人教版高中數(shù)學(xué)高二選修2-3 第三章《回歸分析》教案1

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1、? ? ? n ? 打印版本 §3.2 回歸分析(1) 教學(xué)目標(biāo) （1）通過實(shí)例引入線性回歸模型，感受產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因； （2）通過對回歸模型的合理性等問題的研究，滲透線性回歸分析的思想和 方法； （3）能求出簡單實(shí)際問題的線性回歸方程． 教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn) 線性回歸模型的建立和線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值的探求方法． 教學(xué)過程 一．問題情境 1． 情境：對一作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程觀測了 8 次，得到如下表所示的數(shù) 據(jù)，試估計(jì)當(dāng) x=９時(shí)的位置 y 的值． 時(shí)刻 x /s 1 2 3 4 5 6 7 8 位置觀測值 y

2、/cm  5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 16.12 16.98 21.06 根據(jù)《數(shù)學(xué) 3 （必修）》中的有關(guān)內(nèi)容，解決這個(gè)問題的方法是： 先作散點(diǎn)圖，如下圖所示： 從散點(diǎn)圖中可以看出，樣 本點(diǎn)呈直線趨勢，時(shí)間 x 與位 置觀測值 y 之間有著較好的線 性關(guān)系．因此可以用線性回歸 方 程 來 刻 畫 它 們 之 間 的 關(guān) 系．根據(jù)線性回歸的系數(shù)公 式，  ì n x y -nx y i i ?b = i =1 í ?x 2 -n ( x ) 2 ? i i =1 ??a=y-bx 可以得到線性回歸方為 y =

3、3.5361+2.1214x ，所以當(dāng) x =9 時(shí)，由線性回歸方 程可以估計(jì)其位置值為 y =22.6287 2．問題：在時(shí)刻 x =9 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置一定是 22.6287cm 嗎？ 二．學(xué)生活動(dòng) 思考，討論：這些點(diǎn)并不都在同一條直線上，上述直線并不能精確地反 映 x 與 y 之間的關(guān)系， y 的值不能由 x 完全確定，它們之間是統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系， y 的實(shí)際值與估計(jì)值之間存在著誤差． 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．線性回歸模型的定義： 高中數(shù)學(xué) n n ? ? ? n ? n n ? ? i i 打印版本

4、 我們將用于估計(jì) y 值的線性函數(shù) a +bx 作為確定性函數(shù)； y 的實(shí)際值與估計(jì)值之間的誤差記為 e  ，稱之為隨機(jī)誤差； 將 y =a +bx +e稱為線性回歸模型． 說明：（1）產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有： ①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差； ②忽略了某些因素的影響； ③存在觀測誤差． （2）對于線性回歸模型，我們應(yīng)該考慮下面兩個(gè)問題： ①模型是否合理（這個(gè)問題在下一節(jié)課解決）； ②在模型合理的情況下，如何估計(jì) a ， b ？ 2．探求線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值： 對于問題②，設(shè)有 n 對觀測數(shù)據(jù) ( x , y ) (i =1,2,3

5、, , n) ，根據(jù)線性回歸模 i i 型，對于每一個(gè) x ，對應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng) e =y -( a +bx ) ，我們希望總誤差越 i i i i 小越好，即要使  ?  e  2 i  越小越好．所以，只要求出使 Q (a,  b) =?( y -bx -a) i i  2 i =1 i =1 取得最小值時(shí)的 a ， b 值作為 a ， b 的估計(jì)值，記為 a ， b ． 注：這里的 e  i  就是擬合直線上的點(diǎn)  (  x , a +bx i i  )  到點(diǎn) P

6、 i  (  x , y i i  )  的距離． 用什么方法求 a ， b ？ 回憶《數(shù)學(xué) 3（必修）》“2．4 線性回歸方程”P71“熱茶問題”中求 a ， b 的方法：最小二乘法． 利用最小二乘法可以得到 a ， b 的計(jì)算公式為 ì n ( x -x )( y -y ) i i ?b = i =1 í ?( x -x ) 2 ? i i =1 ??a=y-bx  =  ? i =1 ? i =1  x y -nx y i i x 2 -n ( x) 2 i  ，

7、1 n 1 n 其中 x = x ， y = y n n i =1 i =1 由此得到的直線 y =a +bx 就稱為這 n 對數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即 為線性回歸方程．其中 a ， b 分別為 a ， b 的估計(jì)值， a 稱為回歸截距， b 稱 高中數(shù)學(xué) 打印版本 為回歸系數(shù)， y 稱為回歸值． 在 前 面 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 的 線 性 回 歸 方 程 y =3.5361+2.1214x 中 ， a =3.5361 ， b =2.1214 ． 3． 線性回歸方程 y =a +bx 中 a ，b 的意義是：以 a 為基數(shù)， x 每增加 1

