2014年高考物理復(fù)習(xí) 第4章 第4課時(shí) 萬有引力與航天訓(xùn)練題(含解析) 新人教版
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1、第4課時(shí) 萬有引力與航天 考綱解讀1.掌握萬有引力定律的內(nèi)容、公式及其應(yīng)用.2.理解環(huán)繞速度的含義并會(huì)求解.3.了解第二和第三宇宙速度. 1.[對萬有引力定律的理解]關(guān)于萬有引力公式F=G,以下說法中正確的是 ( ) A.公式只適用于星球之間的引力計(jì)算,不適用于質(zhì)量較小的物體 B.當(dāng)兩物體間的距離趨近于0時(shí),萬有引力趨近于無窮大 C.兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律 D.公式中引力常量G的值是牛頓規(guī)定的 答案 C 解析 萬有引力公式F=G,雖然是牛頓由天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得出的,但牛頓又將它推廣到了宇宙中的任何物體,適用于計(jì)算任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力.當(dāng)兩個(gè)物體間的距離趨近
2、于0時(shí),兩個(gè)物體就不能視為質(zhì)點(diǎn)了,萬有引力公式不再適用.兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律.公式中引力常量G的值是卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室里用實(shí)驗(yàn)測定的,而不是人為規(guī)定的.故正確答案為C. 2.[萬有引力引力場與電場的類比]由于萬有引力定律和庫侖定律都滿足平方反比定律,因此引力場和電場之間有許多相似的性質(zhì),在處理有關(guān)問題時(shí)可以將它們進(jìn)行類比,例如電場中反映各點(diǎn)電場強(qiáng)弱的物理量是電場強(qiáng)度,其定義式為E=,在引力場中可以用一個(gè)類似的物理量來反映各點(diǎn)引力場的強(qiáng)弱.設(shè)地球質(zhì)量為M,半徑為R,地球表面處重力加速度為g,引力常量為G,如果一個(gè)質(zhì)量為m的物體位于距離地心2R處的某點(diǎn),則下列表達(dá)式中能反映該點(diǎn)引力
3、場強(qiáng)弱的是 ( ) A.G B.G C.G D. 答案 AD 解析 由萬有引力定律知F=G,引力場的強(qiáng)弱=,A對;在地球表面附近有G=mg,所以=,D對. 3.[第一宇宙速度的求解]一宇航員在某星球上以速度v0豎直上拋一物體,經(jīng)t秒落回原處,已知該星球半徑為R,那么該星球的第一宇宙速度是 ( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 設(shè)該星球表面重力加速度為g,由豎直上拋知識知,t=,所以g=;由牛頓第二定律得:mg=m,所以v== . 4.[應(yīng)用萬有引力定律分析衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)問題]
4、天宮一號是中國第一個(gè)目標(biāo)飛行器,已于2011年9月29日21時(shí)16分3秒在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射成功,它的發(fā)射標(biāo)志著中國邁入中國航天“三步走”戰(zhàn)略的第二步第二階段.21時(shí)25分,天宮一號進(jìn)入近地點(diǎn)約200公里,遠(yuǎn)地點(diǎn)約346.9公里,軌道傾角為42.75度,周期為5 382秒的運(yùn)行軌道.由此可知( ) A.天宮一號在該軌道上的運(yùn)行周期比同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期短 B.天宮一號在該軌道上任意一點(diǎn)的運(yùn)行速率比同步衛(wèi)星的運(yùn)行速率小 C.天宮一號在該軌道上任意一點(diǎn)的運(yùn)行加速度比同步衛(wèi)星的運(yùn)行加速度小 D.天宮一號在該軌道上遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面的高度比同步衛(wèi)星軌道距地面的高度小 答案 AD 解析 由題意知
5、天宮一號的軌道半徑比同步衛(wèi)星要小,由=知v= ,即v天>v同.由=mr知T= ,知T天
6、度 1.第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度. 推導(dǎo)過程為:由mg==得: v1= ==7.9 km/s. 2.第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)具有的速度. 3.第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度,也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度. 特別提醒 1.兩種周期——自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的不同 2.兩種速度——環(huán)繞速度與發(fā)射速度的不同,最大環(huán)繞速度等于最小發(fā)射速度 3.兩個(gè)半徑——天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的不同 三、第二宇宙速度和第三宇宙速度 1.第二宇宙速度(脫離速度):v2=11.2 km/s,使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度. 2.第三宇宙速度(逃逸速度
7、):v3=16.7 km/s,使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度. 5.[衛(wèi)星變軌問題的分析方法]“天宮一號”被長征二號火箭發(fā)射后, 準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道,如圖1所示,“天宮一號”在軌道1上運(yùn)行 4周后,在Q點(diǎn)開啟發(fā)動(dòng)機(jī)短時(shí)間加速,關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后,“天宮 一號”沿橢圓軌道2運(yùn)行到達(dá)P點(diǎn),開啟發(fā)動(dòng)機(jī)再次加速,進(jìn)入 軌道3繞地球做圓周運(yùn)動(dòng),“天宮一號”在圖示軌道1、2、3上 圖1 正常運(yùn)行時(shí),下列說法正確的是 ( ) A.“天宮一號”在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率 B.“天宮一號”在軌道3上的角速度大于在軌道1上的角速度 C.“天宮一號”在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)的
8、加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度
D.“天宮一號”在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度
答案 D
解析 根據(jù)v= ,可知v3 9、星)運(yùn)動(dòng)問題的基本思路
(1)天體運(yùn)動(dòng)的向心力來源于天體之間的萬有引力,即
G=ma向=m=mω2r=m
(2)在中心天體表面或附近運(yùn)動(dòng)時(shí),萬有引力近似等于重力,即G=mg(g表示天體表面的重力加速度).
