離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案左孝凌版.pdf

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1、1 離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案_(左孝凌版)（1） 解：a) 是命題，真值為 T。b) 不是命題。c) 是命題，真值要根據(jù)具體情況確定。d) 不是命題。e) 是命題，真值為 T。f) 是命題，真值為 T。g) 是命題，真值為 F。h) 不是命題。i) 不是命題。 （2） 解：原子命題：我愛北京天安門。復(fù)合命題：如果不是練健美操，我就出外旅游拉。（3） 解：a) (┓P ∧R)→Qb) Q→Rc) ┓Pd) P→┓Q（4） 解：a)設(shè) Q:我將去參加舞會。R:我有時間。P:天下雨。Q? (R∧┓P):我將去參加舞會當(dāng)且僅當(dāng)我有時間和天不下雨。b)設(shè) R:我在看電視。Q:我在吃蘋果。R∧Q:我在看電視邊

2、吃蘋果。 c) 設(shè) Q:一個數(shù)是奇數(shù)。R:一個數(shù)不能被 2 除。（Q→R）∧(R→Q):一個數(shù)是奇數(shù)，則它不能被 2 整除并且一個數(shù)不能被 2 整除，則它是奇數(shù)。(5) 解：a) 設(shè) P：王強(qiáng)身體很好。Q：王強(qiáng)成績很好。P∧Qb) 設(shè) P：小李看書。Q：小李聽音樂。P∧Qc) 設(shè) P：氣候很好。Q：氣候很熱。P∨Qd) 設(shè) P： a 和 b 是偶數(shù)。Q：a+b是偶數(shù)。P→Qe) 設(shè) P：四邊形 ABCD是平行四邊形。Q ：四邊形 ABCD的對邊平行。P?Qf) 設(shè) P：語法錯誤。Q：程序錯誤。R：停機(jī)。（P∨ Q）→ R(6) 解：a) P:天氣炎熱。Q:正在下雨。 P∧Qb) P:天氣炎熱。

3、R:濕度較低。 P∧R c) R:天正在下雨。S:濕度很高。 R∨Sd) A:劉英上山。B:李進(jìn)上山。 A∧Be) M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨Nf) L:你看電影。M:我看電影。 ┓L→┓M 2 g) P:我不看電視。Q:我不外出。 R:我在睡覺。 P∧Q∧Rh) P:控制臺打字機(jī)作輸入設(shè)備。Q:控制臺打字機(jī)作輸出設(shè)備。P∧Q習(xí)題解答（1）解：a) 不是合式公式，沒有規(guī)定運(yùn)算符次序（若規(guī)定運(yùn)算符次序后亦可作為合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配對）d) 不是合式公式（R 和 S 之間缺少聯(lián)結(jié)詞）e) 是合式公式。 （2）解：a） A是合式公式，(A∨B)是合式

4、公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。這個過程可以簡記為：A；(A∨B)；(A→(A∨B))同理可記b） A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A)c） A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A))d） A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A))（3）解：a） ((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b） ((B→A)∨(A→B))。（4）解：a) 是由 c) 式進(jìn)行代換得到，在 c) 中用 Q 代換 P, (P→P)代換 Q.d) 是由 a) 式進(jìn)行代換得到，在 a) 中用 P→(Q→P)代換 Q.e

5、) 是由 b) 式進(jìn)行代換得到，用 R代換 P, S 代換 Q, Q 代換 R, P代換 S.（5）解：a) P: 你沒有給我寫信。 R: 信在途中丟失了。 P Qb) P: 張三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (P∧Q)→Rc) P: 我們能劃船。 Q: 我們能跑步。 ┓(P∧Q) d) P: 你來了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P→(Q?R)（6）解：P:它占據(jù)空間。 Q:它有質(zhì)量。 R:它不斷變化。 S:它是物質(zhì)。這個人起初主張：(P∧Q∧R) ? S后來主張：(P∧Q?S)∧(S→R) ∨ 3 這個人開頭主張與后來主張的不同點(diǎn)在于：后來認(rèn)為有 P∧Q 必同時有 R，開頭時沒有這

6、樣的主張。（7）解：a) P: 上午下雨。 Q:我去看電影。 R:我在家里讀書。 S:我在家里看報。(┓P→Q)∧(P→(R∨S))b) P: 我今天進(jìn)城。Q:天下雨。┓Q→Pc) P: 你走了。 Q:我留下。Q→P（4）解：a)P Q R Q∧R P∧(Q∧R) P∧Q (P∧Q)∧RT TTT TFT FTT FF F TTF TFF FTF FF TFFFTFFF TFFFFFFF TTFFFFFF TFFFFFFF所以，P∧(Q∧R) ? (P∧Q)∧R b) P QR Q∨R P∨(Q∨R) P∨Q (P∨Q)∨R 4 T TTT TFT FTT FFF T TF TFF FTF F

7、F ＴＴＴＦＴＴＴＦ ＴＴＴＴＴＴＴＦ ＴＴＴＴＴＴＦＦ ＴＴＴＴＴＴＴＦ所以，P∨(Q∨R) ? (P∨Q)∨R ｃ）Ｐ Ｑ Ｒ Ｑ∨Ｒ Ｐ∧（Ｑ∨Ｒ）Ｐ∧Ｑ Ｐ∧Ｒ （Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ）Ｔ Ｔ ＴＴ Ｔ ＦＴ Ｆ ＴＴ Ｆ ＦＦ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｆ ＴＴＴＦＴＴ ＴＴＴＦＦＦ ＴＴＦＦＦＦ ＴＦＴＦＦＦ ＴＴＴＦＦＦ 5 Ｆ Ｆ ＴＦ Ｆ Ｆ ＴＦ ＦＦ ＦＦ ＦＦ ＦＦ所以，P∧(Q∨R) ? (P∧Q)∨(P∧R)ｄ） P Q ┓P ┓Q ┓P∨┓Q ┓(P∧Q) ┓P∧┓Q ┓(P∨Q)T T T FF TF F FFTT FTFT FTTT FTTT FFFT FFFT所以，┓(

8、P∧Q) ?┓P∨┓Q, ┓(P∨Q) ?┓P∧┓Q（5）解：如表，對問好所填的地方，可得公式 F 1～F6，可表達(dá)為P Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6T T T T F T T F FT T F F F T F F FT F T T F F T T FT F F F T F T T FF T T T F F T T FF T F T F F F T FF F T T F T T T FF F F F T F T T T F1:(Q→P)→RF2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)F3:(P←→Q)∧(Q∨R)F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)F5:(┓P∨┓Q∨R)

9、∧(┓P∨┓Q∨┓R)F6:┓(P∨Q∨R)(6) 6 P Q 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16F F F T F T F T F T F T F T F T F TF T F F T T F F T T F F T T F F T TT F F F F F T T T T F F F F T T T TT T F F F F F F F F T T T T T T T T解：由上表可得有關(guān)公式為1.F 2.┓(P∨Q) 3.┓(Q→P) 4.┓P 5.┓(P→Q) 6.┓Q 7.┓(P?Q) 8.┓(P∧Q)9.P∧Q 10.P?Q 11.Q 12.

