內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第2講　函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第2講　函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 主干知識整合 1．函數(shù)的性質(zhì) (1)單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)，是函數(shù)中最常涉及的性質(zhì)，特別注意定義中的符號語言； (2)奇偶性：偶函數(shù)其圖象關(guān)于y軸對稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性．特別注意定義域含0的奇函數(shù)f(0)＝0； (3)周期性：f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則稱f(x)為周期函數(shù)，T是它的一個周期． 2．對稱性與周期性的關(guān)系 (1)若函數(shù)f(x)的圖象有兩條對稱軸x＝a，x

2、＝b(a≠b)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2|b－a|是它的一個正周期，特別地若偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對稱，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2|a|是它的一個正周期； (2)若函數(shù)f(x)的圖象有兩個對稱中心(a,0)，(b,0) (a≠b)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2|b－a|是它的一個正周期，特別，若奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)(a≠0)對稱，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2|a|是它的一個正周期； (3)若函數(shù)f(x)的圖象有一條對稱軸x＝a和一個對稱中心(b,0)(a≠b)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，4|b－a|是它的一個正周期，特別是若偶函數(shù)f(x)有對稱中

3、心(a,0)(a≠0)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，4|a|是它的一個正周期，若奇函數(shù)f(x)有對稱軸x＝a(a≠0)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，4|a|是它的一個正周期． 3．函數(shù)的圖象 (1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等初等函數(shù)的圖象的特點； (2)函數(shù)的圖象變換主要是平移變換、伸縮變換和對稱變換． 4．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(注意根據(jù)圖象記憶性質(zhì)) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分01兩種情況；對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分01兩種情況；冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，分冪

4、指數(shù)α>0，α＝0，α<0三種情況． 要點熱點探究 探究點一　函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用 例1 (1)[2011·安徽卷] 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x) ＝ 2x2－x，則f(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (2)設(shè)奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)，滿足對任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈時，f(x)＝－x2，則f(3)＋f的值等于________． (1)A　(2)－　【解析】 (1)法一：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≤0時，f(x) ＝ 2x2－x， ∴f(1)＝－f(－1)

5、＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故選A. 法二：設(shè)x>0，則－x<0，∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≤0時，f(x) ＝ 2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3，故選A. (2)根據(jù)對任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，進而得到f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，得函數(shù)y＝f(x)的一個周期為2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f＝f＝－.所以f(3)＋f的值是0＋＝－.

6、 【點評】 函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的實際通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．本題第(2)小題中，實際上就是用已知條件給出了這個函數(shù)，解決問題的基本思路有兩條：一條是把這個函數(shù)在整個定義域上的解析式求出，然后再求解具體的函數(shù)值；一條是推證函數(shù)的性質(zhì)，把求解的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知函數(shù)解析式的區(qū)間上的函數(shù)值．本題根據(jù)對任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)還可以推證函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，函數(shù)又是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，這樣就可以畫出這個函數(shù)在上的圖象，再根據(jù)周期性可以把這個函

7、數(shù)的圖象拓展到整個定義域上，進而通過函數(shù)的圖象解決求指定的函數(shù)值，研究這個函數(shù)的零點等問題，在復(fù)習(xí)中要注意這種函數(shù)圖象的拓展． 變式題：設(shè)偶函數(shù)f(x)對任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且當(dāng)x∈[－3，－2]時，f(x)＝4x，則f(107.5)＝(　　) A．10 B. C．－10 D．－ B　【解析】 根據(jù)f(x＋3)＝－，可得f(x＋6)＝－＝－＝f(x)，所以函數(shù)y＝f(x)的一個周期為6.所以f(107.5)＝f(108－0.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝f(－2.5＋3)＝－＝. 例2 [2011·安徽卷] 函數(shù)f(x)＝axm(1－x)n在區(qū)間

