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1、考點一等差數(shù)列的有關概念及運算,考點清單,考向基礎 1.定義 一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示. 2.通項公式 如果等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,那么它的通項公式是 an=a1+(n-1)d,nN*.,3.等差中項 如果A=,那么A叫做a與b的等差中項.,4.前n項和公式 設等差數(shù)列an的公差為d,則其前n項和Sn=或Sn= na1+d.,考向突破,考向等差數(shù)列中的基本運算,例已知數(shù)列an是首項為1,公差為d(dN*)的等差數(shù)列,若81是該數(shù)列中的一項,則公差不可能是() A.2
2、B.3C.4D.5,解析數(shù)列an是首項為1,公差為d(dN*)的等差數(shù)列,an=1+(n-1)d, 81是該數(shù)列中的一項,81=1+(n-1)d,n=+1, d,nN*,d是80的因數(shù).只有選項B中的3不是80的因數(shù).故選B.,答案B,考點二等差數(shù)列的性質及其應用,考向基礎 1.等差數(shù)列的常用性質 (1)通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,mN*). (2)若an是等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),則ak+al=am+an. (3)若an是等差數(shù)列,公差為d,則a2n也是等差數(shù)列,公差為2d. (4)若an,bn是等差數(shù)列,則pan+qbn(p,q是常數(shù))仍是等差數(shù)列
3、. (5)若an是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)組成公差為 md的等差數(shù)列.,相同,公差是an的公差的. (2)若Sm,S2m,S3m分別為an的前m項,前2m項,前3m項的和,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列. (3)非零等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質: (i)若項數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd,=.,2.與等差數(shù)列各項的和有關的性質 (1)若an是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列,其首項與an的首項,(5)等差數(shù)列an的前n項和Sn的最值: (i)若a10,d0,則從首項到最后一個非正項的和最小. (iii)若數(shù)列中有常數(shù)項0,則Sn的最值對應兩個n
4、值.,(ii)若項數(shù)為2n-1,則S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=. (4)若兩個等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為Sn、Tn,則=.,知識拓展 利用數(shù)形結合的思想方法解決等差數(shù)列的有關問題時應明確兩點: (1)等差數(shù)列an的通項公式an=a1+(n-1)d可變形為an=dn+(a1-d). 若d=0,則an=a1是常數(shù)列; 若d0,則an是關于n的一次函數(shù). 點(n,an)是直線y=dx+(a1-d)上的一群孤立的點. 單調性:d0時,an為單調遞增數(shù)列;d<0時,an為單調遞減數(shù)列. (2)等差數(shù)列an的前n項和Sn可表示為Sn=n2+n,令A=,B=a1-, 則S
5、n=An2+Bn.當A0,即d0時,Sn是關于n的二次函數(shù),(n,Sn)在二次函數(shù)y=Ax2+Bx的圖象上,為拋物線y=Ax2+Bx上的一群孤立的點.利用此性質可解決前n項和,Sn的最值問題.,考向突破,考向一求等差數(shù)列前n項和的最值,例1已知數(shù)列an為等差數(shù)列,若 0的n的最大值為.,解析設等差數(shù)列an的公差為d, 0,d0,a70,S12= =0的n的最大值為11.,答案11,考向二等差數(shù)列的常用性質,例2已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若-= 100,則d的值為() A.B.C.10D.20,解析an為等差數(shù)列,==a1+(n-1),則為等 差數(shù)列,且公差為,-=2
6、000=100,即d=,故選B.,答案B,方法1等差數(shù)列的基本運算技巧 1.等差數(shù)列可以由首項a1和公差d確定,所有關于等差數(shù)列的計算和證明,都可圍繞a1和d進行. 2.對于等差數(shù)列問題,一般給出兩個條件,就可以通過列方程(組)求出a1,d.如果再給出第三個條件,就可以完成an,a1,d,n,Sn的“知三求二”問題,這體現(xiàn)了用方程思想解決問題的思路. 3.注意設元技巧,減少運算量.如果三個數(shù)成等差數(shù)列,一般可設為a-d,a,a+d;如果四個數(shù)成等差數(shù)列,可設為a-3d,a-d,a+d,a+3d.,方法技巧,例1已知an是首項為-,公差為d(d0)的等差數(shù)列,Sn為其前n項和, 若S1,S2,S
7、4成等比數(shù)列,則d=() A.-1B.-C.D. 解題導引,解析Sn=na1+d,因為S1,S2,S4成等比數(shù)列, 所以S1S4=, 即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2, 因為a1=-, 所以-(-2+6d)=(-1+d)2, 即d2+d=0,解得d=0或d=-1. 又因為d0,所以d=-1,故選A.,答案A,方法2等差數(shù)列的判定方法 1.證明一個數(shù)列an為等差數(shù)列的基本方法有兩種: (1)利用等差數(shù)列的定義證明,即證明an+1-an=d(nN*); (2)利用等差中項證明,即證明an+2+an=2an+1(nN*). 2.解選擇題、填空題時,可用通項法或前n項和法直接判斷: (1)通項
8、法:若數(shù)列an的通項公式為n的一次函數(shù),即an=An+B,則an是等差數(shù)列; (2)前n項和法:若數(shù)列an的前n項和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常數(shù)),則an為等差數(shù)列.,例2已知數(shù)列an中,a1=,an=2-(n2,nN*),數(shù)列bn滿足bn= (nN*). (1)求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列an中的最大項和最小項,并說明理由.,解析(1)證明:因為an=2-(n2,nN*), bn=(nN*), 所以bn+1-bn=- =-=-=1.,則an=1+=1+. 設f(x)=1+, 則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù). 所以當n=3時,an取得最小值,為-1,當n=4時,an取得最大值,為3.,又b1==-, 所以數(shù)列bn是以-為首項,1為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)知bn=n-,,方法3等差數(shù)列前n項和的最值問題的求解方法 求等差數(shù)列an的前n項和Sn的最值的方法:,例3在等差數(shù)列an中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,當n取何值時,Sn取得最大值?并求出此最大值.,
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