10、P→Q13.P 14.Q→P 15.P∨Q 16.T(7) 證明：a) A→(B→A)? ┐A∨(┐B∨A)? A∨(┐A∨┐B) ? A∨(A→┐B)?┐A→(A→┐B)b) ┐(A?B) ?┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))?┐((A∧B)∨┐(A∨B))?(A∨B)∧┐(A∧B)或 ┐(A?B) ?┐((A→B)∧(B→A))?┐((┐A∨B)∧(┐B∨A)) ?┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))?┐((┐A∧┐B)∨(B∧A)) 7 ?┐(┐(A∨B))∨(A∧B)?(A∨B)∧┐(A∧B)c) ┐(A→B) ? ┐(┐A∨B) ?A∧┐Bd) ┐(A?B)?┐

11、((A→B)∧(B→A))?┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))?(A∧┐B)∨(┐A∧B)e) (((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D))) ?(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))?(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)? (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D?((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D? (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D? ((C∧(A?B))→D)f) A→(B∨C) ? ┐A∨(B∨C) ? (┐A∨B)∨C?┐(A∧┐B)∨C? (A∧┐B)→Cg) (A→D)∧(B→D)?(┐A∨D)∧(┐B∨D)?(┐A∧┐B)

12、∨D? ┐(A∨B)∨D? (A∨B)→D h) ((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))?(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))? (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C 8 ?(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C?┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C? ((A∨┐D)∧B)→C? (B∧(D→A))→C（8）解：a) ((A→B) ? (┐B→┐A))∧C? ((┐A∨B) ? (B∨┐A))∧C ? ((┐A∨B) ? (┐A∨B))∧C?T∧C ?Cb) A∨(┐A∨(B∧┐B)) ? (A∨┐A)∨(B∧┐B) ?T∨F ?Tc) (A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)? (A∨┐A) ∧(

13、B∧C)?T∧(B∧C)?B∧C （9）解：1）設(shè) C 為 T，A 為 T，B為 F，則滿足 A∨C?B∨C，但 A?B不成立。2）設(shè) C 為 F，A 為 T，B 為 F，則滿足 A∧C?B∧C，但 A?B 不成立。3）由題意知┐A和┐B 的真值相同，所以 A 和 B 的真值也相同。習(xí)題 1-5（1） 證明：a) (P∧(P→Q))→Q? (P∧(┐P∨Q))→Q?(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q?(P∧Q)→Q ?┐(P∧Q)∨Q?┐P∨┐Q∨Q?┐P∨T?Tb) ┐P→(P→Q)?P∨(┐P∨Q) 9 ? (P∨┐P)∨Q?T∨Q?Tc) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)因為(P→Q)∧

14、(Q→R)?(P→R)所以 (P→Q)∧(Q→R)為重言式。d) ((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))?(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)因為((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))?((a∨c)∧b)∨(c∧a)?((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))?(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))?(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 為重言式。（2） 證明： a)(P→Q)?P→(P∧Q)解法 1：設(shè) P→Q 為 T（1）若 P 為 T，則 Q 為 T，所以 P∧Q 為 T，故 P→(P∧Q)為 T（2）若 P 為 F，則 Q 為 F，所以 P∧Q

15、 為 F，P→(P∧Q)為 T命題得證解法 2：設(shè) P→(P∧Q)為 F ，則 P為 T，(P∧Q)為 F ，故必有 P 為 T，Q 為 F ，所以 P→Q為 F。解法 3：(P→Q) →(P→(P∧Q))?┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))?┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q)) ?T所以(P→Q)?P→(P∧Q)b)(P→Q)→Q?P∨Q設(shè) P∨Q 為 F，則 P為 F，且 Q 為 F，故 P→Q 為 T，(P→Q)→Q 為 F，所以(P→Q)→Q?P∨Q。c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))?R→Q設(shè) R→Q 為 F，則 R為 T，且 Q 為 F，又 P∧┐P

16、為 F所以 Q→(P∧┐P)為 T，R→(P∧┐P)為 F所以 R→(R→(P∧┐P))為 F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))為 F即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))?R→Q 成立。（3） 解：a) P→Q表示命題“如果 8是偶數(shù)，那么糖果是甜的”。 b) a)的逆換式 Q→P 表示命題“如果糖果是甜的，那么 8 是偶數(shù)”。c) a)的反換式┐P→┐Q表示命題“如果 8不是偶數(shù)，那么糖果不是甜的”。d) a)的逆反式┐Q→┐P表示命題“如果糖果不是甜的，那么 8 不是偶數(shù)”。（4） 解：a) 如果天下雨，我不去。 10 設(shè) P：天下雨。Q：我不去。P→

17、Q逆換式 Q→P 表示命題:如果我不去，則天下雨。逆反式┐Q→┐P表示命題:如果我去，則天不下雨b) 僅當(dāng)你走我將留下。設(shè) S：你走了。R：我將留下。R→S逆換式 S→R 表示命題：如果你走了則我將留下。逆反式┐S→┐R表示命題：如果你不走，則我不留下。c) 如果我不能獲得更多幫助，我不能完成個任務(wù)。設(shè) E：我不能獲得更多幫助。H：我不能完成這個任務(wù)。E→H逆換式 H→E 表示命題：我不能完成這個任務(wù)，則我不能獲得更多幫助。逆反式┐H→┐E表示命題：我完成這個任務(wù)，則我能獲得更多幫助（5） 試證明 P?Q，Q 邏輯蘊(yùn)含 P。證明：解法 1： 本題要求證明(P?Q) ∧Q?P,設(shè)(P?Q) ∧Q