深化拓展 (1)在研究衛(wèi)星的問題中,若已知中心天體表面的重力加速度g時(shí),常運(yùn)用GM=gR2作為橋梁,可以把“地上”和“天上”聯(lián)系起來.由于這種代換的作用很大,此式通常稱為黃金代換公式.
(2)利用此關(guān)系可求行星表面重力加速度、軌道處重力加速度:
在行星表面重力加速度:G=mg,所以g=.
在離地面高為h的軌道處重力加速度:G=mgh,所以gh=.
2.天體質(zhì)量和密度的計(jì)算
10、(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.
由于G=mg,故天體質(zhì)量M=,
天體密度ρ===.
(2)通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r.
①由萬有引力等于向心力,即G=mr,得出中心天體質(zhì)量M=;
②若已知天體半徑R,則天體的平均密度
ρ===;
③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng),可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度ρ=.可見,只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T,就可估算出中心天體的密度.
例1 (2012·福建理綜·16)一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測力計(jì)測量一質(zhì)量為m的物體 11、重力,物體靜止時(shí),彈簧測力計(jì)的示數(shù)為N.已知引力常量為G,則這顆行星的質(zhì)量為 ( )
A. B.
C. D.
解析 設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m′
由萬有引力提供向心力,得G=m′ ①
m′=m′g ②
由已知條件:m的重力為N得
N=mg ③
由③得g=,代入②得:R=
代入①得M=,故B項(xiàng)正確.
答案 B
突破訓(xùn)練1 (2011·江蘇·7)一行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng).由天文觀測可得,其運(yùn)行周期為T,速度為v,引力常量為G,則 ( )
A 12、.恒星的質(zhì)量為
B.行星的質(zhì)量為
C.行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為
D.行星運(yùn)動(dòng)的加速度為
答案 ACD
解析 由==mr得M==,A對;無法計(jì)算行星的質(zhì)量,B錯(cuò);r===,C對;a=ω2r=ωv=v,D對.
考點(diǎn)二 衛(wèi)星運(yùn)行參量的比較與運(yùn)算
1.衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)規(guī)律
由萬有引力提供向心力,G=ma向=m=mω2r=m.
2.衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律
3.極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星
(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極,由于地球自轉(zhuǎn),極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋.
(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星,其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑,其運(yùn)行線速度 13、約為7.9 km/s.
(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心.
深化拓展 (1)衛(wèi)星的a、v、ω、T是相互聯(lián)系的,如果一個(gè)量發(fā)生變化,其它量也隨之發(fā)生變化;這些量與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān),它們由軌道半徑和中心天體的質(zhì)量共同決定.
(2)衛(wèi)星的能量與軌道半徑的關(guān)系:同一顆衛(wèi)星,軌道半徑越大,動(dòng)能越小,勢能越大,機(jī)械能越大.
例2 (2011·天津·8)質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行,其運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng).已知月球質(zhì)量為M,月球半徑為R,月球表面重力加速度為g,引力常量為G,不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響,則航天器的 ( )
A.線速度v= B. 14、角速度ω=
C.運(yùn)行周期T=2π D.向心加速度a=
解析 由=m=mω2R=mR=mg=ma得v= ,A對;ω=,B錯(cuò);T=2π ,C對;a=,D錯(cuò).
答案 AC
人造天體運(yùn)行參量的分析與計(jì)算方法
分析與計(jì)算思路是將人造天體的運(yùn)動(dòng)看做繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng),它受
到的萬有引力提供向心力,結(jié)合牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律建立動(dòng)力學(xué)方程,
G=ma=m=mω2r=m,以及利用人造天體在中心天體表面運(yùn)行時(shí),忽略
中心天體的自轉(zhuǎn)的黃金代換公式GM=gR2.
突破訓(xùn)練2 如果把水星和金星繞太陽的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周
運(yùn)動(dòng),從水星與金星在一條直線上開始計(jì)時(shí) 15、,如圖2所示.
