概率與數(shù)理統(tǒng)計第01講.ppt

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1、,,,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,課程介紹:48學時,共講8章.5章是概率論，章是數(shù)理統(tǒng)計,引言,1.決定性現(xiàn)象,在一定條件下必然發(fā)生（出現(xiàn)）某一結(jié)果的現(xiàn)象稱為決定性現(xiàn)象.,特點,在相同的條件下，重復(fù)進行實驗或觀察，它的結(jié)果總是確定不變的。,隨機現(xiàn)象,即在相同的條件下，重復(fù)進行觀測或試驗，它的結(jié)果未必是相同的。,在一定的條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而試驗或觀察前，不能預(yù)知確切的結(jié)果。,隨機現(xiàn)象的特點：,雖然在個別試驗中，其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，但是人們經(jīng)過長期實踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)在大量重復(fù)試驗或觀察下，這類現(xiàn)象的結(jié)果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性,這種在大量重復(fù)試驗或觀察中，所呈現(xiàn)出的固有規(guī)

2、律性稱之為統(tǒng)計規(guī)律性,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,正是研究隨機現(xiàn)象的這種統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學分支,下面我們就來開始這門課程的學習,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,概率論是數(shù)學的一個分支，它研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，概率論的應(yīng)用幾乎遍及所有的科學領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報、地震預(yù)報、產(chǎn)品的抽樣調(diào)查，在通訊工程中概率論可用以提高信號的抗干擾性、分辨率等等.總之:概率論與數(shù)理統(tǒng)計在自然科學和社會科學的很多領(lǐng)域都具有非常廣泛的應(yīng)用.我對此不再展開介紹了.,先看一看概率論的有關(guān)應(yīng)用,下面我們看一個有趣的通俗文學故事:援引,2006年,第4期,第56頁:理智避開德軍潛艇.1943年以前,大西洋上的英美運輸船

3、隊常常受到德國潛艇的襲擊.為此,一位美國海軍將領(lǐng)專門請教了幾位數(shù)學家,數(shù)學家們運用概率論分析后發(fā)現(xiàn),艦隊與敵潛艇相遇是一個隨機事件,從數(shù)學角度來看這一問題,它具有一定的規(guī)律.-------遭襲的概率由原來的25%下降為1%.,第一章古典概型與概率空間,在考慮一個(未來)事件是否會發(fā)生的時候,人們常關(guān)心該事件發(fā)生的可能性的大小.就像用尺子測量物體的長度、我們用概率測量一個未來事件發(fā)生的可能性大小.將概率作用于被測事件就得到該事件發(fā)生的可能性大小的測量值.為了介紹概率,需要先介紹試驗和事件.,1.1試驗與事件,1.試驗,我們把按照一定的想法去作的事情稱為隨機試驗.隨機試驗的簡稱是試驗(experi

4、ment).下面都是試驗的例子.擲一個硬幣,觀察是否正面朝上,擲兩枚骰子,觀察擲出的點數(shù)之和,在一副撲克牌中隨機抽取兩張,觀察是否得到數(shù)字相同的一對,,在概率論的語言中,試驗還是指對試驗的一次觀測或試驗結(jié)果的測量過程.,2.樣本空間,投擲一枚硬幣,用表示硬幣正面朝上,用表示硬幣反面朝上,則試驗有兩個可能的結(jié)果：和.稱和是樣本點,稱樣本點的集合為試驗的樣本空間.,投擲一枚骰子,用1表示擲出點數(shù)1,用2表示擲出點數(shù)2,,用6表示擲出點數(shù)6.試驗的可能結(jié)果是1,2,3,4,5,6.我們稱這6個數(shù)是試驗的樣本點.稱樣本點的集合是試驗的樣本空間.,為了敘述的方便和明確,下面把一個特定的試驗稱為試驗S.樣

5、本點(samplepoint):稱試驗S的可能結(jié)果為樣本點,用表示.樣本空間(samplespace):稱試驗S的樣本點構(gòu)成的集合為樣本空間,用表示.于是,3.事件,投擲一枚骰子的樣本空間是A=3表示擲出3點,則A是的子集.我們稱A是事件.擲出3點,就稱事件A發(fā)生,否則稱事件A不發(fā)生.B=2,4,6表示擲出偶數(shù)點,B是的子集,我們也稱B是事件.當擲出偶數(shù)點,稱事件B發(fā)生,否則稱事件B不發(fā)生.事件B發(fā)生和擲出偶數(shù)點是等價的.,設(shè)是試驗S的樣本空間。當中只有有限個樣本點時,稱的子集為事件.當試驗的樣本點(試驗結(jié)果)落在A中,稱事件A發(fā)生,否則稱A不發(fā)生.按照上述約定,子集符號表示A是事件.通常用大