18、 為 T，則(P?Q)為 T，Q 為 T，故由?的定義，必有 P為 T。所以(P?Q) ∧Q?P解法 2：由體題可知，即證((P?Q)∧Q)→P 是永真式。((P?Q)∧Q)→P?(((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P?(┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P?(((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P?((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P?((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P?┐Q∨┐P∨P?┐Q∨T ?T（6） 解：P：我學(xué)習(xí) Q：我數(shù)學(xué)不及格 R：我熱衷于玩撲克。如果我學(xué)習(xí)，那么我數(shù)學(xué)不會不及格： P→┐Q如果我不熱衷于玩撲克，那么我將學(xué)習(xí): ┐R→P

19、但我數(shù)學(xué)不及格: Q因此我熱衷于玩撲克。 R即本題符號化為：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q?R證：證法 1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R? ┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R? (P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R? ((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P)) ? ┐Q∨P∨R∨┐P? T所以，論證有效。證法 2：設(shè)(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q 為 T，則因 Q為 T，(P→┐Q) 為 T，可得 P 為 F， 11 由(┐R→P)為 T，得到 R為 T。故本題論證有效。（7） 解：P：6 是偶數(shù) Q：7 被 2 除盡 R：5 是素數(shù)如果 6是偶數(shù)，則 7

20、被 2除不盡 P→┐Q或 5 不是素數(shù)，或 7被 2除盡 ┐R∨Q5是素數(shù) R所以 6是奇數(shù) ┐P即本題符號化為：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R ?┐P證：證法 1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P? ┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P? ((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P ? ((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) ∧(┐R∨┐Q))? (┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q)?T所以，論證有效，但實(shí)際上他不符合實(shí)際意義。證法 2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R 為 T，則有 R為 T，且┐R∨Q 為 T，故 Q為 T，再由 P→┐Q 為 T，得到┐P

21、為 T。（8） 證明：a) P?(┐P→Q)設(shè) P 為 T，則┐P 為 F，故┐P→Q 為 Tb) ┐A∧B∧C?C假定┐A∧B∧C為 T，則 C 為 T。c) C?A∨B∨┐B 因為 A∨B∨┐B為永真，所以 C?A∨B∨┐B 成立。d) ┐(A∧B) ?┐A∨┐B設(shè)┐(A∧B)為 T，則 A∧B為 F。若 A 為 T，B 為 F，則┐A為 F，┐B 為 T，故┐A∨┐B 為 T。若 A 為 F，B 為 T，則┐A為 T，┐B 為 F，故┐A∨┐B 為 T。若 A 為 F，B 為 F，則┐A為 T，┐B 為 T，故┐A∨┐B 為 T。命題得證。e) ┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A

22、?B∨C設(shè)┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A 為 T，則 D∨E 為 T，(D∨E)→┐A 為 T，所以┐A 為 T又┐A→(B∨C)為 T，所以 B∨C 為 T。命題得證。f) (A∧B)→C，┐D，┐C∨D?┐A∨┐B設(shè)(A∧B)→C，┐D，┐C∨D 為 T，則┐D 為 T，┐C∨D 為 T，所以 C 為 F 又(A∧B)→C 為 T，所以 A∧B為 F，所以┐A∨┐B 為 T。命題得證。（9）解：a) 如果他有勇氣，他將得勝。P：他有勇氣 Q：他將得勝 12 原命題：P→Q 逆反式：┐Q→┐P 表示：如果他失敗了，說明他沒勇氣。b) 僅當(dāng)他不累他將得勝。P：他不累 Q：他得勝原命

23、題：Q→P 逆反式：┐P→┐Q 表示：如果他累，他將失敗。習(xí)題 1-6(1)解：a) (P∧Q)∧┐P?(P∧┐P)∧Q?┐(T∨Q) b) (P→(Q∨┐R)) ∧┐P∧Q? (┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q?(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q)?(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)?┓P∧Q?┐(P∨┐Q)c) ┐P∧┐Q∧(┐R→P)?┐P∧┐Q∧(R∨P)?(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)?(┐P∧┐Q∧R)∨F ?┐P∧┐Q∧R?┐(P∨Q∨┐R)(2) 解：a)┐P? P↓Pb)P∨Q?┐(P↓Q) ? (P↓Q)↓(P↓Q)c)P∧Q?┐P↓┐

24、Q? (P↓P)↓(Q↓Q)(3)解： P→(┐P→Q)?┐P∨(P∨Q)?T?┐P∨P? (┐P↑┐P)↑(P↑P)?P↑(P↑P) 13 P→(┐P→Q)?┐P∨(P∨Q)?T?┐P∨P?┐(┐P↓P)?┐((P↓P)↓P)?((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)(4)解：P↑Q?┐(┐P↓┐Q)?┐((P↓P)↓(Q↓Q)) ? ((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))(5)證明：┐(B↑C)?┐(┐B∨┐C)? ┐B↓┐C┐(B↓C)?┐(┐B∧┐C)?┐B↑┐C(6)解：聯(lián)結(jié)詞“↑”和“↓”不滿足結(jié)合律。舉例如下： a)給出一組指派：P 為 T，Q為 F，R為 F，則(

25、P↑Q)↑R為 T，P↑(Q↑R)為 F故 (P↑Q)↑R P↑(Q↑R).b)給出一組指派：P 為 T，Q為 F，R為 F，則(P↓Q) ↓R 為 T，P↓(Q↓R)為 F故(P↓Q)↓R P↓(Q↓R).(7)證明：設(shè)變元 P，Q，用連結(jié)詞?,┐作用于 P，Q 得到：P，Q，┐P，┐Q，P?Q，P?P，Q?Q，Q?P。但 P?Q?Q?P，P?P?Q?Q，故實(shí)際有：P，Q，┐P，┐Q，P?Q，P?P（T） （A） 用┐作用于（A）類，得到擴(kuò)大的公式類（包括原公式類）：P，Q，┐P，┐Q，┐（P?Q）， T，F(xiàn)， P?Q （B）用?作用于（A）類，得到：P?Q，P?┐P?F，P?┐Q?┐（P?