若天文學(xué)家測得在相同時(shí)間內(nèi)水星轉(zhuǎn)過的角度為θ1;金星
轉(zhuǎn)過的角度為θ2(θ1、θ2均為銳角),則由此條件可求得
( )
A.水星和金星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期之比
B.水星和金星的密度之比 圖2
C.水星和金星到太陽的距離之比
D.水星和金星繞太陽運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小之比
答案 ACD
解析 由ω=知,=,又因?yàn)棣兀?,所以=,A對;由=mr知r3=,既然周期之比能求,則r之比同樣可求,C對;由a=rω2知,向心加速度之比同樣可求,D對;由于水星和金星的質(zhì)量未知,故密度不可求,B錯(cuò).
例3 (2011·廣東·20)已知地球質(zhì)量為M,半徑為R,自轉(zhuǎn) 16、周期為T,地球同步衛(wèi)星質(zhì)量為m,引力常量為G.有關(guān)同步衛(wèi)星,下列表述正確的是 ( )
A.衛(wèi)星距地面的高度為
B.衛(wèi)星的運(yùn)行速度小于第一宇宙速度
C.衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)受到的向心力大小為G
D.衛(wèi)星運(yùn)行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
解析 天體運(yùn)動(dòng)的基本原理為萬有引力提供向心力,地球的引力使衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),即F引=F向=m=.當(dāng)衛(wèi)星在地表運(yùn)行時(shí),F(xiàn)引==mg(此時(shí)R為地球半徑),設(shè)同步衛(wèi)星離地面高度為h,則F引==F向=ma向 17、一定”
突破訓(xùn)練3 北斗導(dǎo)航系統(tǒng)又被稱為“雙星定位系統(tǒng)”,具有
導(dǎo)航、定位等功能.“北斗” 系統(tǒng)中兩顆工作衛(wèi)星1和2
均繞地心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑均為r,某時(shí)刻兩顆
工作衛(wèi)星分別位于軌道上的A、B兩位置,如圖3所示.
若衛(wèi)星均順時(shí)針運(yùn)行,地球表面處的重力加速度為g, 圖3
地球半徑為R,不計(jì)衛(wèi)星間的相互作用力.以下判斷正確的是 ( )
A.兩顆衛(wèi)星的向心加速度大小相等,均為
B.兩顆衛(wèi)星所受的向心力大小一定相等
C.衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B所需的時(shí)間可能為
D.如果要使衛(wèi)星1追上衛(wèi)星2,一定要使衛(wèi)星1加速
答案 AC
考點(diǎn)三 衛(wèi)星 18、變軌問題的分析
當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(shí)(開啟或關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)或空氣阻力作用),萬有引力不再等于向心力,衛(wèi)星將變軌運(yùn)行:
(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增加時(shí),G 19、
控制并獲得成功.首次變軌是在衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)實(shí)施的,
緊隨其后進(jìn)行的3次變軌均在近地點(diǎn)實(shí)施.“嫦娥二號”衛(wèi)
星的首次變軌之所以選擇在遠(yuǎn)地點(diǎn)實(shí)施,是為了抬高衛(wèi)星近 圖4
地點(diǎn)的軌道高度.同樣的道理,要抬高遠(yuǎn)地點(diǎn)的高度就需要在近地點(diǎn)實(shí)施變軌.圖4為“嫦娥二號”某次在近地點(diǎn)A由軌道1變軌為軌道2的示意圖,下列說法中正確的是
( )
A.“嫦娥二號”在軌道1的A點(diǎn)處應(yīng)點(diǎn)火加速
B.“嫦娥二號”在軌道1的A點(diǎn)處的速度比在軌道2的A點(diǎn)處的速度大
C.“嫦娥二號”在軌道1的A點(diǎn)處的加速度比在軌道2的A點(diǎn)處的加速度大
D.“嫦娥二號”在軌道1的B點(diǎn)處的機(jī)械能比在軌道2的C點(diǎn)處的機(jī)械能 20、大
解析 衛(wèi)星要由軌道1變軌為軌道2需在A處做離心運(yùn)動(dòng),應(yīng)加速使其做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力m大于地球所能提供的萬有引力G,故A項(xiàng)正確,B項(xiàng)錯(cuò)誤;由G=ma可知,衛(wèi)星在不同軌道同一點(diǎn)處的加速度大小相等,C項(xiàng)錯(cuò)誤;衛(wèi)星由軌道1變軌到軌道2,反沖發(fā)動(dòng)機(jī)的推力對衛(wèi)星做正功,衛(wèi)星的機(jī)械能增加,所以衛(wèi)星在軌道1的B點(diǎn)處的機(jī)械能比在軌道2的C點(diǎn)處的機(jī)械能小,D項(xiàng)錯(cuò)誤.
答案 A
處理衛(wèi)星變軌問題的思路和方法
1.要增大衛(wèi)星的軌道半徑,必須加速;
2.當(dāng)軌道半徑增大時(shí),衛(wèi)星的機(jī)械能隨之增大.
