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1、玻耳茲曼,第三篇,麥克斯韋,熱學(xué),熱力學(xué)系統(tǒng)(大量微觀粒子組成的系統(tǒng)),一.研究對(duì)象,二.研究方法,1.氣動(dòng)理論,如:擲硬幣,牛頓力學(xué),統(tǒng)計(jì)方法,2.熱力學(xué),能量守恒,實(shí)驗(yàn)途徑,,,熱運(yùn)動(dòng):大量微觀粒子永不停息、無(wú)規(guī)則、無(wú)定向的運(yùn)動(dòng).,2.熱運(yùn)動(dòng)的特征:,分子線度小(直徑約),分子數(shù)多(1mol氣體含分子),分子運(yùn)動(dòng)快(平均速率幾百米每秒),分子運(yùn)動(dòng)完全無(wú)序(碰撞頻繁,幾十億次/秒),1.熱運(yùn)動(dòng)的圖象:,分子的永恒運(yùn)動(dòng)和頻繁碰撞.,,*熱運(yùn)動(dòng)及其特征,,一、微觀量：描述個(gè)別分子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理量。如：每個(gè)分子都有的質(zhì)量、運(yùn)動(dòng)速度、能量。,二、宏觀量：表示大量分子集體效應(yīng)的物理量。如：氣體的溫度、
2、壓強(qiáng)。,如狀態(tài)參量：,V(m3),P(Pa),T(K)宏觀可測(cè)。,6-1平衡態(tài)理想氣體狀態(tài)方程,第六章氣體動(dòng)理論基礎(chǔ),三、平衡態(tài)：,氣體與外界沒(méi)有能量和物質(zhì)的交換，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)（P、V、T）變化很小或不變化的狀態(tài)。（平衡態(tài)是熱動(dòng)平衡）,準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程：,氣體從一個(gè)平衡狀態(tài)經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)限接近平衡狀態(tài)的中間狀態(tài)，過(guò)渡到另一個(gè)平衡態(tài)。,平衡態(tài)與平衡過(guò)程的描述：常用PV圖。,平衡態(tài)：點(diǎn)。如、。,平衡過(guò)程：任意曲線。,四、理想氣體狀態(tài)方程：,R=8.31J/molK普適氣體常數(shù),五、物質(zhì)的微觀模型統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,2、分子力:,1、分子的數(shù)密度和線度：,3、分子熱運(yùn)動(dòng)的基本特征及統(tǒng)計(jì)規(guī)律：,基本特征：不停地作雜
3、亂無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)。,統(tǒng)計(jì)規(guī)律:大量偶然的、無(wú)序的的分子運(yùn)動(dòng)中,包含著規(guī)律性。,大量分子集體行為有章可循。,個(gè)別分子雜亂無(wú)章。,典型數(shù)據(jù)：平均速率500m/s；分子連續(xù)兩次碰撞的平均路程10-7m；平均時(shí)間間隔10-10s。,氣動(dòng)理論=牛頓力學(xué)+統(tǒng)計(jì)方法,如:,口袋中摸球:10個(gè)球(三藍(lán)七紅),,擲硬幣:,頭像面出現(xiàn)的幾率:,4、統(tǒng)計(jì)規(guī)律的特點(diǎn):,統(tǒng)計(jì)規(guī)律,摸出紅球的幾率:,藍(lán)球的幾率:,整體規(guī)律(從量變到質(zhì)變);,對(duì)大量偶然事件才有意義;,伴隨著漲落*.,例:,擲骰子：出現(xiàn)4，概率1/6，每擲600次，,實(shí)際:,統(tǒng)計(jì)平均出現(xiàn)4的次數(shù),6-2理想氣體壓強(qiáng)公式,一、氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的特征,大距離、短程
