二次函數(shù)圖像和性質 (2)

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1、二次函數(shù)的圖像和性質 一. 本周教學內容：二次函數(shù)的圖像和性質 ?二、本周學習目標 掌握二次函數(shù)的圖像和性質，能夠確定二次函數(shù)的表達式，并能夠對圖像進行分析 ? 1. 與之間關系，（） ? 2. 頂點坐標?????????????????????????????????? 對稱軸 ?????? ?????????????????????? （0，0）?????????????????????????????????? y軸 ?????? ???????????????? （0，k）?????????????????????????????????? y軸 ??????

2、?????????????? （h，0）?????????????????????????????????? 直線x＝h ?????? ??????? （h，k）?????????????????????????????????? 直線x＝h。 ? 3. 二次函數(shù)頂點坐標（，），對稱軸是直線。 ? 4. 二次函數(shù)圖象的畫法。 ?????? （1）通過配方法，將一般式化為形式； ?????? （2）確定拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標； ?????? （3）在對稱軸兩側，以頂點為中心，左右兩側對稱描點。 ? 5. 求二次函數(shù)解析式。 ?????? （1）一般式： ??????

3、 （2）頂點式： ?????? （3）交點式：，其中（，0），（，0）分別為拋物線與x軸的兩個交點。 ?????? （4）對稱點式：，其中（），（）為拋物線上關于對稱軸對稱的兩個點。 6. 拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線 ，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側. （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置. 當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）： ①，拋物線經(jīng)過原點; ②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負半軸. 以上三點中，當

4、結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 . ? 三、考點分析 二次函數(shù)的圖像和性質、確定二次函數(shù)的表達式、確定二次函數(shù)圖像特征，這三點在中考考點中均是要求學生能夠熟練掌握的內容。 ? 【典型例題】 例1. 已知拋物線。 ?????? （1）求拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標； ?????? （2）求拋物線與軸、軸的交點坐標； ?????? （3）畫出函數(shù)圖象（草圖）； ?????? （4）根據(jù)圖象說出：x為何值時，y隨x增大而增大？x為何值時y隨x增大而減??？函數(shù)y有最大值還是最小值？最值是多少？ ?????? 分析：通過配方或利用頂點坐標公式求出頂點坐

5、標和對稱軸，再利用五點作圖，并根據(jù)圖象回答增減性及最值。 ?????? 解：（1）配方：得 ?????? ∵??????? ∴拋物線開口向下 ?????? 對稱軸：????????? 頂點坐標是（，2） ?????? （2）令即， 得，。 ∴它與x軸的交點坐標為（，0），（，0） 再令即 ∴它與y軸交點坐標為（0，） （3）∵頂點A（，2），對稱軸，與x軸交點為B（，0），C（，0） 與y軸交點D（0，）。D關于對稱軸的對稱點E（，），將E、B、A、C、D這5點連接成光滑曲線，即得拋物線圖象。 （4）從圖象可知，當時，隨x增大而增大。 當時，隨x增大而減小。 ∵拋

6、物線開口向下，∴頂點A為最高點，函數(shù)有最大值即當時，＝2。 點撥：（1）五點作圖法是畫二次函數(shù)圖象的簡易作圖法，這五點是拋物線的五個特征點：即頂點，與x軸的兩個交點，與y軸的交點及該交點關于拋物線對稱軸的對稱點。 （2）有時候函數(shù)與x軸沒有交點，則選取作圖點的時候要考慮拋物線的對稱性，以對稱軸為中心對稱取點。 ? 例2. 已知拋物線y＝ax+bx+c的頂點是A(－1，4)且經(jīng)過點(1，2)求其解析式。 分析：此類題型可設頂點坐標為(m，k)，故解析式為y＝a(x－m)+k.在本題中可設y＝a(x+1)+4，再將點(1，2)代入求得a＝－ ∴y＝－ 即y＝－ 由于題中只有一個待定

7、的系數(shù)a，將已知點代入即可求出，進而得到要求的解析式。 ? 例3. 如圖所示，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A、B、C三點。 （1）觀察圖像，寫出A、B、C三點的坐標，并求出函數(shù)的解析式； （2）求此拋物線的頂點坐標和對稱軸。 分析：求函數(shù)解析式時，我們要注意考慮函數(shù)表達式的三種一般形式，并能夠根據(jù)題目條件來選取合適的表達式來求解。頂點坐標和對稱軸則可以用相應的公式來求解。 解：（1）A（，0），B（3，0），C（0，），將三點坐標代入， 得????? 解得 ∴二次函數(shù)的解析式為。 （2）∵， ， ∴頂點坐標為，對稱軸為直線。 點撥：當給出拋物線y＝ax+bx+c上的三點時，可

8、采取列方程組，求出a、b、c的值，即可求出函數(shù)的解析式。 對于本題來說，我們還可以發(fā)現(xiàn)A、B兩點是圖像與x軸的交點，本題也可以采用交點式來求解，而且解法要比一般式要簡單。 ? 【模擬試題】（答題時間：30分鐘） 1. 二次函數(shù)y＝x2的圖象向右平移3個單位，得到新的圖象的函數(shù)表達式是（? ） A. y＝x2+3?????????????????? B. y＝x2－3????????????????? C. y＝（x+3）2??????????? D. y＝（x－3）2 2. 二次函數(shù)y＝－（x－1）2+3圖像的頂點坐標是（? ） A. （－1，3）????????????????

