經(jīng)濟數(shù)學基礎課后答案小抄2018電大國家開放大學?？聘怕式y(tǒng)計第三分冊.doc

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1、141 高等學校財經(jīng)類專業(yè)核心課程教材 經(jīng)濟數(shù)學基礎 概率統(tǒng)計習題解答 四川出版集團 四川人民出版社 2001年成都 習　題　一 1.寫出下列事件的樣本空間： (1) 把一枚硬幣拋擲一次； (2) 把一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次； (3) 擲一枚硬幣，直到首次出現(xiàn)正面為止； (4) 一個庫房在某一個時刻的庫存量(假定最大容量為M). 解　(1) ={正面，反面}{正，反} (2) ={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) ={(正

2、)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) ={x；0 ≤x≤ m} 2.擲一顆骰子的試驗，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)，事件A＝“偶數(shù)點”， B＝“奇數(shù)點”，C＝“點數(shù)小于5”，D＝“小于5的偶數(shù)點”，討論上述各事件間的關系. 解　 A與B為對立事件，即B＝；B與D互不相容；AD，CD. 3. 事件Ai表示某個生產(chǎn)單位第i車間完成生產(chǎn)任務，i＝1，2，3，B表示至少有兩個車間完成生產(chǎn)任務，C表示最多只有兩個車間完成生產(chǎn)任務，說明事件及B－C的含義，并且用Ai(i＝1，2，3)表示出來. 解　表示最多有一個車間完成生產(chǎn)任務，即至少有兩個車間沒有完成生產(chǎn)任務. B－C表示三個車間

3、都完成生產(chǎn)任務 圖1－1 4. 如圖1－1，事件A、B、C都相容，即ABC≠Φ，把事件A＋B，A＋B＋C，AC＋B，C－AB用一些互不相容事件的和表示出來. 解　 5.兩個事件互不相容與兩個事件對立的區(qū)別何在，舉例說明. 解　兩個對立的事件一定互不相容，它們不可能同時發(fā)生，也不可能同時不發(fā)生；兩個互不相容的事件不一定是對立事件，它們只是不可能同時發(fā)生，但不一定同時不發(fā)生. 在本書第6頁例2中A與D是對立事件，C與D是互不相容事件. 6.三個事件A、B、C的積是不可能事件，即ABC＝Φ，問這三個事件是否一定互不相容?畫圖說明. 解　不一定. A、B

4、、C三個事件互不相容是指它們中任何兩個事件均互不相容，即兩兩互不相容.如圖1－2，事件ABC＝Φ，但是A與B相容. 圖1－2 7. 事件A與B相容，記C＝AB，D＝A+B，F(xiàn)＝A－B. 說明事件A、C、D、F的關系. 解 由于ABAA+B，A－BAA+B，AB與A－B互不相容，且A＝AB＋(A－B). 因此有 A＝C+F，C與F互不相容， DAF，AC. 8. 袋內(nèi)裝有5個白球，3個黑球，從中一次任取兩個，求取到的兩個球顏色不同的概率. 解　記事件A表示“取到的兩個球顏色不同”. 則有利于事件A的樣本點數(shù)目＃A＝.而組成試驗的樣本點總數(shù)為＃Ω＝，由古典概率公式有 P(A)＝

5、(其中＃A，＃Ω分別表示有利于A的樣本點數(shù)目與樣本空間的樣本點總數(shù)，余下同) 9. 計算上題中取到的兩個球中有黑球的概率. 解　設事件B表示“取到的兩個球中有黑球”則有利于事件的樣本點數(shù)為＃. 10. 拋擲一枚硬幣，連續(xù)3次，求既有正面又有反面出現(xiàn)的概率. 解　設事件A表示“三次中既有正面又有反面出現(xiàn)”, 則表示三次均為正面或三次均為反面出現(xiàn). 而拋擲三次硬幣共有8種不同的等可能結果，即＃Ω＝8，因此 11. 10把鑰匙中有3把能打開一個門鎖，今任取兩把，求能打開門鎖的概率. 解　設事件A表示“門鎖能被打開”. 則事件發(fā)生就是取的兩把鑰匙都不能打開門鎖. 從9題－1

6、1題解中可以看到，有些時候計算所求事件的對立事件概率比較方便. 12. 一副撲克牌有52張，不放回抽樣，每次一張，連續(xù)抽取4張，計算下列事件的概率： (1)四張花色各異； (2)四張中只有兩種花色. 解　設事件A表示“四張花色各異”；B表示“四張中只有兩種花色”. 13. 口袋內(nèi)裝有2個伍分、3個貳分，5個壹分的硬幣共10枚，從中任取5枚，求總值超過壹角的概率. 解　設事件A表示“取出的5枚硬幣總值超過壹角”. 14. 袋中有紅、黃、黑色球各一個，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率： A＝“三次都是紅球” “全紅”，B＝“全白”， C＝

7、“全黑”，D＝“無紅”，E＝“無白”， F＝“無黑”，G＝“三次顏色全相同”， H＝“顏色全不相同”，I＝“顏色不全相同”. 解?。＆福?3＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1， ＃D＝＃E＝＃F＝23＝8， ＃G＝＃A＋＃B＋＃C＝3， ＃H＝3?。?，＃I＝＃Ω－＃G＝24 15. 一間宿舍內(nèi)住有6位同學，求他們中有4個人的生日在同一個月份的概率. 解　設事件A表示“有4個人的生日在同一個月份”. ＃Ω＝126，＃A＝ 16. 事件A與B互不相容，計算P. 解　由于A與B互不相容，有AB＝Φ，P(AB)＝0 17. 設事件BA，求證P(B)≥P(A）. 證