突破訓(xùn)練4 2011年9月29日,中國首個(gè)空間實(shí)驗(yàn)室“天宮一號”
在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射 21、升空,由長征運(yùn)載火箭將飛船送入近
地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道上,B點(diǎn)距離地面高度為h,
地球的中心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.“天宮一號”飛行幾周后
進(jìn)行變軌,進(jìn)入預(yù)定圓軌道,如圖5所示.已知“天宮一號” 圖5
在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t,萬有引力常量為G,地球半徑為R.則下列說法正確的是 ( )
A.“天宮一號”在橢圓軌道的B點(diǎn)的向心加速度大于在預(yù)定圓軌道的B點(diǎn)的向心加速度
B.“天宮一號”從A點(diǎn)開始沿橢圓軌道向B點(diǎn)運(yùn)行的過程中,機(jī)械能守恒
C.“天宮一號”從A點(diǎn)開始沿橢圓軌道向B點(diǎn)運(yùn)行的過程中,動(dòng)能先減小后增大
D.由題中給出的信息 22、可以計(jì)算出地球的質(zhì)量M=
答案 BD
解析 在B點(diǎn),由=ma知,無論在哪個(gè)軌道上的B點(diǎn),其向心加速度相同,A項(xiàng)錯(cuò);“天宮一號”在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí),其機(jī)械能守恒,B項(xiàng)對;“天宮一號”從A點(diǎn)開始沿橢圓軌道向B運(yùn)行中,動(dòng)能一直減小,C項(xiàng)錯(cuò);對“天宮一號”在預(yù)定圓軌道上運(yùn)行,有G=m(R+h),而T=,故M=,D項(xiàng)對.
考點(diǎn)四 宇宙速度的理解與計(jì)算
1.第一宇宙速度v1=7.9 km/s,既是發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度,也是衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的最大環(huán)繞速度.
2.第一宇宙速度的求法:
(1)=m,所以v1= .
(2)mg=,所以v1=.
3.第二、第三宇宙速度也都是指發(fā)射速度.
例5 20 23、12年6月16日,“神舟九號”宇宙飛船搭載3名航天員飛天,并于6月18日14∶00與“天宮一號”成功對接.在發(fā)射時(shí),“神舟九號”宇宙飛船首先要發(fā)射到離地面很近的圓軌道,然后經(jīng)過多次變軌后,最終與在距地面高度為h的圓形軌道上繞地球飛行的“天宮一號”完成對接,之后,整體保持在距地面高度仍為h的圓形軌道上繞地球繼續(xù)運(yùn)行.已知地球半徑為R,地面附近的重力加速度為g.求:
(1)地球的第一宇宙速度;
(2)“神舟九號”宇宙飛船在近地圓軌道運(yùn)行的速度與對接后整體的運(yùn)行速度之比.
解析 (1)設(shè)地球的第一宇宙速度為v,根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得:G=m
在地面附近G=mg
聯(lián)立解得v=.
24、(2)根據(jù)題意可知,設(shè)“神舟九號”宇宙飛船在近地圓軌道運(yùn)行的速度為v1
v1=v=
對接后,整體的運(yùn)行速度為v2,根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得G=m,解得v2= ,所以v1∶v2= .
答案 (1) (2)
突破訓(xùn)練5 宇航員在月球上做自由落體實(shí)驗(yàn),將某物體由距月球表面高h(yuǎn)處釋放,經(jīng)時(shí)間t落到月球表面(設(shè)月球半徑為R).據(jù)上述信息推斷,飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所必須具有的速率為 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 設(shè)在月球表面處的重力加速度為g
則h=gt2,所以g=
飛船在月球表面附近繞月球做勻速 25、圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有
mg=m
所以v== =,選項(xiàng)B正確.
22.雙星系統(tǒng)模型問題的分析與計(jì)算
1.雙星系統(tǒng)模型的特點(diǎn):
(1)兩星都繞它們連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),故兩星的角速度、周期相等.
(2)兩星之間的萬有引力提供各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,所以它們的向心力大小相等;
(3)兩星的軌道半徑之和等于兩星間的距離,即r1+r2=L.
2.雙星系統(tǒng)模型的三大規(guī)律:
(1)雙星系統(tǒng)的周期、角速度相同.
(2)軌道半徑之比與質(zhì)量成反比.
(3)雙星系統(tǒng)的周期的平方與雙星間距離的三次方之比只與雙星的總質(zhì)量有關(guān),而與雙星個(gè)體的質(zhì)量無關(guān).
例6 如圖6所示,質(zhì)量分別 26、為m和M的兩個(gè)星球A和B在
引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),星球A和B兩者中
心之間的距離為L.已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線,
A和B分別在O的兩側(cè).引力常量為G.