26、Q），P?（P?Q）?Q，P?（P?P）?P，Q?┐P?┐（P?Q），Q?┐Q?F，Q?（P?Q）?P，Q?T?Q,┐P?┐Q?P?Q，┐P?（P?Q）?┐Q，┐P?T?┐P,?? 14 ∨∨ ┐Q?（P?Q）?┐P，┐Q?T?┐Q,（P?Q）?（P?Q）?P?Q.因此，（A）類使用運(yùn)算后，仍在（B）類中。對（B）類使用┐運(yùn)算得：┐P，┐Q，P，Q， P?Q， F，T，┐（P?Q），仍在（B）類中。對（B）類使用?運(yùn)算得：P?Q，P?┐P?F，P?┐Q?┐（P?Q），P?┐（P?Q）?┐Q，P?T?P，P?F?┐P，P?（P?Q）?Q，Q?┐P?┐（P?Q），Q?┐Q?F，Q?┐（P?Q）?┐

27、P，Q?T?Q,Q?F?┐Q， Q?（P?Q）?P，┐P?┐Q?P?Q，┐P?┐（P?Q）?Q，┐P?T?┐P, ┐P?F?P,┐P?（P?Q）?┐Q， ┐Q?┐（P?Q）?P，┐Q?T?┐Q, ┐Q?T?┐Q,┐Q?（P?Q）?┐P，┐（P?Q）?T?┐（P?Q），┐（P?Q）?F?P?Q，┐（P?Q）?（P?Q）?FT?F?F，T?（P?Q）? P?QF?（P?Q）? ┐（P?Q）（P?Q）?（P?Q）?P?Q.故由（B）類使用?運(yùn)算后，結(jié)果仍在（B）中。由上證明：用?,┐兩個連結(jié)詞，反復(fù)作用在兩個變元的公式中，結(jié)果只能產(chǎn)生（B）類中的公式，總共僅八個不同的公式，故{?,┐}不是功能完備的

28、，更不能是最小聯(lián)結(jié)詞組。已證{?,┐}不是最小聯(lián)結(jié)詞組，又因為 P Q? ┐（P?Q），故任何命題公式中的聯(lián)結(jié)詞，如僅用{ , ┐}表達(dá)，則必可用{?,┐}表達(dá)，其逆亦真。故{ , ┐}也必不是最小聯(lián)結(jié)詞組。(8)證明{∨}，{∧}和{→}不是最小聯(lián)結(jié)詞組。 證明：若{∨}，{∧}和{→}是最小聯(lián)結(jié)詞，則┐P?（P∨P∨……）┐P?（P∧P∧……）┐P?P→(P→(P→……)對所有命題變元指派 T，則等價式左邊為 F，右邊為 T，與等價表達(dá)式矛盾。所以{∨}，{∧}和{→}不是最小聯(lián)結(jié)詞。(9)證明{┐,→}和{┐, }是最小聯(lián)結(jié)詞組。證明：因為{┐,∨}為最小聯(lián)結(jié)詞組，且 P∨Q?┐P→Q所

29、以{┐,→}是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組，又{┐},{→}都不是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組。所以{┐,→}是最小聯(lián)結(jié)詞組。又因為 P→Q?┐(P Q)，所以{┐, }是功能完備的聯(lián)結(jié)詞組，又{┐},{ }不是功能完 備的聯(lián)結(jié)詞組，所以{┐, }是最小聯(lián)結(jié)詞組。習(xí)題 1-7 →c ∨ →c →c →c→c 15 (1) 解：P∧(P→Q)?P∧(┐P∨Q)? (P∧┐P)∨(P∧Q)P∧(P→Q)? (P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)? (P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)(2)解：a) (┐P∧Q)→R ?┐(┐P∧Q)∨R? P∨┐Q∨R?(P∧Q)∨(P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P

30、)∨(R∧┐P)b) P→((Q∧R)→S)?┐P∨(┐(Q∧R)∨S)?┐P∨┐Q∨┐R∨S?(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P)c) ┐(P∨┐Q)∧(S→T) ?(┐P∧Q)∧(┐S∨T)?(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T)d) (P→Q)→R?┐(┐P∨Q)∨R?(P∧┐Q)∨R?(P∨R)∧(┐Q∨R)e) ┐(P∧Q)∧(P∨Q)?(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)?(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q) ? (┐P∧Q)∨(┐Q∧P)(3) 解：a) P∨(┐P∧Q∧R)?(P∨┐P)∧(P

31、∨Q)∧(P∨R)?(P∨Q)∧(P∨R) 16 b) ┐(P→Q)∨(P∨Q)?┐(┐P∨Q)∨(P∨Q)?(P∧┐Q)∨(P∨Q)?(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q)c) ┐(P→Q)?┐(┐P∨Q)? P∧┐Q?(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P)d) (P→Q)→R?┐(┐P∨Q)∨R? (P∧┐Q)∨R? (P∨R)∧(┐Q∨R)e) (┐P∧Q)∨(P∧┐Q) ?(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q)?(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)(4) 解：a) (┐P∨┐Q)→(P?┐Q)?┐(┐P∨┐Q) ∨(P?┐Q)? (P∧Q) ∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)?? 1，2，

32、3?P∨Q=?0b) Q∧(P∨┐Q)? (P∧Q)∨(Q∧┐Q)? P∧Q =?3??0，1，2?(P∨Q)∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q)c) P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R))?P∨(P∨(Q∨(Q∨R))?P∨Q∨R=? 0??1，2，3,4,5,6,7=(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R)d) (P→(Q∧R) )∧(┐P→(┐Q∧┐R))? (┐P∨(Q∧R)) ∧(P∨(┐Q∧┐R))? (P∧┐P) ∨(P∧(Q∧R)) ∨ ((┐Q∧┐R) ∧┐P) ∨((┐Q∧┐R) ∧(Q∧

33、R))? (P∧Q∧R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) =? 0,7??1，2，3,4,5,6? (P∨Q∨┐R) ∧(P∨┐Q∨R) ∧(P∨┐Q∨┐R) ∧(┐P∨Q∨R) ∧(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨R)e) P→(P∧(Q→P)?┐P∨(P∧(┐Q∨P)?(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P)?T∨(T∧┐Q) ?T 17 ??0,1,2,3= (┐P∧┐Q) ∨(┐P∧Q) ∨(P∧┐Q) ∨(P∧Q)f) (Q→P) ∧(┐P∧Q)? (┐Q∨P) ∧┐P∧Q? (┐Q∨P) ∧┐(P∨┐Q) ?F??0,1，2，3= (P∨Q) ∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q) ∧(┐P∨┐Q)(5)