8、[0,1]上的圖象如圖2－1所示，則m，n的值可能是(　　) 圖2－1 A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝2 C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1 B　【解析】 由圖可知a＞0.當(dāng)m＝1，n＝1時，f(x)＝ax(1－x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，所以A不可能； 當(dāng)m＝1，n＝2時，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)， f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝a(3x－1)(x－1)， 所以f(x)的極大值點應(yīng)為x＝＜0.5，由圖可知B可能． 當(dāng)m＝2，n＝1時，f(x)＝ax2(1－x)＝a(x2－x3)， f′(x)＝a(2x－3x2)＝－ax(

9、3x－2)， 所以f(x)的極大值點為x＝＞0.5，所以C不可能； 當(dāng)m＝3，n＝1時，f(x)＝ax3(1－x)＝a(x3－x4)， f′(x)＝a(3x2－4x3)＝－ax2(4x－3)， 所以f(x)的極大值點為x＝＞0.5，所以D不可能，故選B. 【點評】 函數(shù)圖象分析類試題，主要就是推證函數(shù)的性質(zhì)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、特殊點的函數(shù)值以及圖象的實際作出判斷，這類試題在考查函數(shù)圖象的同時重點是考查探究函數(shù)性質(zhì)、用函數(shù)性質(zhì)分析問題和解決問題的能力．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、對函數(shù)圖象作出分析判斷類的試題，已經(jīng)逐漸成為高考的一個命題熱點，看下面的變式． 變式題：[2011·

10、山東卷] 函數(shù)y＝－2sinx的圖象大致是(　　) 圖2－2 C　【解析】 由f(－x)＝－f(x)知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以排除A；又f′(x)＝－2cosx，當(dāng)x在x軸右側(cè)，趨向0時，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在x軸右邊接近原點處為減函數(shù)，當(dāng)x＝2π時，f′(2π)＝－2cos2π＝－<0，所以x＝2π應(yīng)在函數(shù)的減區(qū)間上，所以選C. 探究點三　基本初等函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用 例3 [2011·遼寧卷] 設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是(　　) A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) D　【解析】 當(dāng)x≤1時，f

11、(x)≤2化為21－x≤2，解得0≤x≤1； 當(dāng)x>1時，f(x)＝1－log2x<1<2恒成立，故x的取值范圍是[0，＋∞)，故選D. 【點評】 本題要注意在分段函數(shù)上分段處理的方法，另外就是要注意在解對數(shù)方程或者不等式時一定要注意其真數(shù)大于零的隱含條件．高考對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)的考查主要是應(yīng)用，應(yīng)用這些函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)圖象、解不等式、比較數(shù)值的大小等，如下面的變式． 變式題：[2011·天津卷] 已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，則(　　) A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b C　

12、【解析】 令m＝log23.4，n＝log43.6，l＝log3，在同一坐標(biāo)系下作出三個函數(shù)的圖象，由圖象可得m>l>n， 又∵y＝5x為單調(diào)遞增函數(shù)， ∴a>c>b. 創(chuàng)新鏈接2　抽象函數(shù)解題思路 所謂抽象函數(shù)問題就是不給出函數(shù)的解析式，只給出函數(shù)滿足的一些條件的函數(shù)問題，這類問題的主要題型是推斷函數(shù)的其他性質(zhì)、研究特殊的函數(shù)值、解與函數(shù)的解析式有關(guān)的不等式等． 抽象函數(shù)問題的難點就是沒有給出函數(shù)的解析式，需要我們根據(jù)函數(shù)滿足的一些已知條件推斷函數(shù)的性質(zhì)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題，可以說推斷函數(shù)性質(zhì)是我們解決抽象函數(shù)問題的一個基本思想．如果是選擇題或者填空題可以找到滿