(1)求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期; 圖6
(2)在地月系統(tǒng)中,若忽略其他星球的影響,可以將月球和地球看成上述星球A和B,月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為T1.但在近似處理問題時(shí),常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的,這樣算得的運(yùn)行周期記為T2.已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2與T1兩者平方之比.(結(jié)果保留3位小數(shù))
解析 (1)設(shè)兩個(gè)星球A和B做勻速圓 27、周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r和R,相互作用的萬有引力大小為F,運(yùn)行周期為T.根據(jù)萬有引力定律有:F=G ①
由勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得
F=m()2r ②
F=M()2R ③
由題意有L=R+r ④
聯(lián)立①②③④式得T=2π ⑤
(2)在地月系統(tǒng)中,由于地月系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)所圍繞的中心O不在地心,由題意知,月球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期可由⑤式得出
T1=2π ⑥
式中,M′和m′分別是地球與月球的質(zhì)量,L′是地心與月心之間的距離.若認(rèn)為月球在地球的引力作用下繞地 28、心做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則
G=m′()2L′ ⑦
式中,T2為月球繞地心運(yùn)動(dòng)的周期.由⑦式得
T2=2π ⑧
由⑥⑧式得()2=1+
代入題給數(shù)據(jù)得()2=1.012
答案 (1)2π (2)1.012
突破訓(xùn)練6 (2012·重慶·18)冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng),質(zhì)量比約為7∶1,同時(shí)繞它們連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng).由此可知,冥王星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的( )
A.軌道半徑約為卡戎的
B.角速度大小約為卡戎的
C.線速度大小約為卡戎的7倍
D.向心力大小約為卡戎的7倍
答案 A
解析 本題是雙星問題,設(shè) 29、冥王星的質(zhì)量、軌道半徑、線速度分別為m1、r1、v1,卡戎的質(zhì)量、軌道半徑、線速度分別為m2、r2、v2,由雙星問題的規(guī)律可得,兩星間的萬有引力分別給兩星提供做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,且兩星的角速度相等,故B、D均錯(cuò);由G=m1ω2r1=m2ω2r2(L為兩星間的距離),因此==,===,故A對,C錯(cuò).
高考題組
1.(2012·廣東理綜·21)如圖7所示,飛船從軌道1變軌至軌道2.若
飛船在兩軌道上都做勻速圓周運(yùn)動(dòng),不考慮質(zhì)量變化,相對于
在軌道1上,飛船在軌道2上的 ( )
A.動(dòng)能大
B.向心加速度大 圖7
C.運(yùn)行周期長
D. 30、角速度小
答案 CD
解析 飛船繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其萬有引力提供向心力,即F引=F向,所以=ma向===mrω2,即a向=,Ek=mv2=,T= ,ω= (或用公式T=求解).因?yàn)閞1 31、顆衛(wèi)星,它們的軌道平面一定會(huì)重合
答案 B
解析 根據(jù)開普勒第三定律,=恒量知,當(dāng)圓軌道的半徑R與橢圓軌道的半長軸a相等時(shí),兩衛(wèi)星的周期相等,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行且從近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)行時(shí),萬有引力做負(fù)功,根據(jù)動(dòng)能定理知,動(dòng)能減小,速率減?。粡倪h(yuǎn)地點(diǎn)向近地點(diǎn)移動(dòng)時(shí)動(dòng)能增加,速率增大,且兩者具有對稱性,故選項(xiàng)B正確;所有同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期相等,根據(jù)G=m()2r知,同步衛(wèi)星軌道的半徑r一定,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;根據(jù)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供,可知衛(wèi)星運(yùn)行的軌道平面過某一地點(diǎn)時(shí),軌道平面必過地心,但軌道平面不一定重合,故北京上空的兩顆衛(wèi)星的軌道平面可以不重合,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
3. 32、(2012·山東理綜·15)2011年11月3日,“神舟八號”飛船與“天宮一號”目標(biāo)飛行器成功實(shí)施了首次交會(huì)對接.任務(wù)完成后“天宮一號”經(jīng)變軌升到更高的軌道,等待與“神舟九號”交會(huì)對接.變軌前和變軌完成后“天宮一號”的運(yùn)行軌道均可視為圓軌道,對應(yīng)的軌道半徑分別為R1、R2,線速度大小分別為v1、v2.則等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 “天宮一號”運(yùn)行時(shí)所需的向心力由萬有引力提供,根據(jù)G=得線速度v= ,所以= ,故選項(xiàng)B正確,選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤.
4.(2011·北京理綜·15)由于通信和廣播等方面的需要,許多國 33、家發(fā)射了地球同步軌道衛(wèi)星,這些衛(wèi)星的 ( )
A.質(zhì)量可以不同 B.軌道半徑可以不同
C.軌道平面可以不同 D.速率可以不同
答案 A
解析 同步衛(wèi)星運(yùn)行時(shí),萬有引力提供向心力,=mr=m,故有=,v= ,由于同步衛(wèi)星運(yùn)行周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同,故同步衛(wèi)星的軌道半徑大小是確定的,速度v也是確定的,同步衛(wèi)星的質(zhì)量可以不同.要想使衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)同步,軌道平面一定是赤道平面.故只有選項(xiàng)A正確.
