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1、第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系,第十章選考部分,,課前自修,知識梳理,一、與圓有關(guān)的角的概念1．圓心角：頂點在圓心，兩邊和圓相交的角叫做圓心角(如圖1中的∠AOB)．2．圓周角：頂點在圓上，兩邊和圓相交的角叫做圓周角(如圖2中的∠BAC)．3．弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角(如圖3中的∠BAT)．,二、與圓有關(guān)的角的性質(zhì)1．圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．2．圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)．推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等，在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的
2、弦是直徑．3．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．,三、圓的切線的判定和性質(zhì)1．圓的切線的判定：經(jīng)過圓的半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．2．圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．,四、與圓有關(guān)的比例線段1．相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．2．割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．3．切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．4．切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，
3、它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．,五、圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)1．圓內(nèi)接四邊形的判定：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓．推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓．2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角．,六、直線和圓的位置關(guān)系：相切，相離，相交設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有,相交,相切,相離,七、圓與圓的位置關(guān)系：相離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含設(shè)圓O1與圓O2的半徑分別為r1和r2，兩圓的圓心距為d，于是有：1．d>r1＋r2?兩圓相離．2．d＝r1＋r2?兩
4、圓外切．3．|r1－r2|
5、則∠CED＝________.,解析：連接BD，BD與EC相交于點F，設(shè)∠1＝∠CED，∠2＝∠DFE，因為∠1＝∠A＋∠ACE，∠2＝∠CDB＋∠ECD，∠CDB＝∠A，∠ECD＝∠ACE，所以∠1＝∠2，而∠ADB＝90，所以∠CED＝45.答案：45,4．(2012湖北卷)如圖所示，點D在⊙O的弦AB上移動，AB＝4，連接OD，過點D作OD的垂線交⊙O于點C，則CD的最大值為________.,解析：因為CD＝，且OC為⊙O的半徑，是定值，所以當(dāng)OD取最小值時，CD取最大值．顯然當(dāng)OD⊥AB時，OD取最小值，故此時CD＝AB＝2，即為所求的最大值．答案：2,,考點探究,,考點一,與圓有關(guān)
6、的量的計算,【例1】AB是半圓O的直徑，C，D是半圓上的兩點，半圓O的切線PC交AB的延長線于點P，∠PCB＝25，則∠ADC為________．,思路點撥：連接BD，將∠ADC分為∠ADB和∠BDC，再用弦切角定理和直徑所對的角為90，可得到結(jié)論．,解析：連接BD.∵PC是⊙O的切線，∴∠BDC＝∠PCB＝25.又AB為直徑，∴∠ADB＝90，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝∠ADB＋∠PCB＝115.答案：115,變式探究,1．(2011廣州市一模)如圖，CD是圓O的切線，切點為C，點A，B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30，則圓O的面積為________．,答案：π,,考點二,圓的切線、
7、割線定理的應(yīng)用,【例2】(2012肇慶市一模)如圖所示，點P是⊙O外一點，PD為⊙O的一切線，D是切點，割線經(jīng)過圓心O，若∠EFD＝30，PD＝2，則PE＝______________.,解析：由已知∠EFD＝30得∠POD＝60,在Rt△POD中，∠P＝90－60＝30,OD＝PDtan30＝2，PO＝4，所以PF＝PO＋OF＝4＋2＝6，又由割線定理得PD2＝PEPF，解得PE＝2.答案：2,變式探究,2．如圖，EB是⊙O的直徑，A是BE延長線上一點，過點A作⊙O的切線AC，切點為D，過點B作⊙O的切線BC，交AC于點C，若EB＝BC＝6，則AD＝________.,解析：連接OD，∵AC
8、，BC都是⊙O的切線，∴CB⊥AB，AC⊥OD，∴CD＝CB＝6，AD2＝AEAB，且△ADO∽△ABC，,∴AB＝2AD.∵AD2＝AEAB，∴AD＝2AE.∵AO＝AE＋3，在Rt△ADO中，AO2＝AD2＋OD2，∴(AE＋3)2＝4AE2＋9，解之得，AE＝2，∴AD＝4.,【例3】如圖，AB是圓O的直徑，D為圓O上一點，過D作圓O的切線交AB的延長線于點C，若DA＝DC，求證：AB＝2BC.,證明：(法一)連接OD，則OD⊥DC，又OA＝OD，DA＝DC(如右圖)，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30，∠DOC＝60，所以O(shè)C