8、　∵BA ∴P(B-A)＝P(B) - P(A) ∵P(B-A)≥0 ∴P(B)≥P(A) 18. 已知P(A)＝a，P(B)＝b，ab≠0 (b＞0.3a)， P(A－B)＝0.7a，求P(B+A)，P(B-A)，P(＋). 解　由于A－B與AB互不相容，且A＝(A-B)＋AB，因此有 P(AB)＝P(A)-P(A-B)＝0.3a P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7a＋b P(B-A)＝P(B)-P(AB)＝b-0.3a P(＋)＝1-P(AB)＝1-0.3a 19. 50個產(chǎn)品中有46個合格品與4個廢品，從中一次抽取三個，計算取到廢品的概率. 解　

9、設事件A表示“取到廢品”，則表示沒有取到廢品，有利于事件的樣本點數(shù)目為＃＝，因此 P(A)＝1-P()＝1- 　　＝0.2255 20. 已知事件BA，P(A)＝lnb ≠ 0，P(B)＝lna，求a的取值范圍. 解　因BA，故P(B)≥P(A)，即lna≥lnb,a≥b，又因P(A)＞0，P(B)≤1，可得b＞1，a≤e，綜上分析a的取值范圍是： 1＜b≤a≤e 21. 設事件A與B的概率都大于0，比較概率P(A)，P(AB)， P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等號把它們連接起來). 解　由于對任何事件A，B，均有 ABAA+B 且P(A+B)＝P(A)＋P(

10、B)-P(AB)，P(AB)≥0，因此有 P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)＋P(B) 22. 一個教室中有100名學生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(設一年以365天計算). 解　設事件A表示“100名學生的生日都不在元旦”，則有利于A的樣本點數(shù)目為＃A＝364100，而樣本空間中樣本點總數(shù)為 ＃Ω＝365100，所求概率為 　 = 0.2399 23. 從5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有兩只手套配成一副的概率. 解　設事件A表示“取出的四只手套至少有兩只配成一副”，則表示“四只手套中任何兩只均不能配成一副”. 24. 某單位有92％

11、的職工訂閱報紙，93％的人訂閱雜志，在不訂閱報紙的人中仍有85％的職工訂閱雜志，從單位中任找一名職工求下列事件的概率： (1)該職工至少訂閱一種報紙或期刊； (2)該職工不訂閱雜志，但是訂閱報紙. 解　設事件A表示“任找的一名職工訂閱報紙”，B表示“訂閱雜志”，依題意P(A)＝0.92，P(B)＝0.93，P(B｜)＝0.85 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)＋P()P(B｜) ＝0.92＋0.080.85＝0.988 P(A)＝P(A＋B)-P(B)＝0.988－0.93＝0.058 25. 分析學生們的數(shù)學與外語兩科考試成績，抽查一名學生，記事件A表示數(shù)學成績優(yōu)秀，

12、B表示外語成績優(yōu)秀，若P(A)＝P(B)＝0.4，P(AB)＝0.28，求P(A｜B)，P(B｜A)，P(A＋B). 解　P(A｜B)＝ P(B｜A)＝ P(A＋B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)＝0.52 26. 設A、B是兩個隨機事件. 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1， P(A｜B)＋P(｜)＝1. 求證P(AB)＝P(A)P(B). 證 ∵P ( A｜)＋P (｜)＝1且P ( A｜B )＋P(｜)＝1 ∴P ( A｜B )＝P (A｜) P(AB)［1-P(B)］＝P( B)［P( A)-P( AB)］ 整理可得 P(AB)＝P( A) P( B) 2

13、7. 設A與B獨立，P( A)＝0.4，P( A＋B)＝0.7，求概率P (B). 解　P( A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P( A)＋P() P( B) 　0.7＝0.4＋0.6P( B ) 　P( B )＝0.5 28. 設事件A與B的概率都大于0，如果A與B獨立，問它們是否互不相容，為什么? 解　因P ( A )，P ( B )均大于0，又因A與B獨立，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A與B不可能互不相容. 29. 某種電子元件的壽命在1000小時以上的概率為0.8，求3個這種元件使用1000小時后，最多只壞了一個的概率. 解　設事件Ai表示

14、“使用1000小時后第i個元件沒有壞”， i＝1，2，3，顯然A1，A2，A3相互獨立，事件A表示“三個元件中最多只壞了一個”，則A＝A1A2A3＋A2A3＋A1A3＋A1A2，上面等式右邊是四個兩兩互不相容事件的和，且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8 P( A)＝ ＝0.83＋30.820.2 ＝0.896 30. 加工某種零件，需經(jīng)過三道工序，假定第一、二、三道工序的廢品率分別為0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出現(xiàn)廢品與其他各道工序無關，求零件的合格率. 解　設事件A表示“任取一個零件為合格品”，依題意A表示三道工序都合格. P(A)＝(1－0.3)(1

15、－0.2)(1－0.2)＝0.448 31. 某單位電話總機的占線率為0.4，其中某車間分機的占線率為0.3，假定二者獨立，現(xiàn)在從外部打電話給該車間，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m為任何正整數(shù)). 解　設事件Ai表示“第i次能打通”，i＝1，2，…，m，則 P(A1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P(A2)＝0.58 0.42＝0.2436 P(Am)＝0.58m－1 0.42 32. 一間宿舍中有4位同學的眼鏡都放在書架上，去上課時，每人任取一副眼鏡，求每個人都沒有拿到自己眼鏡的概率. 解　設Ai表示“第i人拿到自己眼鏡”，