模擬題組
5.如圖8所示,某顆天文衛(wèi)星飛往距離地球約160萬千米的
第二拉格朗日點(diǎn)(圖中L2),L2點(diǎn)處在太陽與地球連線的外
側(cè),在太陽 34、和地球引力的共同作用下,衛(wèi)星在該點(diǎn)能與地
球同步繞太陽運(yùn)動(dòng)(視為圓周運(yùn)動(dòng)),且時(shí)刻保持背對太陽
和地球的姿勢,不受太陽的干擾而進(jìn)行天文觀測.不考慮 圖8
其他星球影響,下列關(guān)于工作在L2點(diǎn)的天文衛(wèi)星的說法中正確的是 ( )
A.將它從地球上發(fā)射到L2點(diǎn)的發(fā)射速度大于7.9 km/s
B.它繞太陽運(yùn)行的周期比地球繞太陽運(yùn)行的周期長
C.它繞太陽運(yùn)行的線速度比地球繞太陽運(yùn)行的線速度大
D.它繞太陽運(yùn)行的向心加速度比地球繞太陽運(yùn)行的向心加速度大
答案 ACD
解析 衛(wèi)星的發(fā)射速度一定大于7.9 km/s,選項(xiàng)A對.由于衛(wèi)星和地球同步,因此它們的周期相同,角速度ω相同,由v 35、=rω知,v衛(wèi)>v地,選項(xiàng)C對,B錯(cuò).由a=rω2知選項(xiàng)D對.
6.國防科技工業(yè)局在2012年7月30日宣布,“嫦娥三號”將于2013年下半年擇機(jī)發(fā)射.我國已成功發(fā)射了“嫦娥二號”探月衛(wèi)星,該衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用的時(shí)間為t;月球半徑為R0,月球表面處重力加速度為g0.
(1)請推導(dǎo)出“嫦娥二號”衛(wèi)星離月球表面高度的表達(dá)式;
(2)地球和月球的半徑之比為=4,表面重力加速度之比為=6,試求地球和月球的密度之比.
答案 (1) -R0 (2)
解析 (1)由題意知,“嫦娥二號”衛(wèi)星的周期為
T=
設(shè)衛(wèi)星離月球表面的高度為h,由萬有引力提供向心力得:
G=m(R0+h)()2 36、
又:G=m′g0
聯(lián)立解得:h= -R0
(2)設(shè)星球的密度為ρ,由G=m′g得GM=gR2
ρ==
聯(lián)立解得:ρ=
設(shè)地球、月球的密度分別為ρ0、ρ1,則:
=
將=4,=6代入上式,解得:
=
(限時(shí):45分鐘)
?題組1 天體質(zhì)量和密度的計(jì)算
1.(2012·福建理綜·13)“嫦娥二號”是我國月球探測第二期工程的先導(dǎo)星.若測得“嫦娥二號”在月球(可視為密度均勻的球體)表面附近圓形軌道運(yùn)行的周期為T,已知引力常量為G,半徑為R的球體體積公式V=πR3,則可估算月球的 ( )
A.密度 B.質(zhì)量 C.半徑 D.自轉(zhuǎn)周期
答案 A 37、
解析 對“嫦娥二號”由萬有引力提供向心力可得:=mR,故月球的質(zhì)量M=,因“嫦娥二號”為近月衛(wèi)星,故其軌道半徑為月球的半徑R,但由于月球半徑未知,故月球質(zhì)量無法求出,月球質(zhì)量未知,則月球的半徑R也無法求出,故B、C項(xiàng)均錯(cuò);月球的密度ρ===,故A正確.
2.銀河系的恒星中大約四分之一是雙星.某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成,兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)C做勻速圓周運(yùn)動(dòng). 由天文觀測得其周期為T,S1到C點(diǎn)的距離為r1,S1和S2的距離為r,已知萬有引力常量為G.由此可求出S2的質(zhì)量為 ( )
A. B.
C 38、. D.
答案 D
解析 設(shè)S1、S2兩星體的質(zhì)量分別為m1、m2,根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得
對S1有G=m1()2r1
解得m2=
所以正確選項(xiàng)是D.