4、力，無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)永不停息。,二、理想氣體的分子模型：,質(zhì)點(diǎn)、完全彈性碰撞、分子間作用力不計(jì)。,三、統(tǒng)計(jì)假設(shè),平衡態(tài)下：,1、分子數(shù)密度相等。,2、分子沿任一方向的運(yùn)動(dòng)，機(jī)會(huì)均等。,補(bǔ)充:,1、沖量定理：,2、周期函數(shù)的平均值：,四、理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo),,前提：在邊長(zhǎng)l1、l2、l3的長(zhǎng)方體容器中有N個(gè)同類分子作無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量均為m，各向機(jī)會(huì)均等。,氣體對(duì)容器壁的壓強(qiáng)是大量分子對(duì)容器壁碰撞的平均效果。,一個(gè)分子對(duì)A1面的平均作用力：,N個(gè)分子對(duì)A1面的總的平均作用力：,氣體分子對(duì)A1面的壓強(qiáng)：,或,其中,為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。,,說(shuō)明：,1、A1面的壓強(qiáng)公式可推廣到任一面上。,2、空間任
5、一點(diǎn)處都有相同的壓強(qiáng)。,3、分子間的碰撞不影響結(jié)果。,4、,5、分子熱運(yùn)動(dòng)平均動(dòng)能：平均平動(dòng)動(dòng)能、平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、平均振動(dòng)動(dòng)能。后兩種動(dòng)能對(duì)壓強(qiáng)無(wú)貢獻(xiàn)。,6-3溫度公式,一、氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度的關(guān)系,對(duì)一定體積V，若氣體質(zhì)量為M，則：,,其中n為分子數(shù)密度，k為玻爾茲曼常數(shù)。,(N為分子總數(shù)),對(duì)照,有,,說(shuō)明：,1、溫度是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度。,2、分子熱運(yùn)動(dòng)永不停息，絕對(duì)零度不可達(dá)。,3、溫度是氣體處于熱（動(dòng)）平衡的物理量。,4、溫度是統(tǒng)計(jì)量。,5、溫度與氣體整體運(yùn)動(dòng)（有規(guī)則運(yùn)動(dòng)）無(wú)關(guān)。,,二、氣體分子的方均根速率,說(shuō)明：,是大量分子統(tǒng)計(jì)平均值，某一分子的v是不斷變化的，方向也雜亂
6、無(wú)章的。,例1：一瓶氮?dú)夂鸵黄亢饷芏认嗤肿悠骄絼?dòng)動(dòng)能相同，且處于平衡態(tài)，則,例2：在密閉的容器中，若理想氣體溫度提高為原來(lái)的2倍，則,,,6-4能量按自由度均分原理、內(nèi)能,一、自由度,確定運(yùn)動(dòng)物體在空間位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。,質(zhì)點(diǎn)：任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，需三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)x、y、z。,剛體：任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，可分解為質(zhì)心的平動(dòng)及繞通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。,剛性雙原子:i=5,剛性多原子:i=6,單原子:i=3,二、能量按自由度均分原理,分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：,平衡態(tài)下,一個(gè)平方項(xiàng)的平均值,,一個(gè)平動(dòng)自由度,在平衡態(tài)下，分子每一個(gè)自由度都分配有kT/2的熱運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能。,說(shuō)明,(2)能量均分定理是分子無(wú)規(guī)則熱