16、i＝1,2,3,4. P ( Ai )＝，設事件B表示“每個人都沒有拿到自己的眼鏡”. 顯然則表示“至少有一人拿到自己的眼鏡”. 且＝A1＋A2＋A3＋A4. P()＝P(A1＋A2＋A3＋A4) ＝ P(AiAj)P(Ai)P(Aj｜Ai) = P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj｜Ai)P(Ak｜AiAj) =（1≤i＜j＜k≤4） P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(A4｜A1A2A3) = 33. 在1，2，…，3000這3000個數(shù)中任取一個數(shù)，設Am＝“該數(shù)可以被m整除”，m＝2，3，求概率P(A2A3)，P(

17、A2＋A3)，P(A2－A3). 解　依題意P(A2)＝，P(A3)＝ P(A2A3)＝P(A6)＝ P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3) ＝ P(A2－A3)＝P(A2)－P(A2A3)＝ 34. 甲、乙、丙三人進行投籃練習，每人一次，如果他們的命中率分別為0.8，0.7，0.6，計算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中. 解　設事件A、B、C分別表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，顯然A、B、C相互獨立.設Ai表示“三人中有i人投中”，i＝0,1,2,3,依題意， 0.20.30.4

18、0.024 P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.80.70.60.336 P(A2)=P(AB)＋P(AC)＋P(BC) =0.80.70.4＋0.80.30.6＋0.20.70.60.452 (1) P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)－P(A3) ＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188 (2) P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P(A＋B＋C)＝P()＝1－P (A0)＝0.976 35. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，假定他們的

19、命中率分別為0.4及0.5，問誰先投中的概率較大，為什么? 解　設事件A2n-1B2n分別表示“甲在第2n－1次投中”與“乙在第2n次投中”，顯然A1，B2，A3，B4，…相互獨立.設事件A表示“甲先投中”. 　　　　 計算得知P(A)＞0.5，P()＜0.5，因此甲先投中的概率較大. 36. 某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京學生中，以英語為第一外語的占80％，而京外學生以英語為第一外語的占95％，今從全校新生中任選一名學生，求該生以英語為第一外語的概率. 解　設事件A表示“任選一名學生為北京考生”，B表示“任選一名學生，以英語為第一外語

20、”. 依題意P(A)＝0.3，P()＝0.7，P(B｜A)＝0.8，P(B｜)＝0.95. 由全概率公式有 P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P(B｜) ＝0.30.8＋0.70.95＝0.905 37. A地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南、北、中三個行政小區(qū)，其人口比為9 : 7 : 4，據(jù)統(tǒng)計資料，甲種疾病在該地三個小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為4‰，2‰，5‰，求A地的甲種疾病的發(fā)病率. 解　設事件A1，A2，A3分別表示從A地任選一名居民其為南、北、中行政小區(qū)，易見A1，A2，A3兩兩互不相容，其和為Ω.設事件B表示“任選一名居民其患有甲種疾病”，依題意： P(A1)＝0.45，P

21、(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2， P(B｜A1)＝0.004，P(B｜A2)＝0.002，P(B｜A3)＝0.005 ＝ ＝ 0.45 0.004 + 0.35 0.002 + 0.2 0.005 ＝0.0035 38. 一個機床有三分之一的時間加工零件A，其余時間加工零件B，加工零件A時，停機的概率為0.3，加工零件B時停機的概率為0.4，求這個機床停機的概率. 解　設事件A表示“機床加工零件A”，則表示“機床加工零件B”，設事件B表示“機床停工”. 　　　　 39. 有編號為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3個口袋，其中Ⅰ號袋內(nèi)裝有兩個1號球，1個2號球與1個3號球，Ⅱ號袋

22、內(nèi)裝有兩個1號球和1個3號球，Ⅲ號袋內(nèi)裝有3個1號球與兩個2號球，現(xiàn)在先從Ⅰ號袋內(nèi)隨機地抽取一個球，放入與球上號數(shù)相同的口袋中，第二次從該口袋中任取一個球，計算第二次取到幾號球的概率最大，為什么? 解　設事件Ai表示“第一次取到i號球”，Bi表示第二次取到i號球，i＝1，2，3.依題意，A1，A2，A3構成一個完全事件組. 應用全概率公式可以依次計算出. 因此第二次取到1號球的概率最大. 40. 接37題，用一種檢驗方法，其效果是：對甲種疾病的漏查率為5％(即一個甲種疾病患者，經(jīng)此檢驗法未查出的概率為5％)；對無甲種疾病的人用此檢驗法誤診為甲種疾病患者的概率為1％，在一次

23、健康普查中，某人經(jīng)此檢驗法查為患有甲種疾病，計算該人確實患有此病的概率. 解　設事件A表示“受檢人患有甲種疾病”，B表示“受檢人被查有甲種疾病”，由37題計算可知P(A)＝0.0035，應用貝葉斯公式 　　　 　　　 41. 甲、乙、丙三個機床加工一批同一種零件，其各機床加工的零件數(shù)量之比為5 : 3 : 2，各機床所加工的零件合格率，依次為94％，90％，95％，現(xiàn)在從加工好的整批零件中檢查出一個廢品，判斷它不是甲機床加工的概率. 解　設事件A1，A2，A3分別表示“受檢零件為甲機床加工”，“乙機床加工”，“丙機床加工”，B表示“廢品”，應用貝葉斯公式有 　　　　

24、 42. 某人外出可以乘坐飛機、火車、輪船、汽車4種交通工具，其概率分別為5％，15％，30％，50％，乘坐這幾種交通工具能如期到達的概率依次為100％，70％，60％與90％，已知該旅行者誤期到達，求他是乘坐火車的概率. 解　設事件A1，A2，A3，A4分別表示外出人“乘坐飛機”，“乘坐火車”，“乘坐輪船”，“乘坐汽車”，B表示“外出人如期到達”. 　　　　 =0.209 43. 接39題，若第二次取到的是1號球，計算它恰好取自Ⅰ號袋的概率. 解　39題計算知P(B1)＝，應用貝葉斯公式 44. 一箱產(chǎn)品100件，其次品個數(shù)從0到2是等可能的，開