34、 證明：a)(A→B) ∧(A→C)? (┐A∨B) ∧(┐A∨C)A→(B∧C)?┐A∨(B∧C) ? (┐A∨B) ∧(┐A∨C)b)(A→B) →(A∧B)?┐(┐A∨B) ∨(A∧B)? (A∧┐B) ∨(A∧B)?A∧(B∨┐B)?A∧T?A(┐A→B) ∧(B→A)? (A∨B) ∧(┐B∨A)?A∨(B∧┐B)?A∨F?A c)A∧B∧(┐A∨┐B)? ((A∧┐A)∨(A∧┐B))∧B?A∧B∧┐B?F┐A∧┐B∧(A∨B)? ((┐A∧A)∨(┐A∧B))∧┐B?┐A∧┐B∧B?Fd)A∨(A→(A∧B)?A∨┐A∨(A∧B)?T ┐A∨┐B∨(A∧B)?┐(A∧B) ∨(A

35、∧B)?T(6)解：A?R↑(Q∧┐(R↓P)),則 A*? R↓(Q∨┐(R↑P)) 18 A?R↑(Q∧┐(R↓P))?┐(R∧(Q∧(R∨P)))?┐R∨┐Q∨┐(R∨P)?┐(R∧Q) ∨┐(R∨P)A*?R↓(Q∨┐(R↑P))?┐(R∨(Q∨(R∧P))?┐R∧┐Q∧┐(R∧P)?┐(R∨Q) ∧┐(R∧P)(7) 解：設(shè) A：A 去出差。B：B 去出差。C：C 去出差。D：D 去出差。若 A 去則 C和 D中要去一個。 A→(CVD)B和 C不能都去。 ┐(B∧C)C去則 D 要留下。 C→┐D按題意應(yīng)有：A→(CVD)，┐(B∧C)，C→┐D 必須同時成立。 因為 CVD ?

36、(C∧┐D) ∨(D∧┐C)故(A→(CVD))∧┐(B∧C) ∧(C→┐D)? (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧┐(B∧C) ∧(┐C∨┐D)? (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧(┐B∨┐C) ∧(┐C∨┐D)? (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧((┐B∧┐C) ∨(┐B∧┐D) ∨(┐C∧┐D) ∨┐C)? (┐A∧┐B∧┐C) ∨(┐A∧┐B∧┐D) ∨(┐A∧┐C∧┐D) ∨(┐A∧┐C)∨(┐B∧┐C∧D) ∨(┐C∧D∧┐B∧┐D) ∨(┐C∧D∧┐C∧┐D)∨(┐C∧D∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐D)∨(┐D∧C∧┐C

37、∧┐D) ∨(┐D∧C∧┐C)在上述的析取范式中，有些（畫線的）不符合題意，舍棄，得(┐A∧┐C) ∨(┐B∧┐C∧D) ∨（┐C∧D）∨(┐D∧C∧┐B)故分派的方法為：B∧D ,或 D∧A,或 C∧A。(8) 解：設(shè) P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D 是第四。E：A 是第二。 由題意得 (PVQ) ∧(RVS) ∧(EVS)? ((P∧┐Q) ∨(┐P∧Q)) ∧((R∧┐S) ∨(┐R∧S)) ∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))? ((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(P∧┐Q∧┐R∧S) ∨(┐P∧Q∧R∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))因為 (

38、P∧┐Q∧┐R∧S)與(┐P∧Q∧R∧┐S)不合題意，所以原式可化為((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))? (P∧┐Q∧R∧┐S∧E∧┐S) ∨(P∧┐Q∧R∧┐S∧┐E∧S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧E∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E∧S)? (P∧┐Q∧R∧┐S∧E) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E)因 R 與 E 矛盾，故┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E 為真，即 A 不是第一，B 是第二，C 不是第二，D 為第四，A不是第二。于是得： A 是第三 B 是第二 C 是第一 D 是第四。習(xí)題 1-8(1)證明： a)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R?

39、┐P(1) ┐R P(2) ┐Q∨R P 19 (3) ┐Q (1)(2)T,I(4) ┐(P∧┐Q) P(5) ┐P∨Q (4)T,E(6) ┐P (3)(5)T,Ib)J→(M∨N)，(H∨G)→J，H∨G?M∨N(1) (H∨G) →J P(2) (H∨G) P (3) J (1)(2)T,I(4) J→(M∨N) P(5) M∨N (3)(4)T,Ic)B∧C，(B?C)→(H∨G) ?G∨H(1) B∧C P(2) B (1)T,I(3) C (1)T,I (4) B∨┐C (2)T,I(5) C∨┐B (3)T,I(6) C→B (4)T,E(7) B→C (5)T,E(8) B?

40、C (6)(7)T,E(9) (B?C) →(H∨G) P(10) H∨G (8)(9)T,I d)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S) ?┐S(1) (┐Q∨R) ∧┐R(2) ┐Q∨R (1)T,I 20 (3) ┐R (1)T,I(4) ┐Q (2)(3)T,I(5) P→Q P(6) ┐P (4)(5)T,I(7) ┐(┐P∧┐S) P(8) P∨┐S (7)T,E(9) ┐S (6)(8)T,I (2) 證明：a)┐A∨B，C→┐B?A→┐C(1) ┐ (A → ┐C) P(2) A (1)T,I(3) C (1)T,I(4) ┐A∨B P(5) B (2)(4)T,I (6)

41、 C→┐B P(7) ┐B (3)(6)T,I(8) B∧┐B 矛盾。(5),(7)b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) ?A→(B→F)(1) ┐(A→(B→F)) P(2) A (1)T,I(3) ┐(B→F) (1)T,I (4) B (3)T,I(5) ┐F (3)T,(6) A→(B→C) P 21 (7) B→C (2)(6)T,I(8) C (4)(7)T,I(9) ┐F→(D∧┐E) P(10) D∧┐E (5)(9)T,I(11) D (10)T,I(12) C∧D (8)(11)T,I(13) (C∧D) →E P (14) E (12)(13)T,I(1