7、運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,平均平動(dòng)動(dòng)能,平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,如某種分子有t個(gè)平動(dòng)自由度,r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,,則分子具有:,為什么?,分子不斷碰撞以達(dá)平衡,如果分子有i個(gè)自由度，分子的平均動(dòng)能：,三、理想氣體內(nèi)能：,理想氣體的內(nèi)能=所有分子的熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之總和。,1mol理想氣體的內(nèi)能：,對(duì)于質(zhì)量為M的理想氣體：,單原子：,雙原子：,多原子：,,總結(jié)幾個(gè)容易混淆的慨念：,1.分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：,3.理想氣體內(nèi)能：,4.單位體積內(nèi)氣體分子的平動(dòng)動(dòng)能：,5.單位體積內(nèi)氣體分子的動(dòng)能：,2.分子的平均動(dòng)能：,例1.氫氣和氧氣的溫度相同,問(wèn),1）,?,?,2）,不一定!,例2：如果氫氣、氦氣的溫度相同，摩爾數(shù)相同，
8、那么著兩種氣體的,例3：H2的溫度為00C，試求：,解:依能量守恒,氮?dú)夂暧^運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其內(nèi)能:,或,,6-5麥克斯韋分子速率分布定律,一、伽爾頓板演示：,一個(gè)小球落在哪里有偶然性；少量小球的分布每次都可能不同；大量小球的分布卻是穩(wěn)定的。,統(tǒng)計(jì)規(guī)律：對(duì)大量偶然事件整體起作用的穩(wěn)定的規(guī)律。,【演示】伽爾頓板,N:分子總數(shù)。,N:vv+v區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。,N/N:vv+v區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,二、氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)測(cè)定：,,三、麥克斯韋分子速率分布定律,速率分布函數(shù)：,為歸一化條件。,f(v)的物理意義：,在v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,,速率在內(nèi)分子數(shù)：,
9、速率位于區(qū)間的分子數(shù)：,速率位于區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比：,,,用總分子數(shù)N，氣體分子速率v和速率分布函數(shù)f(v)表示速率大于v0的分子數(shù)：,思考,某一分子在速率v附近的單位速率區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率。,某一分子出現(xiàn)在v1v2區(qū)間內(nèi)的概率：,某一分子出現(xiàn)在vv+dv區(qū)間內(nèi)的概率：,f(v)又稱概率密度：,多次觀察某一個(gè)分子的速率，發(fā)現(xiàn)其速率大于v0的幾率:,思考：,1860年，Maxwell從理論上得出：,在平衡態(tài)下，一定量氣體不受外力時(shí)：,麥克斯韋速率分布律,1、最概然速率Vp：,令,得,四、三種速率：,與f(v)極大值對(duì)應(yīng)的速率。,,關(guān)于麥克斯韋速率分布中最概然速率的概念，下面哪種表述正確？（
10、A）是氣體分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值.（C）是麥克斯韋速率分布函數(shù)的最大值.（D）速率大小與最概然速率相近的氣體分子的比例最大.,2、平均速率,3、方均根速率,,三種速率的比較,例1：求分布在v1v2速率區(qū)間的分子平均速率。,解：,例2：速率大于v0的那些分子的平均速率。,解：,對(duì)v1v2內(nèi)分子求平均：,對(duì)所有分子求平均：,設(shè)g(v)是與速率有關(guān)的熱力學(xué)量，可從速率分布函數(shù)求出g(v)的平均值：,推廣：,1、溫度與分子速率：,五、麥克斯韋速率分布曲線的性質(zhì),2、質(zhì)量與分子速率：,例1：如圖：兩條曲線是氫和氧在同一溫度下分子速率分布曲線，判定哪一條是氧分子的速率分布曲