25、箱檢驗時，從中隨機地抽取10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收，若已知該箱產(chǎn)品已通過驗收，求其中確實沒有次品的概率. 解　設事件Ai表示一箱中有i件次品，i＝0, 1, 2. B表示“抽取的10件中無次品”，先計算P ( B ) 45. 設一條昆蟲生產(chǎn)n個卵的概率為 n=0, 1, 2, … 其中λ＞0，又設一個蟲卵能孵化為昆蟲的概率等于p(0＜p＜1). 如果卵的孵化是相互獨立的，問此蟲的下一代有k條蟲的概率是多少? 解　設事件An＝“一個蟲產(chǎn)下幾個卵”，n＝0，1，2….BR＝“該蟲下一代有k條蟲”，k＝0，1，….依題意 其中q=1－p. 應

26、用全概率公式有 由于，所以有  習　題　二 1. 已知隨機變量X服從0－1分布，并且P{X≤0}＝0.2，求X的概率分布. 解　X只取0與1兩個值，P{X＝0}＝P{X≤0}－P{X＜0}＝0.2，P{X＝1}＝1－P{X＝0}＝0.8. 2. 一箱產(chǎn)品20件，其中有5件優(yōu)質(zhì)品，不放回地抽取，每次一件，共抽取兩次，求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)X的概率分布. 解　X可以取0, 1, 2三個值. 由古典概型公式可知 依次計算得X的概率分布如下表所示： X 0 1 2 P 3. 上題中若采用重復抽取，其他條件不變

27、，設抽取的兩件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品為X件，求隨機變量X的概率分布. 解　X的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到優(yōu)質(zhì)品的概率是1/4，取到非優(yōu)質(zhì)品的概率是3/4,且各次抽取結果互不影響，應用伯努利公式有 4. 第2題中若改為重復抽取，每次一件，直到取得優(yōu)質(zhì)品為止，求抽取次數(shù)X的概率分布. 解　X可以取1, 2, …可列個值. 且事件{X = n}表示抽取n次，前n－1次均未取到優(yōu)質(zhì)品且第n次取到優(yōu)質(zhì)品，其概率為. 因此X的概率分布為 5. 盒內(nèi)有12個乒乓球，其中9個是新球，3個為舊球，采取不放回抽取，每次一個直到取得新球為止，求下列隨機變量的概率分布. (1)抽取次數(shù)

28、X； (2)取到的舊球個數(shù)Y. 解　(1)X可以取1,2,3,4各值. (2) Y可以取0, 1, 2, 3各值 . 6. 上題盒中球的組成不變，若一次取出3個，求取到的新球數(shù)目X的概率分布. 解　X可以取0, 1, 2, 3各值. 7. 已知P{X＝n}＝pn，n＝1, 2, 3, …, 求p的值. 解　根據(jù),有 解上面關于p的方程，得p＝0.5. 8. 已知P{X＝n}=pn， n＝2, 4, 6, …，求p的值. 解　 解方程，得p=/2 9. 已知P{X＝n}=cn, n=1, 2, …, 100, 求c的值.

29、 解　 解得 c＝1/5050 . 10. 如果pn＝cn＿2，n=1, 2, …, 問它是否能成為一個離散型概率分布，為什么? 解 由于級數(shù)收斂, 若記=a,只要取, 則有=1, 且pn＞0. 所以它可以是一個離散型概率分布. 11. 隨機變量X只取1, 2, 3共三個值，其取各個值的概率均大于零且不相等并又組成等差數(shù)列，求X的概率分布. 解　設P{X＝2}＝a，P{X＝1}＝a－d, P{X=3}=a+d. 由概率函數(shù)的和為1，可知a=, 但是a－d與a+d均需大于零, 因此｜d｜＜, X的概率分布為 X 1 2 3 P －d +d 其中d應滿足條件：0

30、＜｜d｜＜ 12. 已知,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常數(shù)c. 解　 由于, 所以有 解得 13. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，直到有一人投中為止，假定甲、乙二人投籃的命中率分別為0.4及0.5，求： (1)二人投籃總次數(shù)Z的概率分布； (2)甲投籃次數(shù)X的概率分布； (3)乙投籃次數(shù)Y的概率分布. 解　設事件Ai表示在第i次投籃中甲投中，j表示在第j次投籃中乙投中，i=1, 3, 5, …, j=2, 4, 6,…,且A1, B2, A3, B4，…相互獨立. (1) (0.60.5)0.4 　　　　　　　= 0.

31、4(0.3) k=1, 2, … 　　　　0.50.6(0.60.5)=0.3k k=1, 2, … (2) (3) 14. 一條公共汽車路線的兩個站之間，有四個路口處設有信號燈，假定汽車經(jīng)過每個路口時遇到綠燈可順利通過，其概率為0.6，遇到紅燈或黃燈則停止前進，其概率為0.4，求汽車開出站后，在第一次停車之前已通過的路口信號燈數(shù)目X的概率分布(不計其他因素停車). 解　X可以取0,

32、1,2,3,4. P{X＝0}＝0.4　　　　P{X＝1}＝0.60.4＝0.24 P{X＝2}＝0.620.4＝0.144 P{X＝3}＝0.630.4＝0.0864 P{X＝4}＝0.64＝0.1296 15. 問f(x)是否為一個概率密度函數(shù)，為什么?如果 (1) 解 在［0,］與［0,π］上，sinx≥0,但是 而在上,sinx≤0.因此只有(1)中的a,b可以使f (x)是一個概率密度函數(shù). 16. 其中c＞0，問f(x)是否為密度函數(shù)，為什么? 解　易見對任何x∈(－∞,＋∞),f(x)≥0，又 f(x)是一個密度函數(shù). 17. 問f(x)是否為