題組2 衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析與計(jì)算
3.(2012·江蘇·8)2011年8月“嫦娥二號”成功進(jìn)入了環(huán)繞“日地拉格
朗日點(diǎn)”的軌道,我國成為世界上第三個(gè)造訪該點(diǎn)的國家.如圖1
所示,該拉格朗日點(diǎn)位于太陽和地球連線的延長線上,一飛行器處
于該點(diǎn),在幾乎不消耗燃料的情況下與地球同步繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng),
則此飛行器的 ( ) 圖1
A.線速度大于地球的線速度
B.向心 39、加速度大于地球的向心加速度
C.向心力僅由太陽的引力提供
D.向心力僅由地球的引力提供
答案 AB
解析 飛行器與地球同步繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng),所以ω飛=ω地,由圓周運(yùn)動(dòng)線速度和角速度的關(guān)系v=rω得v飛>v地,選項(xiàng)A正確;由公式a=rω2知,a飛>a地,選項(xiàng)B正確;飛行器受到太陽和地球的萬有引力,方向均指向圓心,其合力提供向心力,故C、D選項(xiàng)錯(cuò).
4.(2012·四川·15)今年4月30日,西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射的中圓軌道衛(wèi)星,其軌道半徑為2.8×107 m.它與另一顆同質(zhì)量的同步軌道衛(wèi)星(軌道半徑為4.2×107 m)相比 ( )
A.向心力較小
B.動(dòng)能較大
C.發(fā)射速度都是 40、第一宇宙速度
D.角速度較小
答案 B
解析 由題知,中圓軌道衛(wèi)星的軌道半徑r1小于同步衛(wèi)星的軌道半徑r2,衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)的向心力由萬有引力提供,根據(jù)F向=G知,兩衛(wèi)星的向心力F1>F2,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;根據(jù)G==mω2r,得環(huán)繞速度v1>v2,角速度ω1>ω2,兩衛(wèi)星質(zhì)量相等,則動(dòng)能Ek1>Ek2,故選項(xiàng)B正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤;根據(jù)能量守恒,衛(wèi)星發(fā)射得越高,發(fā)射所需速度越大,第一宇宙速度是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度,因此兩衛(wèi)星的發(fā)射速度都大于第一宇宙速度,且v01 41、不考慮衛(wèi)星質(zhì)量的變化,則變軌前、后衛(wèi)星的( )
A.向心加速度大小之比為4∶1
B.角速度大小之比為2∶1
C.周期之比為1∶8
D.軌道半徑之比為1∶2
答案 C
解析 根據(jù)Ek=mv2得v= ,所以衛(wèi)星變軌前、后的速度之比為=.根據(jù)G=m,得衛(wèi)星變軌前、后的軌道半徑之比為==,選項(xiàng)D錯(cuò)誤;根據(jù)G=ma,得衛(wèi)星變軌前、后的向心加速度大小之比為==,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;根據(jù)G=mω2r,得衛(wèi)星變軌前、后的角速度大小之比為= =,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;根據(jù)T=,得衛(wèi)星變軌前、后的周期之比為==,選項(xiàng)C正確.
6.(2010·北京理綜·16)一物體靜置在平均密度為ρ的球形天體表面的赤道上.已知萬有引 42、力常量為G,若由于天體自轉(zhuǎn)使物體對天體表面的壓力恰好為零,則天體自轉(zhuǎn)周期為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 物體隨天體一起自轉(zhuǎn),當(dāng)萬有引力全部提供向心力時(shí),物體對天體的壓力恰好為零,則G=mR,又ρ=,所以T=,D正確.
題組3 宇宙速度和重力加速度的求解
7.假設(shè)地球同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍,則 ( )
A.同步衛(wèi)星運(yùn)行速度是第一宇宙速度的倍
B.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是第一宇宙速度的 倍
C.同步衛(wèi)星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍
D.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)速度的n倍
43、答案 BD
解析 對衛(wèi)星都有:=m,v= ,所以= = ,B對,A錯(cuò);因?yàn)椋絤a向,所以a向=,而mg=,g=,故==,C錯(cuò);由v=rω知,==n,故D對.
8.2011年9月29日,“天宮一號”順利升空,在離地面高度343 km的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng).2012年2月25日,我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號丙運(yùn)載火箭,成功將第十一顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星送入太空預(yù)定軌道.這是一顆地球靜止軌道衛(wèi)星,是我國當(dāng)年發(fā)射的首顆北斗導(dǎo)航系統(tǒng)組網(wǎng)衛(wèi)星.下列關(guān)于這兩顆衛(wèi)星的說法正確的是 ( )
A.“天宮一號”的運(yùn)行周期大于北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的運(yùn)行周期
B.“天宮一號”和北斗導(dǎo)航衛(wèi)星上攜帶的物體都處于完全失重狀 44、態(tài)
C.“天宮一號”的環(huán)繞速度大于第一宇宙速度
D.北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的向心加速度比地球赤道表面的重力加速度小
答案 BD
解析 “天宮一號”的軌道半徑要小于同步衛(wèi)星的軌道半徑,因此T天 45、法正確的
是 ( )
A.衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度小于它在軌道2上經(jīng)過 圖2
P點(diǎn)時(shí)的速度
B.衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度
C.衛(wèi)星在軌道1上的向心加速度小于它在軌道3上的向心加速度
D.衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度
答案 BD
解析 本題考查人造衛(wèi)星的知識.由開普勒第二定律可知,衛(wèi)星在橢圓軌道的近地點(diǎn)速度大,A錯(cuò);衛(wèi)星在同一點(diǎn)受到的萬有引力相同,加速度也相同,B對;由a=G,r越小,a越大,C錯(cuò);由G=mω2r,衛(wèi)星在軌道3上的半徑大,故角速度小,D對.