8、個(gè)單位， y  相應(yīng)地平均增加 b 個(gè)單位； 4． 化歸思想（轉(zhuǎn)化思想） 在實(shí)際問題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我 們根據(jù)專業(yè)知識或散點(diǎn)圖，對某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q， 把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)．下面列舉出一些常 見的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式． （1） y =a + b 1 ，令 y ' =y ， x ' = ，則有 y ' =a +bx ' ． x x （2） y =ax b ，令 y ' =ln y ， x ' =ln x ， a ' =ln a ，則

9、有 y ' =a '+bx ' ． （3） y =ae  bx  ，令 y ' =ln y ， x ' =x ， a ' =ln a ，則有 y ' =a '+bx ' ． b （4） y =ae x  1 ，令 y ' =ln y ， x ' = ， a ' =ln a ，則有 y ' =a '+bx ' ． x （5） y =a +b ln x ，令 y ' =y ， x ' =ln x ，則有 y ' =a +bx ' ． 四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例 1．下表給出了我國從1949 年至 1999 年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中

10、數(shù)據(jù)估 計(jì)我國 2004 年的人口數(shù)． 年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 人口數(shù)/百 萬  542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 x y 解：為了簡化數(shù)據(jù)，先將年份減去1949 ，并將所得值用 x 表示，對應(yīng)人口數(shù) 用 y 表示，得到下面的數(shù)據(jù)表： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 作出 11

11、 個(gè)點(diǎn) (x,y )構(gòu)成的 散點(diǎn)圖， 由圖可知，這些點(diǎn)在一條直 線附近，可以用線性回歸模 高中數(shù)學(xué) 型 y =a +bx +e 打印版本 來表示它們之間的關(guān)系． 根據(jù)公式（1）可得 ì?b?14.453, í ??a?527.591. 這里的 a , b 分別為 a, b 的估 計(jì)值，因此線性回歸方程 為 y =527.591+14.453x 由 于 2004 年 對 應(yīng) 的 x =55 , 代 入 線 性 回 歸 方 程 y =527.591+14.453x 可 得 y =1322.506 （百萬），即

12、 2004 年的人口總數(shù)估計(jì)為 13.23 億. 例 2． 某地區(qū)對本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，下表是這次抽查中所得到 的各企業(yè)的人均資本 x （萬元）與人均產(chǎn)出 y （萬元）的數(shù)據(jù)： 人均 資本 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 x /萬元 人均 產(chǎn)出 y /萬元  4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.50 25.46 26.66 45.20 （1）設(shè) y 與 x 之間具有近似關(guān)系 y ?ax 計(jì) a 和 b 的值；  b  （ a, b 為常數(shù)

13、），試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估 （2）估計(jì)企業(yè)人均資本為 16 萬元時(shí)的人均產(chǎn)出（精確到 0.01 ）． 分析：根據(jù) x ， y 所具有的關(guān)系可知，此問題不是線性回歸問題，不能直接 用線性回歸方程處理．但由對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可知，只要對 y ?ax  b  的兩邊取對 數(shù)，就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系． 解（ 1）在 y ?ax b 的兩邊取常用對數(shù)，可得 lg y ?lg a +b lg x ，設(shè) lg y =z ， lg a =A ， lg x =X ，則 z ?A +bX ．相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算如圖 3 -2 -7 所示． A  B  C 

14、 D  E  F  G  H  I  J 人 均 資 1 本 x / 萬 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 元 高中數(shù)學(xué) 打印版本 人 均 產(chǎn) 2  出 y / 萬  4.12 4.67  8.68 11.01 13.04 14.43 17.5 25.46 26.66 元 3  X =lg x  0.47712 0. 60206  0.74036 0.81291 0.8451

15、0.90309 0.95424 1.02119 1.0607 4  z =lg y  0.6149 0.66932 0.93852 1.04179 1.11528 1.15927 1.24304 1.40586 1.42586 仿照問題情境可得 A ，b 的估計(jì)值 A ，b 分別為  ì?A=-0.2155, í ??b=1.5677,  由 lg a =-0.2155 可得 a ?0.6088 ，即 a ， b 的估計(jì)值分別為 0.6088 和 1.5677 ． （2）由（1）知 y =0.6088x1.5677  ．樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖 3 -2 -8（見 書本 P 102  頁） 當(dāng) x =16 時(shí)， y =0.6088 ′161.5677 ?47.01（萬元），故當(dāng)企業(yè)人均資本為16 萬 元時(shí)，人均產(chǎn)值約為 47.01 萬元． 高中數(shù)學(xué)