11、線？,例2：在200C時(shí)，He原子和N2分子的方均根速率分別為1.35km/s和0.417km/s。,（1）,（2）,1已知分子數(shù)，分子質(zhì)量，分布函數(shù).求（1）速率在間的分子數(shù)；（2）速率在間所有分子動(dòng)能之和.,解,2如圖示兩條曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，從圖上數(shù)據(jù)求出兩氣體最概然速率.,解,END,例5有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為:,（1）作速率分布曲線。（2）由N和v0求常量C。（3）求粒子的平均速率。（4）求粒子的方均根速率。,解：,圓筒B不轉(zhuǎn)，分子束的分子都射在P處。,圓筒B轉(zhuǎn)動(dòng)，分子束的速率不同的分子將射在不同位置:,六、測(cè)定分子速率分布的實(shí)驗(yàn)裝置（北郵
12、）：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,金屬蒸氣,顯示屏,狹縫,,,六、測(cè)定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn)（馬）,6-6玻爾茲曼能量分布律,平衡態(tài)下，理想氣體的麥克斯韋速率分布律:,在vv+dv,其指數(shù)僅包含分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能,相應(yīng)于分子不受外力場(chǎng)的影響,玻爾茲曼能量分布律,麥：,海平面處（ep=0），單位體積中，分子速率在vv+dv的分子數(shù)：,玻：,在vv+dvxx+dx、yy+dy、zz+dz,dxdydz,,令：,重力場(chǎng)中粒子按高度的分布,重力場(chǎng)中的等溫氣壓公式,每升高10米，大氣壓強(qiáng)降低133Pa。近似符合實(shí)際，可粗略估計(jì)高度變化。,,高度計(jì)原理,6-7分子碰撞和平均
13、自由程,一、碰撞：,1、氣體運(yùn)動(dòng)軌跡為一折線：,如：N2分子在270C時(shí)的平均速率為476m.s-1.,矛盾,氣體分子熱運(yùn)動(dòng)平均速率高，但氣體擴(kuò)散過(guò)程進(jìn)行得相當(dāng)慢。,分子平均碰撞次數(shù)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)一個(gè)分子和其它分子碰撞的平均次數(shù).,分子平均自由程：每?jī)纱芜B續(xù)碰撞之間，一個(gè)分子自由運(yùn)動(dòng)的平均路程.,兩個(gè)問(wèn)題：,2、碰撞截面：s=pd2,d為分子的有效直徑。,,二、平均碰撞頻率,一秒內(nèi)一個(gè)分子與其他分子碰撞的平均次數(shù)。,平均碰撞頻率的計(jì)算,設(shè)想：跟蹤分子A，看其在一段時(shí)間t內(nèi)與多少分子相碰。假設(shè)：其他分子靜止不動(dòng)。,在t內(nèi)，A分子與其他分子碰撞的次數(shù)：,考慮到其他分子也在作熱運(yùn)動(dòng)，,三、平均自由程,
14、氣體分子在連續(xù)兩次碰撞之間的各段距離的平均值。,,在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，多數(shù)氣體平均自由程10-8m，只有氫氣約為10-7m。,每秒鐘一個(gè)分子竟發(fā)生幾十億次碰撞！,例：一定量的理想氣體，若V不變，T,則,例：一定量的理想氣體，若T不變，P,則,解：,平均碰撞頻率與原來(lái)相同。,平均自由程增為的兩倍。,思考題：一定量理想氣體先經(jīng)等容過(guò)程，使其溫度升高為原來(lái)的四倍，再經(jīng)等溫過(guò)程，使體積膨脹為原來(lái)的兩倍。根據(jù)和，則平均碰撞頻率增為原來(lái)的兩倍；再根據(jù)則平均自由程增為原來(lái)的四倍。以上結(jié)論是否正確，如有錯(cuò)誤請(qǐng)改正。,小球在x附近，單位寬度區(qū)間出現(xiàn)的概率,概率密度,,例：伽爾頓板實(shí)驗(yàn),槽:1,2,3,...,粒子數(shù):N1,N2,N3...,粒子出現(xiàn)在第i槽內(nèi)的概率為：,該槽內(nèi)小球數(shù),小球總數(shù),粒子總數(shù):,x：槽寬,,對(duì)1mol理想氣體物態(tài)方程的修正：,（1）體積修正,設(shè)V為容器體積，b為1mol分子所占體積。,或,（2）壓強(qiáng)修正,*真實(shí)氣體的范德瓦耳斯方程,,,,,,,考慮分子間存在引力，氣體分子施與器壁的壓強(qiáng)應(yīng)減少一個(gè)量值，稱為內(nèi)壓強(qiáng)（pi）。,a為比例系數(shù),,范德瓦耳斯方程：,
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