6、寫字母A,B,C,D等表示事件.,用表示集合A的余集.則事件A發(fā)生和樣本點是等價的,事件A不發(fā)生和樣本點是等價的.,例1.將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間為,事件A表示“兩次出現(xiàn)的面不同”,可記作,A:“兩次出現(xiàn)的面不同”,或A=兩次出現(xiàn)的面不同,用樣本空間的子集可表達為,A=(H,T),(T,H),特殊的事件：,,在每次試驗中必出現(xiàn)中一個樣本點，即在每次試驗中必發(fā)生,稱為必然事件;,在每次試驗中，所出現(xiàn)的樣本點都不在中，即在每次試驗中都不發(fā)生，稱為不可能發(fā)生的事件。,,4.事件與集合,,當A,B都是事件,則都是事件.也就是說事件經(jīng)過集合運算得到的結(jié)果還是事件.我們也用AB表示.當時,也用A+B

7、表示。,5.事件的關(guān)系與運算,事件的關(guān)系與運算,（1）若AB，則稱事件B包含事件A，事件A包含于事件B，指的是事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生,（2）若AB，BA，即A=B，則稱事件A與事件B相等。,“A、B中至少有一個發(fā)生時”，“A發(fā)生或B發(fā)生”與“事件AB發(fā)生”是等價的。,當時,也用A+B表示.,“事件A和B同時發(fā)生”，“A和B都發(fā)生”與“事件AB發(fā)生”是等價的。,（5）事件AB稱為事件A與事件B的差事件。,當且僅當A發(fā)生，B不發(fā)生時，事件AB發(fā)生。,若事件A1,,An,中任意兩個事件是互不相容的，則稱這可列無窮多個事件是互不相容的。,（6）若AB=，稱為事件A與事件B互不相容。,（7）若AB=,

8、AB=，稱事件A與事件B為對立事件或逆事件。,在每次試驗中，事件A、B中必有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生。,（8）事件,稱為事件A的補事件。,當且僅當事件A不發(fā)生時，事件,發(fā)生。,事件的運算公式就是集合的運算公式,具有性質(zhì)1,2,3,4,5(見書p4),結(jié)合律,分配律,對偶公式,交換律,,對于一個具體事件，要學會用數(shù)學符號表示；反之，對于用數(shù)學符號表示的事件，要清楚其具體含義是什么.下面看一些例子,讓我們做一做練習:,是A的對立事件，,=兩件產(chǎn)品不都是合格品,也可敘述為：,=兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品,例2：從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況.記A=兩件產(chǎn)品都是合格品，,問：,=兩件產(chǎn)品中

9、至少有一個是不合格品,它又可寫為兩個互不相容事件之和,=兩件產(chǎn)品中恰有一個是不合格品兩件產(chǎn)品中都是不合格品,例3：從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況.記A=兩件產(chǎn)品都是合格品，,若記Bi=取出的第i件是合格品，i=1,2,=兩件產(chǎn)品中至少有一個是不合格品,A=B1B2,問如何用Bi表示A和？,(1)A發(fā)生,B與C不發(fā)生,設(shè)A、B、C為三個事件，用A、B、C的運算關(guān)系表示下列各事件.,或,(2)A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生,或,1.2古典概率模型,假定隨機試驗S有有限個可能的結(jié)果,并且假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認為其中某一結(jié)果出現(xiàn)的機會比另一結(jié)果出現(xiàn)的機會大或小，我

10、們只好認為所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會.,,,,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為110.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.,因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認為10個球中的某一個會比另一個更容易取得.也就是說，10個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為1/10.,我們用i表示取到i號球，i=1,2,,10.,2,且每個樣本點(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同.,=1,2,,10,,則該試驗的樣本空間為,如i=2,古典概率模型,設(shè)是試驗S的樣本空間.對于的事件A,我們用P(A)表示A發(fā)生的可能性的大小,稱P