33、密度函數(shù)，若是，確定a的值；若不是，說明理由. 解　如果f(x)是密度函數(shù)，則f(x)≥0，因此a≥0，但是，當a≥0時， 由于不是1，因此f(x)不是密度函數(shù). 18. 設隨機變量X～f(x) 確定常數(shù)a的值，如果P{a＜x＜b}＝0.5，求b的值. 解　 解方程=1 得　a= 0 解關于b的方程： arctanb=0.5 得　b=1. 19. 某種電子元件的壽命X是隨機變量，概率密度為 3個這種元件串聯(lián)在一個線路中，計算這3個元件使用了150小時后仍能使線路正常工作的概率. 解　串聯(lián)線路正常工作的充分必要條件是3個元件都能正常工作. 而三個元件的壽

34、命是三個相互獨立同分布的隨機變量，因此若用事件A表示“線路正常工作”，則 20. 設隨機變量X～f(x)，f(x)＝Ae－|x|，確定系數(shù)A；計算P{|X|≤1}. 解　 解得　A＝ 　　　　　　　 21. 設隨機變量Y服從［0,5］上的均勻分布，求關于x的二次方程4x2＋4xY+Y+2=0有實數(shù)根的概率. 解　4x2+4xY+Y+2=0. 有實根的充分必要條件是 △＝b2－4ac=16Y2－16(Y+2)=16Y2－16Y－32≥0 設事件P(A)為所求概率.則 　　 =0.6 22. 設隨機變量X～f(x)， 確定常數(shù)c，計算 解　 c=

35、 23. 設隨機變量X的分布函數(shù)F(x)為 確定系數(shù)A，計算，求概率密度f(x). 解　連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(1)＝ F(1－0)，有A＝1. 24. 求第20題中X的分布函數(shù)F(x). 解　 當t≤0時， 當t＞0時， 　　　　　 25. 函數(shù)(1+x2)－1可否為連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)，為什么? 解　不能是分布函數(shù)，因F(－∞)＝1≠0. 26. 隨機變量X～f(x)，并且,確定a的值；求分布函數(shù)F(x)；計算. 解　 因此a=1 27. 隨機變量X的分布函數(shù)F(x)為： 確

36、定常數(shù)A的值，計算. 解　由F(2＋0)＝F(2)，可得 0.75 28. 隨機變量X～f(x)，f(x)＝確定A的值；求分布函數(shù)F(x). 解　 　　　 因此　　A＝， 　　　　　 29. 隨機變量X～f(x)， 其他 確定a的值并求分布函數(shù)F(x). 解　 因此，a=π 當0＜x＜π時， 30. 隨機變量X的分布函數(shù)為 求X的概率密度并計算. 解　當x≤0時，X的概率密度f(x)＝0； 當x＞0時，f(x)＝F′(x) 　　　　　　　　 31. 隨機變量X服從參數(shù)為0.7的0－1分布，求X2，X2－2X的概率分布.

37、 解　X2仍服從0－1分布，且P{X2＝0}＝P{X＝0}＝0.3，P{X2＝1}＝P{X＝1}＝0.7 X2－2X的取值為－1與0,P{X2－2X＝0} ＝P{X＝0}＝0.3 P{X2－2X＝－1}＝1－P{X＝0}＝0.7 32. 已知P{X＝10n}＝P{X＝10-n}＝ Y=lgX，求Y的概率分布. 解　Y的取值為1,2,… P{Y=n}=P{lgX=n}=P{X=10n}= P{Y=－n}=P{lgX=－n}=P{x=10-n}＝ n＝1,2,… 33. X服從［a , b］上的均勻分布，Y=ax+b (a≠0)，求證Y也服從均勻分布. 證　設Y的概率密度為

38、fY(y)，X的概率密度為fX(x)，只要a≠0，y=ax+b 都是x的單調(diào)函數(shù). 當a＞0時，Y的取值為［a2+b , ab+b］, 當時，fY(y)=0. 類似地，若a＜0，則Y的取值為［ab+b,a2+b］ 因此，無論a＞0還是a＜0，ax+b均服從均勻分布. 34. 隨機變量X服從［0,］上的均勻分布Y=cosX,求Y的概率密度fY(y). 解　y=cosx在［0, ］上單調(diào)，在(0,1)上，h(y)=x=arccosy h′(y)=, fx(x)=, 0≤x≤.因此 35. 隨機變量X服從(0,1)上的均勻分布，Y=ex,Z=｜lnX｜，分別求隨機變

39、量Y與Z的概率密度fY(y)及fZ(z). 解　y=ex在(0,1)內(nèi)單調(diào),x=lny可導，且x′y=,fX(x)=1 0＜x＜1,因此有 在(0,1)內(nèi)lnx＜0｜lnx｜=-lnx單調(diào)，且 x=e，x′z＝－e，因此有 36. 隨機變量X～f(x)， Y=,Z=X2,分別計算隨機變量Y與Z的概率密度fy(y)與fZ(z). 解　當x＞0時，y=單調(diào)，其反函數(shù)為x=y2,x′y=2y 當x＞0時z＝x2也是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)為x=,x′z= 37.隨機變量X～f(x)，當x≥0時,,Y=arctanX, Z=,分別計算隨機變量Y與Z的概率密度fY(y)

