBC3，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AEBF. (1)求證：無論E在何處，總有BCCE；,用向量證明垂直或求異面直線所成的角,,(2)當三棱錐BEBF的體積取得最大值時，求異面直線AF與AC所成角的余弦值 思路索引(1)借助于線面關系證明BC面ABC，從而可證BCCE.當VBEBF為最大值確定E(F)的位置，解三角形求角的余弦值 (2)以B為原點建系，用向量求解,解析(法一)(1)證明：由題意知，

6、四邊形BBCC是正方形，連接AC，BC，則BCBC. 又ABBC，BBAB， AB平面BBCC. BCAB，BC平面ABC. 又CE平面ABC，BCCE.,,,,變式訓練 1(2014鄭州第一次質(zhì)檢)如圖，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC2AD4，ABC60，BFAC. (1)求證：AC平面ABF； (2)求異面直線BE與AC所成的角的余弦值,,,典例賞析2,用向量證明平行或求二面角,,(1)證明：PQ平面BCD； (2)若二面角CBMD的大小為60，求BDC的大小,思路索引立體幾何題目一般有兩種思路：傳統(tǒng)法和向量法傳統(tǒng)法是借助立體幾何中的相關定義、定理，通過邏輯推理證明來完成(

7、1)要證明線面平行，根據(jù)判定定理可通過證明線線平行來實現(xiàn)；(2)求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通過解三角形求解向量法則是通過建立空間直角坐標系，求出相關的坐標，利用向量的計算完成證明或求解直線一般求其方向向量，平面一般求其法向量(1)只要說明直線的方向向量與對應平面的法向量垂直即可；(2)二面角的大小即為兩個平面的法向量的夾角或其補角,,圖(1),(2)解：如圖(1)，作CGBD于點G，作GHBM于點H，連接CH. 因為AD平面BCD，CG平面BCD，所以ADCG. 又CGBD，ADBDD，故CG平面ABD. 又BM平面ABD，所以CGBM. 又GHBM，CGGHG，故BM平面CGH

8、， 所以GHBM，CHBM. 所以CHG為二面角CBMD的平面角，,,圖(2),拓展提高本題方法一采用了傳統(tǒng)法，在第二問中要作出CBMD的平面角，這里采用了棱BM的垂面(面CGH)法，作、證、算于一體二面角的做法一直是個難點，不如建系用向量方法求簡單，如方法二,,變式訓練 2(2014四川高考)三棱錐ABCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示設M，N分別為線段AD，AB的中點，P為線段BC上的點，且MNNP.,,(1)證明：P是線段BC的中點； (2)求二面角ANPM的余弦值 (1)證明：如圖所示，取BD的中點O，連接AO，CO. 由側(cè)視圖及俯視圖知，ABD，BCD為正三角形， 所以AOBD，OCBD

9、. 因為AO，OC平面AOC，且AOOCO， 所以BD平面AOC.,,又因為AC平面AOC，所以BDAC. 取BO的中點H，連接NH，PH. 又M，N，H分別為線段AD，AB，BO的中點，所以MNBD，NHAO， 因為AOBD，所以NHBD. 因為MNNP，所以NPBD. 因為NH，NP平面NHP，且NHNPN，所以BD平面NHP.,又因為HP平面NHP，所以BDHP. 又OCBD，HP平面BCD，OC平面BCD，所以HPOC. 因為H為BO的中點，所以P為BC的中點 (2)解：方法一：如圖所示，作NQAC于Q，連接MQ.,,,典例賞析3 (2014福建高考)在平面四邊形ABCD中，ABBDC

10、D1，ABBD，CDBD.將ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如圖所示,用向量求線面角,(1)求證：ABCD； (2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值,思路索引(1)轉(zhuǎn)化為證明AB平面BCD；(2)利用坐標法 解析(1)證明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD. 又CD平面BCD，ABCD.,(2)解：過點B在平面BCD內(nèi)作BEBD. 由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD， ABBE，ABBD.,變式訓練 3(2015東北三校模擬)如圖，四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PDDC2AD，

11、ADDC，BCD45. (1)設PD中點為M，求證：AM平面PBC； (2)求PA與平面PBC所成角的正弦值,,,典例賞析4,用向量求空間距離,,思路索引借助面SAC面ABC，建立坐標系，求面MNC的法向量，再求距離 解析取AC的中點O，連接OS、OB SASC，ABBC，ACSO，ACBO. 平面SAC平面ABC， 平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC， 又BO平面ABC，SOBO.,,變式訓練 4(2015天津南開調(diào)研)在直三棱柱中，AA1ABBC3，AC2，D是AC的中點 (1)求證：B1C平面A1BD； (2)求點B1到平面A1BD的距離,,,備課札記 ______________

12、________________________________________________________________________________________________________________________________________,,提升學科素養(yǎng),(理)向量法求空間角,,如圖，已知在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA11，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30，AE垂直BD于點E，F(xiàn)為A1B1的中點 (1)求異面直線AE與BF所成角的余弦值； (2)求平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的余弦值.,,審題視角(1)研究的幾何體為長方

13、體，AB2，AA11. (2)所求的是異面直線所成的角和二面角 (3)可考慮用空間向量法求解,,規(guī)范解答(1)以A為坐標原點，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(如圖所示),答題模板利用向量求空間角的步驟： 第一步：建立空間直角坐標系 第二步：確定點的坐標 第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標 第四步：計算向量的夾角(或函數(shù)值) 第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角 第六步：反思回顧查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范,溫馨提醒(1)利用向量求角是高考的熱點，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用,,(2)本題易錯點是在建立坐標系時不能明確指出坐標原點和坐標軸，導致建系不規(guī)范 (3)將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進行轉(zhuǎn)化，否則易錯,,,1一種思想 用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想,2一點注意 利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面、的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補，這是利用向量求二面角的難點、易錯點,