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1、第八章 有限元分析的應(yīng)用領(lǐng)域,,,8.1結(jié)構(gòu)振動(dòng)的有限元分析 8.2彈塑性問題的有限元分析 8.3傳熱與熱應(yīng)力問題的有限元分析,8.1結(jié)構(gòu)振動(dòng)的有限元分析,關(guān)于共振：震驚世界的懸索橋風(fēng)振毀事故 1940年11月7日，美國華盛頓州； 主跨853m，全長1524m，位居世界第三； 剛建成四個(gè)月； 塔科馬海峽橋 ( The Tacoma Narrows Bridge ) 在微風(fēng)（風(fēng)速19m/s，據(jù)說可抗60m/s）作用下； 經(jīng)過劇烈扭曲震蕩后，吊索崩斷，橋面結(jié)構(gòu)解體損毀，半跨墜落水中,,關(guān)于共振：大隊(duì)人馬過橋，勿用整齊步伐 大約160年前，拿破侖率領(lǐng)法國軍隊(duì)侵入西班牙，有一個(gè)部隊(duì)從鐵鏈懸橋上經(jīng)過
2、的時(shí)候，軍官喊著口令： “一、二、三、四！”隨著口令，部隊(duì)在橋上跨著整齊的步伐。當(dāng)他們走近對(duì)岸的時(shí)候，突然轟隆一聲響，橋的一頭跌入了大河，把所有的士兵和軍官都拋進(jìn)了水里，淹死了很多人。 距今100年以前，在俄國圣彼得堡有一支部隊(duì)，行經(jīng)豐坦卡河的橋梁時(shí)，也是跨著有節(jié)奏的步伐，同樣發(fā)生了橋墜人亡的事件。,,關(guān)于共振：飛機(jī)機(jī)翼顫振 飛機(jī)，就是氣體動(dòng)力學(xué)中的顫振現(xiàn)象。當(dāng)飛機(jī)飛行時(shí)，機(jī)翼發(fā)生有害的振動(dòng)，飛行越快，機(jī)翼的顫振越強(qiáng)烈，甚至使機(jī)翼折斷，造成機(jī)毀人亡的慘劇。飛機(jī)設(shè)計(jì)師們?yōu)榇嘶ㄙM(fèi)了巨大的精力研究消除有害的顫振現(xiàn)象，但是經(jīng)過長時(shí)間的努力才找到解決這一難題的方法。就在機(jī)翼前緣的遠(yuǎn)端上安放一個(gè)加重裝置，
3、這樣就把有害的振動(dòng)消除了。 昆蟲飛行時(shí)，翅膀要顫抖顫動(dòng)，角質(zhì)加厚層（翅痣）增加了重量，把這種顫抖“壓”住了。騎車、摩托開快了，就顫動(dòng)，會(huì)“飄”，加上一個(gè)重物，就壓住了，這個(gè)有相似的道理。,,涉及內(nèi)容： 1、模態(tài)分析 2、瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析 3、簡諧響應(yīng)分析 4、隨機(jī)譜分析 其中的模態(tài)分析（固有頻率和振型是所有振動(dòng)分析的基礎(chǔ)）,,結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的主要任務(wù)： 1)求出結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，主要指求出結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型；這關(guān)系到結(jié)構(gòu)能否正常的工作，同一動(dòng)載荷作用下，不同結(jié)構(gòu)的響應(yīng)是不同的，響應(yīng)的大小直接與結(jié)構(gòu)的固有頻率有關(guān)。 2)求出結(jié)構(gòu)對(duì)動(dòng)載荷的響應(yīng)，即結(jié)構(gòu)在動(dòng)載荷作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和應(yīng)力。這關(guān)系到結(jié)構(gòu)工作是