42、5) ┐E (10)T,I(16) E∧┐E 矛盾。(14),(15)c)A∨B→C∧D，D∨E→F?A→F(1) ┐(A→F) P(2) A (1)T,I(3) ┐F (1)T,I (4) A∨B (2)T,I(5) (A∨B) →C∧D P(6) C∧D (4)(5)T,I(7) C (6)T,I(8) D (6)T,I(9) D∨E (8)T,I(10) D∨E→F P (11) F (9)(10)T,I(12) F∧┐F 矛盾。(3),(11)d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E) ?B→E 22 (1) ┐(B→E) P(2) B (1)T,I(3) ┐E

43、 (1)T,I(4) ┐B∨D P(5) D (2)(4)T,I(6) (E→┐F) →┐D P(7) ┐(E→┐F) (5)(6)T,I (8) E (7)T,I(9) E∧┐E 矛盾e)(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→C?┐A(1) (A→B) ∧(C→D) P(2) A→B (1)T,I(3) (B→E) ∧(D→F) P(4) B→E (3)T,I (5) A→E (2)(4)T,I(6) ┐(E∧F) P(7) ┐E∨┐F (6)T,E(8) E→┐F (7)T,E(9) A→┐F (5)(8)T,I(10) C→D (1)T,I(11) D→F (

44、3)T,I (12) C→F (10)(10)T,I(13) A→C P(14) A→F (13)(12)T,I 23 (15) ┐F→┐A (14)T,E(16) A→┐A (9)(15)T,I(17) ┐A∨┐A (16)T,E(18) ┐A (17) T,E(3) 證明：a)┐A∨B，C→┐B?A→┐C(1) A P (2) ┐A∨B P(3) B (1)(2)T,I(4) C→┐B P(5) ┐C (3)(4)T,I(6) A→┐C CPb)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) ?A→(B→F)(1) A P (2) A→(B→C) P(3) B→C (1)(2)T,I(

45、4) B P(5) C (3)(4)T,I(6) (C∧D) →E P(7) C→(D→E) (6)T,E(8) D→E (5)(7)T,I (9) ┐D∨E (8)T,E(10) ┐(D∧┐E) (9)T,E(11) ┐F→(D∧┐E) P 24 (12) F (10)(11)T,I(13) B→F CP(14) A→(B→F) CPc)A∨B→C∧D，D∨E→F?A→F(1) A P(2) A∨B (1)T,I(3) A∨B→C∨D P (4) C∧D (2)(3)T,I(5) D (4)T,I(6) D∨E (5)T,I(7) D∨E→F P(8) F (6)(7)T,I(9) A→F

46、CPd)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E) ?B→E (1) B P(附加前提)(2) ┐B∨D P(3) D (1)(2)T,I(4) (E→┐F)→┐D P(5) ┐(E→┐F) (3)(4)T,I(6) E (5)T,I(7) B→E CP (4)證明：a) R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→Q?┐P(1) R→┐Q P 25 (2) R∨S P(3) S→┐Q P(4) ┐Q (1)(2)(3)T,I(5) P→Q P(6) ┐P (4)(5)T,Ib) S→┐Q，S∨R，┐R，┐P?Q?P證法一： (1) S∨R P(2) ┐R P(3) S (1)(2)T

47、,I(4) S→┐Q P(5) ┐Q (3)(4)T,I(6) ┐P?Q P(7)(┐P→Q)∧(Q→┐P) (6)T,E (8) ┐P→Q (7)T,I(9) P (5)(8)T,I證法二：（反證法）(1) ┐P P（附加前提）(2) ┐P?Q P(3)（┐P→Q）∧（ Q→┐P） (2)T，E(4) ┐P→Q (3)T,I (5) Q (1)(4)T,I(6) S→┐Q P(7) ┐S (5)(6)T,I 26 (8) S∨R P(9) R (7)(8)T,I(10) ┐R P(11) ┐R∧R 矛盾（9）（10）T，Ic)┐(P→Q)→┐(R∨S)，((Q→P)∨┐R)，R?P?Q(1)

48、 R P(2) (Q→P) ∨┐R P (3) Q→P (1)(2)T,I(4)┐(P→Q) →┐(R∨S) P(5) (R∨S) →(P→Q) (4)T,E(6) R∨S (1)T,I(7) P→Q (5)(6)(8) (P→Q) ∧(Q→P) (3)(7)T,I(9) P?Q (8)T,E (5) 解：a) 設(shè) P：我跑步。Q：我很疲勞。前提為：P→Q，┐Q(1) P→Q P(2) ┐Q P(3) ┐P (1)(2)T,I結(jié)論為：┐P，我沒有跑步。 b) 設(shè) S：他犯了錯誤。 R：他神色慌張。前提為：S→R，R因為（S→R）∧R?（┐S∨R）∧R?R。故本題沒有確定的結(jié)論。 27 實(shí)際上，

49、若 S →R 為真，R 為真,則 S 可為真，S也可為假，故無有效結(jié)論。c) 設(shè) P：我的程序通過。 Q：我很快樂。R：陽光很好。 S：天很暖和。（把晚上十一點(diǎn)理解為陽光不好）前提為：P→Q，Q→R，┐R∧S(1) P→Q P(2) Q→R P(3) P→R (1)(2)T,I(4) ┐R∨S P (5) ┐R (4)T,I(6) ┐P (3)(5)T,I結(jié)論為： ┐P，我的程序沒有通過習(xí)題 2-1,2-2（1） 解：a) 設(shè) W（x）：x 是工人。c：小張。則有 W（c） b) 設(shè) S（x）：x 是田徑運(yùn)動員。B（x）：x是球類運(yùn)動員。h：他則有 S（h）?B（h）c) 設(shè) C（x）：x是聰

50、明的。B（x）：x 是美麗的。l：小莉。則有 C（l）? B（l）d）設(shè) O（x）：x是奇數(shù)。則有 O（m）? O（2m）。e)設(shè) R（x）：x 是實(shí)數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。 則有 （?x）（Q（x）?R（x））f) 設(shè) R（x）：x是實(shí)數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。則有 （?x）（R（x）?Q（x）） 28 g) 設(shè) R（x）：x是實(shí)數(shù)。Q（x）：x是有理數(shù)。則有 （?x）（R（x）?Q（x））h)設(shè) P（x，y）：直線 x 平行于直線 yG（x，y）：直線 x 相交于直線 y。則有 P（A，B）?G（A，B）（2） 解：a) 設(shè) J(x)：x是教練員。L(x)：x 是運(yùn)動員。 則有 （?x）