9、??? B. （1，3）??????????????? C. （－1，－3）??????????????? D. （1，－3） 3. 二次函數(shù)y＝x2+x－6的圖象與x軸交點的橫坐標是（? ） A. 2和－3 ????????????????? B. －2和3 ???????????????? C. 2和3 ???????????????????? D. －2和－3 4. 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論：①a>0；②c>0；③b2－4ac>0，其中正確的個數(shù)是（? ） A. 0個???????????????????????? B. 1個 ???

10、??????????????????? C. 2個???????????????????????? D. 3個 5. （2006年常德市）根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對應值，判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（? ） ??? x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c －0.03 －0.01 0.02 0.04 A. 6

11、 C. 6.18

12、個單位，則此時拋物線的解析式是________。 9. （2006年錦州市）已知二次函數(shù)的圖象開口向上，且頂點在y軸的負半軸上，請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)的表達式________。 10. （2006年長春市）函數(shù)y＝x2+bx－c的圖象經(jīng)過點（1，2），則b－c的值為______。 11. 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+c（a≠0）的圖象過正方形ABOC的三個頂點A，B，C，則ac的值是________。 12. 觀察下面的表格： ??? x 0 1 2 ?? ax2 ? 2 ? ax2+bx+c 4 ? 6 （1）求a，b，c的

13、值，并在表格內的空格中填上正確的數(shù)； （2）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的頂點坐標與對稱軸。 13. （2006年南通市）已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，B，C三點，當x≥0時，其圖象如圖所示。 （1）求拋物線的解析式，寫出拋物線的頂點坐標； （2）畫出拋物線y＝ax2+bx+c當x<0時的圖象； （3）利用拋物線y＝ax2+bx+c，寫出x為何值時，y>0。 14. （2006年長春市）如圖，P為拋物線y＝x2－x+上對稱軸右側的一點，且點P在x軸上方，過點P作PA垂直x軸于點A，PB垂直y軸于點B，得到矩形PAOB. 若AP＝1，求矩形PAOB的面積。

14、15. （2006年莆田市）枇杷是莆田名果之一。某果園有100棵枇杷樹，每棵平均產(chǎn)量為40千克?，F(xiàn)準備多種一些枇杷樹以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹接受的陽光就會減少。根據(jù)實踐經(jīng)驗，每多種一棵樹，投產(chǎn)后果園中所有的枇杷樹平均每棵就會減少產(chǎn)量0.25千克。問：增種多少棵枇杷樹，投產(chǎn)后可以使果園枇杷的總產(chǎn)量最多？最多總產(chǎn)量是多少千克？[注：拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標是（－，） 16. （2006年常州市）在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝a（x－1）2+k的圖像與x軸相交于點A、B，頂點為C，點D在這個二次函數(shù)圖像的對稱軸上，若四邊形ABCD是一個邊長

15、為2且有一個內角為60°的菱形，求此二次函數(shù)的表達式。 【試題答案】 1. D?????????? 2. B??????? 3. A??????? 4. C??????? 5. C??????? 6. C 7. x＝－1 8. y＝（x+4）2－2（y＝x2+8x+14）? 9. 答案不唯一，符合要求即可. 如：y＝x2－2? 10. 1? 11. －2? 12. （1）a＝2，b＝－3，c＝4，0，8，3? （2）頂點（，）對稱軸是直線x＝ 13. （1）y＝－x2+x+2，頂點坐標（，） （2）略，（3）當－10。 14. ∵PA⊥x軸，AP

16、＝1，∴點P的縱坐標為1。當y＝1時，x2－x+＝1， 即x2－2x－1＝0，解得x1＝1+，x2＝1－， ∵拋物線的對稱軸為x＝1，點P在對稱軸的右側， ∴x＝1+，∴矩形PAOB的面積為（1+）個平方單位。 15. 設增種x棵時，果園的總產(chǎn)量為y千克， 根據(jù)題意得：y＝（100+x）（40－0.25x）＝4000－25x+40x－0.25x2＝－0.25x2+15x+4000， ∵a＝－0.25<0， ∴當x＝－＝－＝30時，y最大， y最大值＝＝＝4225。 答：當增種30棵枇杷樹時，投產(chǎn)后果園總產(chǎn)量最多，達4225千克. 16. 解：本題共四種情況，設二次函數(shù)

17、的圖像的對稱軸與x軸相交于點E， （1）如圖①， 當∠CAD＝60°時，因為ABCD為菱形，一邊長為2， 所以DE＝1，BE＝，所以點B的坐標為（1+，0），點C的坐標為（1，－1）， 解得k＝－1，a＝，所以y＝（x－1）2－1。 （2）如圖②，當∠ACB＝60°時，由菱形性質知點A的坐標為（0，0）， 點C的坐標為（1，－），解得k＝－，a＝，所以y＝（x－1）2－， 同理可得：y＝－（x－1）2+1，y＝－（x－1）2+， 所以符合條件的二次函數(shù)的表達式有： y＝（x－1）2－1， y＝（x－1）2－， y＝－（x－1）2+1， y＝－（x－1）2+。