40、與fz(z). 解　由于y=arctanx是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)x=tany,x′y=sec2y在內(nèi)恒不為零，因此，當0＜y＜時， 即Y服從區(qū)間(0,)上的均勻分布. z=在x＞0時也是x的單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)x=,x′z=. 因此當z＞0時， 即Z=與X同分布. 38. 一個質(zhì)點在半徑為R，圓心在原點的圓的上半圓周上隨機游動.求該質(zhì)點橫坐標X的密度函數(shù)fX(x). 解　如圖，設質(zhì)點在圓周位置為M，弧的長記為L，顯然L是一個連續(xù)型隨機變量，L服從［0，πR］上的均勻分布. 圖2-1 M點的橫坐標X也是一個隨機變量，它是弧長L的函數(shù)，且 X＝Rcosθ＝Rcos

41、 函數(shù)x=Rcosl/R是l的單調(diào)函數(shù)(0＜l＜πR),其反函數(shù)為 l＝Rarccos 當－R＜x＜R時，L′x≠0，此時有 當x≤－R或x≥R時，fX(x)＝0. 39. 計算第2,3,5,6,11各題中的隨機變量的期望. 解　根據(jù)第2題中所求出的X概率分布，有 亦可從X服從超幾何分布，直接計算 在第3題中 亦可從X服從二項分布(2，)，直接用期望公式計算： 在第5題中 (1) (2) 在第6題中， 在第11題中， 40. P{X=n}=,n=1,2,3,4,5,確定C的值并計算EX. 解　 41. 隨機變量X只?。?,0

42、,1三個值，且相應概率的比為1 : 2 : 3，計算EX. 解　設P{X＝－1}＝a，則P{X＝0}＝2a, P{X＝1} ＝3a(a＞0)，因a+2a+3a=1,故a＝1/6 42. 隨機變量X服從參數(shù)為0.8的0－1分布，通過計算說明EX2是否等于(EX)2? 解　EX＝P{X＝1}＝0.8，(EX)2＝0.64 EX2＝10.8＝0.8＞(EX)2 43. 隨機變量X～f(x)，f(x)＝0.5e-|x|，計算EXn，n為正整數(shù). 解　當n為奇數(shù)時，是奇函數(shù)，且積分收斂，因此 當n為偶數(shù)時， 44. 隨機變量X～f(x)， 其他 計算E

43、Xn(n為正整數(shù)). 解　 　　 　　　　 45. 隨機變量X～f(x)， 其他 b,c均大于0，問EX可否等于1，為什么? 解　 而 由于方程組 無解，因此EX不能等于1. 46. 計算第6，40各題中X的方差DX . 解　在第6題中，從第39題計算知EX＝， DX＝EX2－(EX)2≈0.46 在第40題中，已計算出EX＝, = 　　DX=EX2-(EX)2≈1.77 47. 計算第23，29各題中隨機變量的期望和方差. 解　在第23題中，由于f(x)＝（0＜x＜1）,因此 DX=EX2－(EX)2= 在第29題中，由

44、于f(x)＝ (0＜x＜π),因此 DX＝EX2－(EX)2= 48. 計算第34題中隨機變量Y的期望和方差. 解　EY= EY2= DY= 49. 已知隨機變量X的分布函數(shù)F(x)為： F(x)= 計算EX與DX. 解　依題意，X的密度函數(shù)f(x)為： 解　EX＝ EX2= DX= 50. 已知隨機變量X的期望EX＝μ，方差DX＝σ2，隨機變量Y=, 求EY和DY. 解　EY=(EX－μ)＝0 DY= =1 51. 隨機變量Yn～B(n,),分別就n=1,2,4,8,列出Yn的概率分布表，并畫出概率函數(shù)圖. 解　 Y1 0 1

45、 Y2 0 1 2 P P Y3 0 1 2 3 P Y4 0 1 2 3 4 P Y8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 6561a 17496a 20412a 13608a 5670a 1512a 252a 24a a 其中a=1/65536.圖略. 52. 設每次試驗的成功率為0.8，重復試驗4次，失敗次數(shù)記為X，求X的概率分布. 解　X可以取值0,1, 2, 3, 4 .相應概率為 P(X＝m)＝ (m=0, 1, 2,

46、3,4) 計算結果列于下表 X 0 1 2 3 4 P 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016 53. 設每次投籃的命中率為0.7，求投籃10次恰有3次命中的概率；至少命中3次的概率. 解　記X為10次投籃中命中的次數(shù)，則 X～B(10,0.7). =1－0.310－100.70.39－450.720.38 ≈0.9984 54．擲四顆骰子，求“6點”出現(xiàn)的平均次數(shù)及“6點”出現(xiàn)的最可能（即概率最大）次數(shù)及相應概率. 解　擲四顆骰子，記“6點”出現(xiàn)次數(shù)為X，則X～B（4，）. EX=np=

47、 由于np+p=，其X的最可能值為［np+p］=0 若計算，顯然 概率更小. 55．已知隨機變量X～B（n,p），并且EX=3，DX=2，寫出X的全部可能取值，并計算. 解　根據(jù)二項分布的期望與方差公式，有 解方程，得q=，p=，n=9. X的全部可能取值為0, 1, 2, 3, …, 9 . =1－≈0.9999 56．隨機變量X～B（n，p），EX=0.8，EX2=1.28，問X取什么值的概率最大，其概率值為何? 解　由于DX=EX2－(EX)2=0.64, EX=0.8, 即 解得　q=0.8，p=0.2，n=4. 由于np+p=1，因此X取0與取1