51、（J（x）?L（x））b) 設(shè) S(x)：x是大學(xué)生。L(x)：x 是運(yùn)動員。則有 （?x）（L（x）?S（x））c) 設(shè) J(x)：x是教練員。O(x)：x 是年老的。V（x）：x是健壯的。則有 （?x）（J（x）?O（x）?V（x））d) 設(shè) O(x)：x是年老的。V（x）：x 是健壯的。j：金教練則有 O（j）?V（j） e) 設(shè) L(x)：x是運(yùn)動員。J(x)：x 是教練員。則 （?x）（L（x）?J（x））本題亦可理解為：某些運(yùn)動員不是教練。故 （?x）（L（x）?J（x））f) 設(shè) S（x）：x 是大學(xué)生。L（x）：x是運(yùn)動員。C（x）：x 是國家選手。則有 （?x）（S（x）?

52、L（x）?C（x））g) 設(shè) C（x）：x 是國家選手。V（x）：x 是健壯的。 則有 （?x）（C（x）?V（x））或（?x）（C（x）?V（x））h) 設(shè) C（x）：x 是國家選手。O（x）：x 是老的。L（x）：x 是運(yùn)動員。則有 （?x）（O（x）?C（x）?L（x）） 29 i) 設(shè) W（x）：x是女同志。H（x）：x 是家庭婦女。C（x）：x 是國家選手。則有 （?x）（W（x）?C（x）?H（x））j）W（x）：x 是女同志。J（x）：x 是教練。C（x）：x 是國家選手。則有（?x）（W（x）?J（x）?C（x））k）L（x）：x 是運(yùn)動員。J（y）：y 是教練。A(x,y)：

53、x 欽佩 y。則有 （?x）（L（x）? （?y）（J（y）?A（x，y）））l）設(shè) S（x）：x 是大學(xué)生。L（x）：x 是運(yùn)動員。A(x,y)：x欽佩 y。 則（?x）（S（x）?（?y）（L（y）? A(x,y)））習(xí)題 2-3（1）解：a）5是質(zhì)數(shù)。b）2是偶數(shù)且2是質(zhì)數(shù)。c）對所有的x，若x能被2除盡，則x是偶數(shù)。d）存在x，x是偶數(shù)，且x能除盡6。（即某些偶數(shù)能除盡6） e）對所有的x，若x不是偶數(shù)，則x不能被2除盡。f）對所有的x，若x是偶數(shù)，則對所有的y，若x能除盡y，則y也是偶數(shù)。g）對所有的 x，若 x 是質(zhì)數(shù)，則存在y，y 是偶數(shù)且 x 能除盡y（即所有質(zhì)數(shù)能除盡某些偶數(shù)

54、）。h）對所有的 x，若 x 是奇數(shù)，則對所有 y，y 是質(zhì)數(shù)，則x 不能除盡y（即任何奇數(shù)不能除盡任何質(zhì)數(shù)）。（2）解：（?x）(?y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(?!z)(L(z)∧R(x,y,z)))或 （?x）(?y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(?z)(L(z)∧R(x,y,z) ∧┐(?u)(┐E(z,u) ∧L(u)∧R(x,y,u)))) （3）解：a) 設(shè)N(x):x是有限個數(shù)的乘積。 z(y):y為0。 30 P(x):x的乘積為零。 F(y):y是乘積中的一個因子。則有 (?x)((N(x)∧P(x)→(?y)(F(y)∧z(y)))b) 設(shè)R(

55、x):x是實(shí)數(shù)。Q(x,y):y大于x。 故 (?x)(R(x)→(?y)(Q(x,y)∧R(y)))c)R(x):x是實(shí)數(shù)。G(x,y):x大于y。 則(?x)(?y)(?z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,xz)（4）解：設(shè)G(x,y):x大于y。則有 (?x)(?y)(?z)(G(y,x) ∧G(0,z)→G(xz,yz))（5）解：設(shè)N(x):x是一個數(shù)。 S(x,y):y是x的后繼數(shù)。E(x,y)：x=y.則 a) (?x)(N(x)→(?!y)(N(y)∧S(x,y)))或(?x)(N(x)→(?y)(N(y)∧S(x,y) ∧┐(?z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S

56、(x,z))))b) ┐(?x)(N(x)∧S(x,1))c) (?x)(N(x)∧┐S(x,2)→(?!y)(N(y) ∧S(y,x)))或(?x)(N(x)∧┐S(x,2)→(?y)(N(y) ∧S(y,x) ∧┐(?z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(z,x))))（6）解：設(shè)S(x):x是大學(xué)生。 E(x):x是戴眼睛的。F(x):x是用功的。 R(x,y):x在看y。 G(y):y是大的。 K(y):y是厚的。 J(y):y是巨著。 a:這本。 b:那位。則有 E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a)（7）解：設(shè)P(x,y):x在y連續(xù)。 Q(x,y

57、):x>y。則P(f,a)?((?ε)(?δ)(?x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|x-a|)→Q(ε,|f(x)-f(a)|))))習(xí)題 2-4(1) 解：a)x是約束變元，y是自由變元。b) x 是約束變元，P(x)∧Q(x)中的x 受全稱量詞?的約束，S(x)中的x 受存在量詞?的約束。 c)x，y都是約束變元,P(x)中的x受?的約束，R(x)中的x受?的約束。d)x，y是約束變元，z是自由變元。 31 (2) 解：a)P(a)∧P(b)∧P(c)b)R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c)c)(P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q

58、(c)d)(┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c))e)(R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c))(3) 解：a)(?x)(P(x)∨Q(x))?(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))， 但P(1)為T，Q(1)為F，P(2)為F，Q(2)為T,所以(?x)(P(x)∨Q(x))?(T∨F)∧(F∨T)??T。b)(?x)(P→Q(x))∨R(a)?((P→Q(?2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a)因為P 為T，Q(?2)為T，Q(3)為T，Q(6)為F，R(5)為F，所以(?x)(P→Q(x))∨R(a)? ((