13、足已知條件的具體函數(shù)，通過具體函數(shù)解決一般性問題． 例4 定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函數(shù)，給出下列四個命題：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱；③f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；④f(2)＝f(0)．其中正確命題的序號是________．(請把正確命題的序號全部寫出來) 【分析】根據(jù)給出的函數(shù)值的等式，f(x＋1)＝－f(x)，把其中的x替換成x＋1后，再次使用上面關(guān)系可得f(x＋2)＝f(x)，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得f(x＋2)＝f(－x)，即可得函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝1對稱，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象還關(guān)

14、于y軸對稱，即可根據(jù)函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性推斷該函數(shù)在未知區(qū)間上的單調(diào)性． 【答案】 ①②④ 【解析】 由f(x＋1)＝－f(x)?f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，命題①正確； 由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故f(x＋2)＝f(－x)，函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝＝1對稱，故命題②正確； 由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間[0,1]上遞減，根據(jù)對稱性，函數(shù)在[1,2]上應(yīng)該是增函數(shù)(也可根據(jù)周期性判斷)，故命題③不正確； 根據(jù)周期性，f(2)＝f(0)，命題④正確． 【點評】 解這類抽象函數(shù)試題，關(guān)鍵是對函數(shù)值等式的變換，通過變換首先得到其周期性，再根據(jù)

15、函數(shù)的性質(zhì)對各個結(jié)論作出判斷．本題中關(guān)系式f(x＋1)＝－f(x)，可以變換為f(x＋1)＝－f(－x)，這個等式說明函數(shù)圖象關(guān)于點中心對稱． 變式題：(1)已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x＋4)，當(dāng)x>2時，f(x)單調(diào)遞增，如果x1＋x2<4且(x1－2)(x2－2)<0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能為0 D．可正可負 (2)[2011·遼寧卷] 函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－1)＝2，對任意x∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．

16、(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) (1)A　(2)B　【解析】 (1)根據(jù)不等式(x1－2)(x2－2)<0，可得x1，x2的值一個大于2、一個小于2.由題意知x1，x2地位是對等的，不妨設(shè)x1<2，x2>2，當(dāng)x1<2，x2>2，x1＋x2<4時，可得22時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x2)2，所以G′(x)＝f′(x)－2>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函數(shù)，又由于G(－

17、1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0，即f(x)>2x＋4的解集為(－1，＋∞)，故選B. 規(guī)律技巧提煉 1．(1)已知函數(shù)f(x)滿足對任意x有f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則可得f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝f(x)，即可推知2a是這個函數(shù)的一個周期； (2)已知函數(shù)f(x)滿足對任意x都有f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a≠0)，同樣可推知2a為其周期； (3)已知函數(shù)f(x)滿足對任意x，都有f(x＋a)＝(a≠0，f(x)≠1)，則采用f(x＋2a)，f(x＋4a)進行推理可得其一個周期是4a. 2．如果函數(shù)f(x)滿足對任

18、意x都有f(a＋x)＝f(b－x)，則這個函數(shù)圖象本身是一個軸對稱圖形，關(guān)于直線x＝對稱，反之亦然；如果函數(shù)f(x)滿足對任意x都有f(a＋x)＝－f(b－x)，則這個函數(shù)圖象本身是一個中心對稱圖形，對稱中心是，反之亦然．注意這個結(jié)論中b＝a的情況． 3．由偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對稱可得函數(shù)解析式滿足f(a＋x)＝f(a－x)，進而f(2a＋x)＝f(－x)＝f(x)，即可得到函數(shù)y＝f(x)的一個周期是2a；當(dāng)奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)(a≠0)對稱時，可得f(a＋x)＝－f(a－x)，以x＋a代x得，f(2a＋x)＝－f(－x)＝f(x)，也可推出2a