9、＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA，所以AB＝2BC.,(法二)連接OD，BD(如右圖)．因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB＝90，AB＝2OB.因為DC是圓O的切線，所以∠CDO＝90.又因為DA＝DC，所以∠DAC＝∠DCA，于是△ADB≌△CDO，從而AB＝CO.即2OB＝OB＋BC，得OB＝BC.故AB＝2BC.,變式探究,3．(2012湖南卷)如圖所示，過點P的直線與⊙O相交于A，B兩點．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于______．,解析：設(shè)圓的半徑為r，由圓的割線定理可得，PAPB＝(PO－r)(PO＋r)，把PA＝1，PB＝1＋2＝3，PO＝3代入求解得3＝9－
10、r2，∴r＝.答案：,,考點三,直線與圓的綜合問題,【例4】(2012新課標(biāo)全國卷)如圖所示，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點．若CF∥AB，證明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.,證明：(1)因為D，E分別為AB，AC的中點,所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，連接AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CD＝AF.,因為CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因為FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝C
11、D知∠CBD＝∠CDB，而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.,變式探究,4．(2012深圳高級中學(xué)期末)如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30，則圓O的面積是____．,解析：因為直線CE和圓O相切于點C，連接OC，則OC⊥DE.又AD⊥CE，所以O(shè)C∥AD，又∠ABC＝30，∴∠AOC＝60，∴△AOC為正三角形，所以∠ACO＝∠AOC＝60，所以∠ACD＝30，所以在Rt△ADC中,AC＝R＝2AD＝2，所以圓的面積為4π.答案：4π,,考點四,四點共圓問題,【例5】如圖，已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H，
12、∠B＝60，F(xiàn)在AC上，且AE＝AF.(1)證明：B，D，H，E四點共圓；(2)證明：CE平分∠DEF.,證明：(1)在△ABC中，因為∠B＝60，所以∠BAC＋∠BCA＝120.因為AD，CE是角平分線，所以∠HAC＋∠HCA＝60，故∠AHC＝120.于是∠EHD＝∠AHC＝120.因為∠EBD＋∠EHD＝180，所以B，D，H，E四點共圓．,(2)連接BH，則BH為∠ABC的平分線，得∠HBD＝30.由(1)知B，D，H，E四點共圓，所以∠CED＝∠HBD＝30.又∠AHE＝∠EBD＝60，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30.所以CE平分∠DEF.點評：抓住角度相等或互補，轉(zhuǎn)化為四
13、點共圓，另一方面，利用四點共圓，可以得到相關(guān)的角度相等．,變式探究,5．(2012深圳市松崗中學(xué)模擬)如圖，在△ABC中，∠A＝60，∠ACB＝70，CF是△ABC的邊AB上的高，F(xiàn)P⊥BC于點P，F(xiàn)Q⊥AC于點Q，則∠CQP的大小為__________．,解析：因為∠AQF＝∠CPF＝90，所以P，C，Q，F(xiàn)四點共圓，所以∠CQP＝∠CFP，在Rt△AFC和Rt△BFC中，∠PCF＝∠ACB－∠ACF＝70－30＝40，在Rt△CPF中，得∠CFP＝90－∠PCF＝50，所以∠CQP＝∠CFP＝50.答案：50,1．和圓有關(guān)的問題，常常以與圓有關(guān)的角(圓心角、圓周角、弦切角等)作為條件，因此
14、熟練掌握、運用這些角的性質(zhì)，是順利解決問題的關(guān)鍵．2．和圓有關(guān)的問題，常常要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，轉(zhuǎn)化為相似三角形問題來解決.,,感悟高考,品味高考,1．(2012北京卷)如圖所示，∠ACB＝90，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E，則()A．CECB＝ADDBB．CECB＝ADABC．ADAB＝CD2D．CEEB＝CD2,解析：對于A，CECB＝CD2＝ADDB；對于B，CECB＝CD2≠AC2＝ADAB；對于C，CD2＝ADDB≠ADAB；對于D，ED2＝CEEB≠CD2.答案：A,2．(2012廣東卷)如圖所示，直線PB與圓O相切于點B，D是弦AC上的點，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，則AB＝______.,高考預(yù)測,1．(2012佛山市一模)如圖，P為圓O外一點，由P引圓O的切線PA與圓O相切于A點，引圓O的割線PB與圓O相交于C點．已知AB⊥AC，PA＝2，PC＝1，則圓O的面積為________．,解析：由切割線定理得PA2＝PC(PC＋BC)，因為PA＝2，PC＝1，所以BC＝3，所以圓O的半徑為.所以圓O面積為答案：,2．(2012惠州市一模)如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90，BC＝4，AC＝3，以AC為直徑作圓O交AB于D，則CD＝________.,感謝您的使用，退出請按ESC鍵,本小節(jié)結(jié)束,
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