48、的概率最大，其概率值為 57．隨機變量X～B（n,p），Y=eaX，計算隨機變量Y的期望EY和方差DY. 解　隨機變量Y是X的函數(shù)，由于X是離散型隨機變量，因此Y也是離散型隨機變量，根據(jù)隨機變量函數(shù)的期望公式，有 58. 從一副撲克牌（52張）中每次抽取一張，連續(xù)抽取四次，隨機變量X，Y分別表示采用不放回抽樣及有放回抽樣取到的黑花色張數(shù)，分別求X，Y的概率分布以及期望和方差. 解　X服從超幾何分布，Y服從二項分布B（4，）. 具體計算結果列于下面兩個表中. X 0 1 2 3 4 P 46/833 208/833 325/833 208/833

49、 46/833 Y 0 1 2 3 4 P 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 59. 隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，查表寫出概率并與上題中的概率分布進行比較. 0 1 2 3 4 P 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 60．從廢品率是0.001的100000件產(chǎn)品中，一次隨機抽取500件，求廢品率不超過0.01的概率. 解 設500件中廢品件數(shù)為X，它是一個隨機變量且X服從N=100000，=100，n=500的超幾何分布.由于n相對于N較小，因此它可以用二項分布B（500

50、，0.001）近似.又因在二項分布B（500，0.001）中，n=500比較大，而p=0.001非常小，因此該二項分布又可用泊松分布近似，其分布參數(shù)λ=np=0.5. 61.某種產(chǎn)品每件表面上的疵點數(shù)服從泊松分布，平均每件上有0.8個疵點，若規(guī)定疵點數(shù)不超過1個為一等品，價值10元；疵點數(shù)大于1不多于4為二等品，價值8元；4個以上者為廢品，求： （1）產(chǎn)品的廢品率； （2）產(chǎn)品價值的平均值 解 設X為一件產(chǎn)品表面上的疵點數(shù)目， （1） （2）設一件產(chǎn)品的產(chǎn)值為Y元，它可以取值為0，8，10. 62．設書籍中每頁的印刷錯誤服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某 本書上，有一

51、個印刷錯誤的頁數(shù)與有2個印刷錯誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率. 解 設一頁書上印刷錯誤為X，4頁中沒有印刷錯誤的頁數(shù)為Y，依題意， 即 解得λ=2，即X服從λ=2的泊松分布. 顯然Y～B 63．每個糧倉內(nèi)老鼠數(shù)目服從泊松分布，若已知一個糧倉內(nèi)，有一只老鼠的概率為有兩只老鼠概率的兩倍，求糧倉內(nèi)無鼠的概率. 解 設X為糧倉內(nèi)老鼠數(shù)目，依題意 解得λ=1. 64．上題中條件不變，求10個糧倉中有老鼠的糧倉不超過兩個的概率. 解 接上題，設10個糧倉中有老鼠的糧倉數(shù)目為Y，則Y～B（10，p），其中 65．設隨

52、機變量X服從上的均勻分布，計算E(2X)，D（2X），. 解 EX=2.5，DX= E(2X)=5，D(2X)=4DX=， 66．隨機變量X服從標準正態(tài)分布，求概率 P. 解 67．隨機變量X服從標準正態(tài)分布，確定下列各概率等式中的a的數(shù)值： （1）；（2） （3）（4） 解?。?），查表得a=1.28 （2），得Φ（a）=0.95， 查表得a=1.64 （3），查表得a =2 （4），得Φ (a)= 0.55， 查表得a = 0.13 68. 隨機變量X服從正態(tài)分布，求概率, ,. 解 P =0.6826 69．隨

53、機變量X服從正態(tài)分布，若, ，計算μ和σ的值，求. 解 查表得： 解以μ和σ為未知量的方程組，得 μ =5.08，σ=2. =0.3228 70．已知隨機變量，，，確定c和d的值. 解 = ， 查表得 查表得 71．假定隨機變量X服從正態(tài)分布，確定下列各概 率等式中a的數(shù)值： （1） （2） （3） 解 =2Φ(a) -1 （1）2Φ (a)-1=0.9，Φ (a)=0.95，a=1.64； （2）2Φ (a)-1=

54、0.95，Φ (a)=0.975,a=1.96； （3）2Φ (a)-1=0.99，Φ (a)=0.995，a=2.58. 72．某科統(tǒng)考的考試成績X近似服從正態(tài)分布, 第100名的成績?yōu)?0分，問第20名的成績約為多少分? 解 設參加統(tǒng)考人數(shù)為n，則 =0.8413，n= 設第20名成績約為a分，則 查表得 a=79.6 因此第20名的成績約為80分.  習 題 三 1．袋內(nèi)有四張卡片，分別寫有數(shù)字1，2，3，4，每次從中任取一張，不放回地抽取兩次，記X、Y分別表示兩次取到的卡片上數(shù)字的最小值與最大值，

55、求（X，Y）的概率分布. 解 （X，Y）可以取值為（1，2），（1，3），…，(3，4).事件是兩個互不相容事件“第一次取到數(shù)字1且第二次取到數(shù)字2”與“第一次取到數(shù)字2且第二次取到數(shù)字1”的和，其概率為1/6，類似地可以計算出其他pij的值（見下表）. X Y 2 3 4 pi. 1 2 0 3 0 0 p.j 2．求上題中隨機變量X與Y的邊緣分布.并計算期望EX，EY與方差DX，DY. 解 在（X，Y）的聯(lián)合分布表中，將每一行對各列求和，得到X的邊緣分布pi.（i=1，2，3）.類似