19、是函數(shù)f(x)的一個周期． 教師備用例題 備選理由：例1是考查以映射的觀點看待函數(shù)以及函數(shù)的三要素，鑒于這個問題不是高考考查的重點，我們在正文中沒有列入這個探究點，可用此題補充這個知識點；例2雖然是2009的高考試題，可這個題目是高考考查抽象和函數(shù)性質(zhì)中較為深入的一個試題，試題具有較大的難度，其解法體現(xiàn)了解決一類抽象函數(shù)問題的基本方法；例3的目的是考查使用函數(shù)性質(zhì)的思想意識，就是透過具體的函數(shù)解析式發(fā)現(xiàn)和使用函數(shù)性質(zhì)，這種意識也要注意培養(yǎng)；例4，試圖通過這個題提供一個解決區(qū)域內(nèi)整點個數(shù)的一般方法． 例1　給定k∈N*，設(shè)函數(shù)f：N*→N*滿足：對于任意大于k的正整數(shù)n，f(n)＝n－

20、k. (1)設(shè)k＝1，則其中一個函數(shù)f在n＝1處的函數(shù)值為________； (2)設(shè)k＝4，且當(dāng)n≤4時，2≤f(n)≤3，則不同的函數(shù)f的個數(shù)為________． 【答案】 a(a為正整數(shù))　16 【解析】 由于函數(shù)f(n)在n>1時的解析式是f(n)＝n－1，根據(jù)給出的函數(shù)值必須是正整數(shù)，可得只要f(1)的值為正整數(shù)即可，即此時函數(shù)f(n)＝ 當(dāng)k＝4時，函數(shù)在n>4時的解析式是f(n)＝n－4，在n＝1,2,3,4時，由于函數(shù)值滿足f(n)＝2,3，故f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的取值各自有兩種可能，因此這個函數(shù)在n≤4時，f(1)，f(2)，f(3)，f(4)

21、取值的可能性有16種，所以有16個這樣不同的函數(shù)． 【點評】 本題考查函數(shù)概念的理解，即在函數(shù)定義域確定的情況下，函數(shù)的值域可以不同，從而得到的函數(shù)也不相同，本題的目的是考查考生對函數(shù)三要素的理解程度． 例2　函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數(shù)，則(　　) A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù) C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函數(shù) 【解析】 D　由已知條件知f(－x＋1)＝－f(x＋1)， f(－x－1)＝－f(x－1)． 由f(－x＋1)＝－f(x＋1)?f(－x＋2)＝－f(x)； 由f(－x－1)＝－f(x－1)

22、?f(－x－2)＝－f(x)． 由此得到f(－x＋2)＝f(－x－2)，即f(x＋2)＝f(x－2)，由此可得f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． 這樣f(x＋3)＝f(x－1)，故函數(shù)f(x＋3)是奇函數(shù)． 例3　設(shè)f(x)＝x3＋x，x∈R，當(dāng)0≤θ≤時，f(msinθ)＋f(1－m)>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(－∞，0) C. D．(－∞，1) 【解析】 D　根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式f(msinθ)＋f(1－m)>0，即f(msinθ)>f(m－1)，得msinθ>m－1在上恒成立

23、．當(dāng)m>0時，即sinθ>恒成立，只要0>即可，解得00即可，解得m<0.綜上可知：m<1. 例4　[2011·北京卷] 設(shè)A(0,0)，B(4,0)，C(t＋4,4)，D(t,4)(t∈R)．記N(t)為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點的個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則函數(shù)N(t)的值域為(　　) A．{9,10,11} B．{9,10,12} C．{9,11,12} D．{10,11,12} 【解析】 C　顯然四邊形ABCD內(nèi)部(不包括邊界)的整點都在直線y＝k(k＝1,2,3)落在四邊形ABCD內(nèi)部的線段上，由于這樣的線段長等于4，所以每條線段上的整點有3個或4個，所以9＝3×3≤N(t)≤3×4＝12. 如圖(1)，圖(2)，當(dāng)四邊形ABCD的邊AD上有5個整點時，N(t)＝9； 如圖(3)，當(dāng)四邊形ABCD的邊AD上有2個整點時，N(t)＝11； 如圖(4)，當(dāng)四邊形ABCD的邊AD上有1個整點時，N(t)＝12. 故應(yīng)選C.