4、否可靠的問題，有了結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的應(yīng)力時(shí)歷曲線，可以進(jìn)行響應(yīng)的數(shù)值分析和結(jié)構(gòu)疲勞壽命評(píng)估。,,基本變量 位移 應(yīng)變 應(yīng)力,,平衡方程,,幾何方程 物理方程,,邊界條件 位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件 初始條件,,虛功原理 基于以上的基本方程，可以得到相應(yīng)的有限元形式列陣。,,有限元分析表達(dá)式 代入虛功方程，從而可以得到動(dòng)力學(xué)方程。,,,,質(zhì)量矩陣,,阻尼矩陣,,剛度矩陣,將各個(gè)單元裝配，組集可以得到以下動(dòng)力學(xué)方程,,討論： 1、靜力學(xué)情形 2、無阻尼情形 3、無阻尼自由情形,,由微分方程的一般理論可知，常系數(shù)線性齊次微分方程組的基本解的形式為,顯然，顯式解代表的是以為圓周頻率
5、的簡諧振動(dòng)，而 則是與其對(duì)應(yīng)的振型。將基本解代入動(dòng)力學(xué)方程后,,,滿足上式的解和 分別稱為特征值和特征矢量。顯然，如此求得的就是結(jié)構(gòu)振動(dòng)的固有頻率，而 給出相應(yīng)的固有振型。其解是關(guān)于的n個(gè)分量的線性齊次代數(shù)方程組，它有非零解的充分必要條件為,,此式稱為廣義特征方程。如果K的階次為n，則廣義特征方程是的n次代數(shù)方程，由此可以解出n個(gè)廣義特征值，從而得到n個(gè)固有頻率。如果剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M正定，廣義特征值問題可以很方便地化為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題。,,特征值和特征矢量的性質(zhì) 正則化條件 ： 證明1：剛度矩陣的正交性。 證明2：質(zhì)量矩陣的正交性。 證明3：阻尼矩陣的正交性。,,質(zhì)量矩
6、陣 一致質(zhì)量矩陣：通常把由形狀函數(shù)矩陣推導(dǎo)出的質(zhì)量矩陣叫做一致質(zhì)量矩陣(consist。nt mass matrix)，所謂“一致”，意指推導(dǎo)質(zhì)量矩陣時(shí)所使用的形狀函數(shù)矩陣與推導(dǎo)剛度矩陣時(shí)所使用的形狀函數(shù)矩陣相“一致”。 集中質(zhì)量矩陣：集中質(zhì)量矩陣的系數(shù)都集中在矩陣的對(duì)角線上，也就是說對(duì)應(yīng)于各個(gè)白由度的質(zhì)量系數(shù)相耳獨(dú)立，相互之間無耦合，這給方程的求解會(huì)帶來很大好處；而一致質(zhì)量矩陣的系數(shù)則有相互耦合。,,阻尼矩陣 一般情況下，單元阻尼矩陣可以看作是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合，即 式中的c稱為瑞雷阻尼，系數(shù)，與結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比有關(guān)。設(shè) 分別為第i個(gè)和第j個(gè)固有頻率， 分別
7、為第i個(gè)和第j個(gè)振型的阻尼比（亦即實(shí)際阻尼和該振型的臨界阻尼的比值），則，可以分別表示為,,,結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的有限元分析,動(dòng)力響應(yīng)問題就是求解動(dòng)力學(xué)方程，即在外力的作用下，求出作為時(shí)間函數(shù)的位移、速度和加速度。動(dòng)力響應(yīng)問題的常用解法有振型法(或振型疊加法)和直接積分法。 振型法首先利用自然振動(dòng)的模態(tài)矩陣對(duì)無阻尼系統(tǒng)、阻尼系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行解耦處理，以得到各自獨(dú)立的動(dòng)力學(xué)力程然后分別進(jìn)行求解，可以是數(shù)值求解，也可以解析求解。 直接積分法就是直接將動(dòng)力學(xué)方程村時(shí)間證行分段數(shù)值離散，然后計(jì)算每一時(shí)刻的位移數(shù)值，這一過程實(shí)際上是將時(shí)間的積分區(qū)間進(jìn)行離散化，因此叫做積分算法。關(guān)于時(shí)間的格式有顯式和隱式，具體地有基于中心差分的顯式算法(cxplicit algorlthm)和基于Newmark方法的隱式算法。,,,振型疊加法 顯式積分法 隱式積分法,
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