11、(A)是事件A發(fā)生的概率,簡稱為A的概率.概率是介于0和1之間的數(shù),描述事件發(fā)生的可能性的大小.按照以上原則,如果事件A,B發(fā)生的可能性相同,則有P(A)=P(B).如果事件A發(fā)生的可能性比B發(fā)生的可能性大2倍,則有P(A)=2P(B).,用,分別表示事件A和樣本空間中樣本點的個數(shù).定義2.1.設(shè)試驗S的樣本空間是有限集合,如果的每個樣本點發(fā)生的可能性相同,則稱(2.1)為試驗S下A發(fā)生的概率,簡稱為事件A的概率.,能夠用定義2.1描述的模型稱為古典概率模型,簡稱為古典概型.,排列組合是計算古典概率的重要工具.,1.加法原理,設(shè)完成一件事有m種方式，,第一種方式有n1種方法，,第二種方式有n2

12、種方法,,；,第m種方式有nm種方法,,無論通過哪種方法都可以完成這件事，,則完成這件事總共有n1+n2++nm種方法.,則完成這件事共有,種不同的方法.,2.乘法原理,設(shè)完成一件事有m個步驟，,第一個步驟有n1種方法，,第二個步驟有n2種方法,,必須通過每一步驟,才算完成這件事，,從n個不同元素取k個（允許重復(fù)）（1kn)的不同排列總數(shù)為：,例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張,,共有4.4.4=43種可能取法,n個不同元素分為k組，各組元素數(shù)目分別為r1,r2,,rk的分法總數(shù)為,,n個元素,因為,例4,在一袋中有10個相同的球，分別標有號碼1,2,,10。從中任取一個球，求此球的號

13、碼為偶數(shù)的概率。,解：令A(yù)=球的號碼為偶數(shù),例5,在一袋中有10個相同的球，分別標有號碼1,2,,10。每次任取一個球，記錄其號碼后放回袋中，再任取下一個。這種取法叫做“有放回抽取”.今有放回抽取3個球，求這3個球的號碼均為偶數(shù)的概率.,解：令A(yù)=3個球的號碼均為偶數(shù),注意此處為有放回抽取.,在一袋中有10個相同的球，分別標有號碼1,2,,10。每次任取一個球，記錄其號碼后不放回袋中，再任取下一個。這種取法叫做“不放回抽取”。今不放回抽取3個球，求這3個球的號碼均為偶數(shù)的概率。,例6,解：令A(yù)=3個球的號碼均為偶數(shù),注意此處為無放回抽取,例7,在一袋中有10個相同的球，分別標有號碼1,2,,1

14、0。今任取兩個球，求取得的第一個球號碼為奇數(shù)，第二個球的號碼為偶數(shù)的概率。,,解：設(shè)A=“取得的第一個球號碼為奇數(shù)，第二個球的號碼為偶數(shù)”,注意：第一個球是奇數(shù)，且第二個球是偶數(shù)，故有順序要求，要用排列去做.,例8,設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件。今從中任取n（假定nN-M）件，求次品恰有k件的概率(0kmin(M,n)),這是一種無放回抽樣.,解：令B=恰有k件次品,P(B)=？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,次品,正品,,M件次品,N-M件正品,古典概率的基本性質(zhì),設(shè)E是古典概型，其樣本空間中樣本點個數(shù),A，A1，A2，，An是試驗S中事件,則

15、有,0P（A）1,P（）=1，P（）=0,若A1，A2，，An是互不相容的事件，則有,推論,例9,設(shè)有n個球，每個球都以同樣的概率1/N落入到N個格子(Nn)的每一個格子，試求(1).某指定的n個格子中各有一球的概率.(2).任何n個格子中各有一球的概率.,答案:(1)(2),生日問題,一個50人的班級中，求至少有兩個人生日相同的概率.(可參見p7例2.7),提示：A=(50人中至少有兩個人生日相同)Ashortcut:故所求概率為:P(50人中沒有兩個人生日相同),人數(shù)至少有兩人同生日的概率200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994,關(guān)于生日問題有如下計算數(shù)據(jù):,在概率論發(fā)展早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個樣本點的隨機試驗是不夠的，還必須考慮試驗結(jié)果是無窮多個的情形，這中間最簡單的一類是試驗結(jié)果是無窮多個，而又有某種“等可能”的情形,如,幾何概率,,定義,向任一可度量區(qū)域G內(nèi)投一點，如果所投的點落在G中任意可度量區(qū)域g內(nèi)的可能性與g的度量成正比，而與g的位置和形狀無關(guān)，則稱這個隨機試驗為幾何型隨機試驗?；蚝喎Q為幾何概型。,概率計算:P(A)=A的度量/S的度量,作業(yè)：1.1,1.2,1.4,1.5,