59、T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F?F(4) 解：a)(?u)(?v)(P(u，z)→Q(v))?S(x，y)b) (?u)(P(u)→(R(u)∨Q(u))∧(?v)R(v))→(?z)S(x,z) (5) 解：a)((?y)A(u，y)→(?x)B(x，v))∧(?x)(?z)C(x，t，z)b) ((?y)P(u，y)∧(?z)Q(u，z))∨(?x)R(x，t)習(xí)題2-5（1）解： a) P(a,f(a))∧P(b,f(b))?P(1,f(1))∧P(2,f(2))?P(1,2)∧P(2,1)??T∧F?Fb)(?x)(?y)P(y,x)?(?x)(P(1,x)∨P(2,x))?(

60、P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))? (T∨F)∧(T∨F)??Tc)(?x)(?y)(P(x,y)→P(f(x),f(y)))? ?(?x)((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2)→P(f(x)f(2))))?(P(1,1)→P(f(1),f(1)))∧(P(1,2)→P(f(1),f(2)))∧(P(2,1)→P(f(2),f(1)))∧(P(2,2)→P(f(2),f(2))) 32 ?(P(1,1)→P(2,2))∧(P(1,2)→P(2,1))∧(P(2,1)→P(1,2))∧(P(2,2)→P(1,1))?(T→F∧(T→F)∧(F→T

61、)∧(F→T)?F∧F∧T∧T?F（2）解：a)(?x)(P(x)→Q(f(x),a))??(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1))?(F→Q(2,1))∧(T→Q(1,1))??(F→F)∧(T→T)??Tb)(?x)(P(f(x))∧Q(x,f(a))? ?(P(f(1))∧Q(1,f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2,f(1)) ?(T∧T)∨(F∧F)??Tc) (?x)(P(x)∧Q(x,a))?(P(1)∧Q(1,a))∨(P(2)∧Q(2,a))?(P(1)∧Q(1,1))∨(P(2)∧Q(2,1))??(F∧T)∨(T∧F)??Fd) (?x)(?y

62、)(P(x)∧Q(x,y))??(?x)(P(x)∧(?y)Q(x,y))? ?(?x)(P(x)∧(Q(x,1)∨Q(x,2)))?(P(1)∧(Q(1,1)∨Q(1,2)))∧(P(2)∧(Q(2,1)∨Q(2,2)))?(F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F))??F(3) 舉例說明下列各蘊(yùn)含式。a) ?((?x)(P(x)∧Q(a))?(?x)P(x)??Q(a)b) (?x) (?P(x)?Q(x)),(?x)?Q(x)?P(a)c) (?x) (P(x)?Q(x)),(?x)(Q(x)?R(x))? (?x)(P(x)?R(x))d) (?x) (P(x)?Q(x)),(?x)?P(x

63、)?(?x)Q(x)e) (?x) (P(x)?Q(x)),(?x)?P(x)?(?x)Q(x) 解：a）因為?((?x)(P(x)∧Q(a))??(?x)P(x)∨?Q(a)故原式為?(?x)P(x)∨?Q(a)?(?x)P(x)??Q(a) 33 設(shè)P（x）：x是大學(xué)生。Q（x）：x是運(yùn)動員前提 或者不存在x，x是大學(xué)生，或者a是運(yùn)動員結(jié)論 如果存在x是大學(xué)生，則必有a是運(yùn)動員。b)設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x是大學(xué)生。a：論域中的某人。前提：對論域中所有x，如果x不是研究生則x是大學(xué)生。對論域中所有x， x不是大學(xué)生。結(jié)論：對論域中所有x都是研究生。 故，對論域中某個a，必有結(jié)論

64、a 是研究生，即P（a）成立。c）設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x曾讀過大學(xué)。R（x）：x曾讀過中學(xué)。前提 對所有x，如果x是研究生，則x曾讀過大學(xué)。對所有x，如果x曾讀過大學(xué)，則x曾讀過中學(xué)。結(jié)論：對所有x，如果x是研究生，則x曾讀過中學(xué)。d）設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x是運(yùn)動員。前提 對所有x，或者x是研究生，或者x是運(yùn)動員。 對所有x，x不是研究生結(jié)論 必存在x，x是運(yùn)動員。e）設(shè)P（x）：x是研究生。Q（x）：x是運(yùn)動員。前提 對所有x，或者x是研究生，或者x是運(yùn)動員。對所有x，x不是研究生結(jié)論 對所有x，x是運(yùn)動員。（4）證明：(?x)(A(x)→B(x))?(?x) (

65、┐A(x)∨B(x))? (?x)┐A(x)∨ (?x)B(x) ? ┐(?x)A(x)∨(?x)B(x)? (?x)A(x)→(?x)B(x)（5）設(shè)論域D={a，b，c}，求證(?x)A(x)∨(?x)B(x)?( ?x)(A(x)∨B(x))證明：因為論域D={a，b，c}，所以 34 (?x)A(x)∨(?x)B(x)?(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ∨(B(a) ∧B(b) ∧B(c))?(A(a) ∨B(a)) ∧(A(a) ∨B(b)) ∧(A(a) ∨B(c)) ∧(A(b) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b)) ∧(A(b)∨B(c)) ∧(A(c) ∨B(a))

66、∧(A(c) ∨B(b)) ∧(A(c) ∨B(c))?(A(a) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b))∧(A(c) ∨B(c))?( ?x)(A(x)∨B(x))所以(?x)A(x)∨(?x)B(x)?(?x)(A(x)∨B(x))（6）解：推證不正確，因為┐(?x)(A(x)∧┐B(x))?┐((?x)A(x)∧(?x)┐B(x)) （7）求證(?x)(?y)(P(x)→Q(y))? (?x)P(x)→(?y)Q(y)證明：(?x)(?y)(P(x)→Q(y))?(?x)(?y)( ┐P(x) ∨Q(y))?(?x) ┐P(x) ∨(?y)Q(y)?┐(?x)P(x) ∨(?y)Q(y)?( ?x)P(x)→(?y)Q(y)習(xí)題2-6 （1）解：a) (?x)(P(x)→(?y)Q(x,y))?(?x)( ┐P(x) ∨(?y)Q(x,y))?(?x)(?y) (┐P(x) ∨Q(x,y))b) (?x)(┐((?y)P(x,y))→((?z)Q(z)→R(x)))?(?x)((?y)P(x,y)∨((?z)Q(z)→R(x)))?(?x)((?y