56、地，可以得到關于Y的邊緣分布，其具體結果見上題聯(lián)合分布表. EX= 3．一個袋內(nèi)有10個球，其中有紅球4個，白球5個，黑球1個，不放回地抽取兩次，每次一個，記X表示兩次中取到的紅球數(shù)目，Y表示取到的白球數(shù)目，求隨機向量（X，Y）的概率分布及X、Y的邊緣概率分布. 解 顯然（X，Y）的全部取值為（0，1），（0，2），…（2，0）. 類似地可以計算出其他pij的值（見下表）： X Y 0 1 2 0 0 1 0 2 0 0 4．上題中試驗條件不變，若記 i=1，2，求隨機向量的概率分布，計算兩次取到的球顏色相同的概

57、率. 解 易見的全部可能取值為（0，0），（0，1），…（2，1）. 應用乘法公式 不難計算出pij的全部值（見下表）： X2 X1 0 1 2 0 1 2 0 5．第3題中袋內(nèi)球的組成及抽取次數(shù)不變，但是改為有放回抽取，求第4題中定義的隨機向量的概率分布. 解　的取值為(0，0)，(0，1)，… (2，2)． 且，因此，的聯(lián)合概率分布為下表所示： X2 X1 0 1 2 0 0.16 0.20 0.04 1 0.20 0.25 0.05 2 0.04 0.05 0.01 6．將3個球隨

58、機地放入四個盒子，記表示第i個盒子內(nèi)球的個數(shù)，i=1，2，求隨機變量與的聯(lián)合概率分布及關于的邊緣分布. 解 取值為（0，0），（0，1），…（3，0） 列成聯(lián)合分布表如下，表中最下一列為X2的邊緣分布p.j，j=0，1，2，3. X2 X1 0 1 2 3 0 1 0 2 0 0 3 0 0 0 p.j 7．將3個球隨機地放入四個盒子，設X表示第一個盒子內(nèi)球的個數(shù)，Y表示有球的盒子個數(shù)，求隨機向量（X，Y）的概率分布. 解 （X，Y）的取值為（0，1）

59、，（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，2）． 類似地可以依次計算出pij的值（見下表）： Y X 1 2 3 0 1 0 2 0 0 3 0 0 8.已知隨機向量（X，Y）只?。?，0），（-1，1），（-1，2）及（2，0）四對值，相應概率依次為，，和.列出（X， Y）的概率分布表，求Y的邊緣分布及X+Y的概率分布. 解 Y X 0 1 2 -1 0 0 0 0 2 0 0 p.j （X，Y）的聯(lián)合概率分布如上表所示，表中最下一行為Y的邊緣分

60、布，X+Y的分布見下表： X+Y 0 1 2 P 9．袋中有10張卡片，其中有m張卡片上寫有數(shù)字m，m=1，2，3，4，從中不重復地抽取兩次，每次一張，記Xi表示第i次取到的卡片上數(shù)字，i=1，2. 求的概率分布以及X1+X2，X1X2的概率分布. 解 可以?。?，2），（1，3），…（4，4），其相應概率見下表： X2 X1 1 2 3 4 1 0 2 3 4 X1+X2可以取3，4，…，8各值，X1X2可以取2，3，4，6，8，9，12，16各值，其相應概

61、率見以下二表： 3 4 5 6 7 8 P 2 3 4 6 8 9 12 16 P 10．隨機向量（X，Y）～f（x, y）， x, y＞0 確定系數(shù)A的值，求聯(lián)合分布函數(shù)F(x, y). 解 11．隨機向量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，求分布密度f（x,y）, 其中D為下面給定的區(qū)域： （1） （2） （3） 解 （1） （2） （3） 12．求上題中關于X及關于Y的邊緣

62、密度. 解 （1） （2） 當｜x｜＞2時，fx（x）=0，類似地 （3）當｜x｜≤1時， 當｜x｜＞1時，fX（x）=0，類似地， 13．計算第11題（3）中的EX及EY. 解　 14．分別判斷第3、7、8各題中的隨機變量X與Y是否獨立? 解 在第3題中，而 ,因此X與Y不獨立；同樣方法可以判斷出第7與第8題中的X與Y均不獨立. 15．判斷第10，11各題中的隨機變量X與Y是否獨立? 解 在第10題中， 由于對任何x、y均有F(x, y)=FX(x)FY(y)，因此隨機變量X

63、與Y獨立； 在第11題（1）中的f（x, y）=fX (x) fY (y)，因此X與Y是獨立的，而在第11題的（2）與（3）中，不能對于所有x,y均滿足等式 f（x,y）= fX (x) fY (y) ,因此（2）與（3）中的X，Y是不獨立的. 16．設隨機變量X1與X2獨立，其概率分布由下面兩表確定，令，求隨機向量（X1，X2）的概率分布及X、Y的概率分布. X1 0 1 X2 1 2 3 P 0.6 0.4 P 0.5 0.3 0.2 解 由于X1與X2獨立，因此有 具體計算結果列于下表 X2 X1 1 2 3

64、0 0.30 0.18 0.12 1 0.20 0.12 0.08 X的取值為1，2，3，4. =0.30 類似地，可以計算出列于下表 X 1 2 3 4 P 0.30 0.38 0.24 0.08 隨機變量Y可以取0，1，2，3各值. 17．有一種兩版面的報紙，每版印刷錯誤數(shù)服從參數(shù)為1的泊松分布，假定各版印刷錯誤相互獨立，求一份這種報紙上印刷錯誤總數(shù)X的概率分布. 解 設X1，X2分別表示第1、第2版面上的印刷錯誤，X= X1+X2，X可以取一切非負整數(shù). 18．設隨機變量X1與X2獨立，且Xi～B(2,0.8) ,i=1,2 令X=X1+X2，Y=X1X2，求X、Y的概率分布. 解 X可以取0，1，2，3，4各值 Y可以取0，1，2，4各值 19．求上題隨機向量（X,Y）的協(xié)差矩陣V. 解 由上題