10.我國未來將建立月球基 46、地,并在繞月軌道上建造空間站.
如圖3所示,關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)的航天飛機(jī)A在月球引力作用
下沿橢圓軌道向月球靠近,并將在橢圓的近月點(diǎn)B處與
空間站對接.已知空間站繞月軌道半徑為r,周期為T,
引力常量為G,月球的半徑為R.下列判斷正確的是( )
A.航天飛機(jī)到達(dá)B處由橢圓軌道進(jìn)入空間站軌道時(shí)必須減速 圖3
B.圖中的航天飛機(jī)正在加速飛向B處
C.月球的質(zhì)量M=
D.月球的第一宇宙速度v=
答案 ABC
解析 航天飛機(jī)到達(dá)B處時(shí)速度比較大,如果不減速此時(shí)萬有引力不足以提供向心力,這時(shí)航天飛機(jī)將做離心運(yùn)動(dòng),故A正確;因?yàn)楹教祜w機(jī)越接近月球,受到的萬有引力越大,加速度越大,所 47、以正在加速飛向B處,故B正確;由萬有引力提供空間站做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,則G=m,整理得M=,故C正確;速度v=是空間站在軌道r上的線速度,而不是圍繞月球表面運(yùn)動(dòng)的第一宇宙速度,故D錯(cuò)誤.
題組5 萬有引力定律的綜合應(yīng)用
11.(2011·浙江·19)為了探測X星球,載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心,半徑為r1的圓軌道上運(yùn)動(dòng),周期為T1,總質(zhì)量為m1.隨后登陸艙脫離飛船,變軌到離星球更近的半徑為r2的圓軌道上運(yùn)動(dòng),此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m2,則 ( )
A.X星球的質(zhì)量為M=
B.X星球表面的重力加速度為gX=
C.登陸艙在r1與r2軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小之比為=
D.登 48、陸艙在半徑為r2軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2=T1
答案 AD
解析 飛船繞X星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),萬有引力提供向心力,由牛頓第二定律知G=m,則X星球質(zhì)量M=,選項(xiàng)A正確.由G=m=ma1,知r1軌道處的向心加速度a1==,而對繞X星球表面飛行的飛船有G=mgX(R為X星球的半徑),則gX=G>a1==,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.由G=m知v= ,故= ,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.根據(jù)G=m得T= ,故= ,即T2=T1 ,選項(xiàng)D正確.
12.已知地球半徑為R,地球表面重力加速度為g,萬有引力常量為G,不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響.
(1)求衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的第一宇宙速度v1;
(2)若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且運(yùn)行 49、周期為T,求衛(wèi)星運(yùn)行半徑r;
(3)由題目所給條件,請?zhí)岢鲆环N估算地球平均密度的方法,并推導(dǎo)出平均密度表達(dá)式.
答案 (1) (2) (3)ρ=
解析 (1)設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m,地球的質(zhì)量為M
衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)滿足
G=mg ①
第一宇宙速度是指衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度,衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于它受到的萬有引力
G=m ②
①式代入②式,得v1=
(2)衛(wèi)星受到的萬有引力為G=m()2r ③
由①③式解得r=
(3)設(shè)質(zhì)量為m0的小物體在地球表面附近 50、所受重力為m0g,則G=m0g
將地球看成是半徑為R的球體,其體積為V=πR3
地球的平均密度為ρ==
13.發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí),先將衛(wèi)星發(fā)射到距地面高度為h1的近地圓
軌道上,在衛(wèi)星經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火實(shí)施變軌進(jìn)入橢圓軌道,最后
在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B點(diǎn)再次點(diǎn)火將衛(wèi)星送入同步軌道,如圖4
所示.已知同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T,地球的半徑為R,地球表
面重力加速度為g,忽略地球自轉(zhuǎn)的影響.求: 圖4
(1)衛(wèi)星在近地點(diǎn)A的加速度大小;
(2)遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面的高度.
答案 (1) (2) -R
解析 (1)設(shè)地球質(zhì)量為M,衛(wèi)星質(zhì)量為m,萬有引力常量為G,衛(wèi)星在A點(diǎn)的加速度為a,
根據(jù)牛頓第二定律有G=ma
設(shè)質(zhì)量為m′的物體在地球赤道表面上受到的萬有引力等于重力,有
G=m′g
由以上兩式得a=
(2)設(shè)遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面的高度為h2,衛(wèi)星受到的萬有引力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律有:
G=m(R+h2)
解得:h2= -R.
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