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1、1,第三節(jié) 矩陣的對(duì)角化,一矩陣的對(duì)角化的概念 二矩陣的對(duì)角化判別與計(jì)算,2,一矩陣的對(duì)角化的概念,若n 階方陣A 與對(duì)角陣,相似，則稱 A 可對(duì)角化,若A 可對(duì)角化，則Am就比較容易計(jì)算了,問題：,如何判別一個(gè)方陣是否可對(duì)角化？若,能夠?qū)腔绾握铱赡婢仃嘝？,定義：,3,二.矩陣可對(duì)角化的判別與計(jì)算,A可對(duì)角化 A,存在可逆矩陣,使得, A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,4,由上面的討論可得矩陣A可對(duì)角化的充要條件 .,定理1：,n 階方陣A可對(duì)角化A 有n 個(gè)線性,無(wú)關(guān)的特征向量,上述定理告訴我們，找可逆矩陣P，使得,為對(duì)角陣，關(guān)鍵是找出A的n個(gè)線性,無(wú)關(guān)的特征向量滿足,此時(shí)令,則,5,是齊
2、次線性方程組,不同的特征值，,是否仍線性無(wú)關(guān)？,的一個(gè)基礎(chǔ)解系，,它們是A的線性無(wú)關(guān)的特征向量，,我們自然會(huì)想：,把這m組向量合在一起，即,問題：,如何判斷數(shù)域P上的n階矩陣A有沒有n個(gè),線性無(wú)關(guān)的特征向量？,6,定理2：,證：,線性無(wú)關(guān),于 線性無(wú)關(guān)的特征向量，則,設(shè),兩邊左乘A得,,7,式兩邊乘以 得,以上兩式相減得,從而有,8,,代入式得,線性無(wú)關(guān),從而,9,數(shù)域P上n 階矩陣A的屬于不同特征值,對(duì)于A的不同的特征值的個(gè)數(shù)作歸納，可得到,定理3：,是A的屬于 的,不同的特征值，,線性無(wú)關(guān),線性無(wú)關(guān)的特征向量， 則向量組,推論1：,的特征向量線性無(wú)關(guān)。,10,從定理3可得出如下
3、結(jié)論：,是齊次線性方程組,不同的特征值，,一定線性無(wú)關(guān),的一個(gè)基礎(chǔ)解系，,則A的特征向量組,11,, 若,的特征向量，從而A不可以對(duì)角化；,則A沒有n個(gè)線性無(wú)關(guān), 若,特征向量，從而A可以對(duì)角化；此時(shí)令,則A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的,則P為n 階可逆矩陣，且,12,稱為 的相似標(biāo)準(zhǔn)型,注：除了主對(duì)角線元素排列次序外，A 的相似,標(biāo)準(zhǔn)型是被 A 唯一確定的。,特別地，,推論2：,數(shù)域P上n 階矩陣A若有n個(gè)互異的特,征值，則A 可對(duì)角化。,13,例1 已知,問A 是否可對(duì)角化，,若可以，求可逆矩陣P ，使得 為對(duì)角陣,解：,A 有兩個(gè)互異的特征值，故可對(duì)角化, 求矩陣A的特征值.,14,求A 的特征向
4、量,,的一個(gè)基礎(chǔ)解系是,對(duì)于,求得齊次線性方程組,的一個(gè)基礎(chǔ)解系是,對(duì)于,求得齊次線性方程組,15,線性無(wú)關(guān)，令, P 可逆，且,16,例2 設(shè),(書P168例5. 3. 1),判斷A是否可對(duì)角化，若可對(duì)角化，,求可逆矩陣P ，使得 為對(duì)角陣,解：, 求A 的特征值,17,一個(gè)基礎(chǔ)解系為,求A 的特征向量,,對(duì)于,求得齊次線性方程組,一個(gè)基礎(chǔ)解系為,對(duì)于,求得齊次線性方程組,18,因?yàn)?階矩陣 A 有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，,故A可對(duì)角化., 構(gòu)造可逆矩陣P,令,19,則,或者, 令,則,20, 令, 令,則,則,21,例3 判斷,(書P169例5.3.2),對(duì),解：,為A 的特征值,對(duì)于,因?yàn)锳 只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 故,A不能對(duì)角化.,22,例4 設(shè)二階方陣A滿足,其中,解：,求,是A的兩個(gè)不同的特征值,,線性無(wú)關(guān)。令,23,因此,則,所以,24,例5 計(jì)算,25,作 業(yè),P178 22 23題之前的題目都可以做！,
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