2019高中數(shù)學(xué) 第一章 坐標(biāo)系 三 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程高效演練 新人教A版選修4-4

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1、 三、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程 1．4ρ?sin2 ＝5?表示的曲線是(??? ) [A?級(jí) 基礎(chǔ)鞏固] 一、選擇題 θ 2 A．圓 C．雙曲線的一支 B．橢圓 D．拋物線 ＝5??4ρ????????? ＝5??2ρ?＝2ρ?cos??θ?＋5.因?yàn)??ρ?＝???x2＋y2，ρ?cos 解析：4ρ?sin2 θ?1－cos?θ 2????????????2 θ?＝x，代入上式得?2???x2＋y2＝2x＋5，兩邊平方整理得?y2＝5x＋ ，所以它表示的曲

2、線為拋物 25 4 線． 答案：D 2．圓?ρ?＝?2(cos?θ?＋sin?θ?)的圓心的極坐標(biāo)是( ) ??? π?? 4?? A.?1，???÷ ?1 π?? è2?? 4?? ? π?? 4?? C.????2，???÷ ??? π?? 4?? D.?2，???÷ è è B.??，?÷ è ????2?????????????????? ??? π?? ??? ，?? ÷，化為極坐標(biāo)是?1，???÷. 解析：將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程是?x2＋y2－?2x－?2y

3、＝0，圓心的直角坐標(biāo)是 è?2 2?? è 4?? 答案：A 3．極坐標(biāo)方程?ρ?＝asin?θ?(a＞0)所表示的曲線的圖形是( ) 解析：如圖所示． 1 設(shè)?M(ρ?，θ?)是圓上任意一點(diǎn)，則∠ONM＝∠MOx＝θ?， 在? NMO?中，|OM|＝|ON|sin?∠ONM， 即?ρ?＝2rsin?θ?＝asin?θ?. 答案：C 4．已知點(diǎn)?P?的極坐標(biāo)是(1，π?)，則過(guò)

4、點(diǎn)?P?且垂直于極軸的直線的方程是( ) cos??θ cos??θ A．ρ?＝1 C．ρ?＝－  1 B．ρ?＝cos?θ 1 D．ρ?＝ 解析：設(shè)?M?為所求直線上任意一點(diǎn)(除?P?外)，其極坐標(biāo)為(ρ?，θ?)，在直角三角形?OPM?中 (O?為極點(diǎn))，ρ?cos|π?－θ?|＝1，即?ρ?＝－ 1 cos?θ  .經(jīng)檢驗(yàn)，(1，π?)也適合上述方程． A．θ?＝0(ρ?∈R)和?ρ?cos??θ?＝2? B．θ?＝ (ρ?∈R)和?ρ?cos??θ?＝2 C．θ?＝ (ρ?∈R)和?

5、ρ?cos??θ?＝1? D．θ?＝0(ρ?∈R)和?ρ?cos??θ?＝1 1)2＋y2＝1，其垂直于極軸的兩條切線方程為?x＝0?和?x＝2，相應(yīng)的極坐標(biāo)方程為?θ?＝ (ρ?∈R) 6．在極坐標(biāo)系中，圓?ρ?＝4?被直線?θ?＝ 分成兩部分的面積之比是________． 解析：因?yàn)橹本€?θ?＝ 過(guò)圓?ρ?＝4?的圓心，所以直線把圓分成兩部分的面積之比是?1∶1. 7．在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)?A?1，???÷，點(diǎn)?B?在直線?l：ρ?cos??θ?＋ρ?sin??θ?＝0?上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線 答案：C 5．在極坐標(biāo)系中，圓?ρ?＝2cos?θ?的垂直于極軸的兩條切線方程分別為( )

6、 π 2 π 2 解析：由?ρ?＝2cos?θ?，得?ρ?2＝2ρ?cos?θ?，化為直角坐標(biāo)方程為?x2＋y2－2x＝0，即(x－ π 2 和?ρ?cos?θ?＝2. 答案：B 二、填空題 π 4 π 4 答案：1∶1 ? π?? è 2?? 段?AB?最短時(shí)，點(diǎn)?B?的極坐標(biāo)是________． 解析：將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)得為：A(0，1)，l：x＋y＝0，設(shè)點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為(x，－x)，則 |AB|＝?x2＋（x＋1）2＝?2x2＋2x＋1. 2 1

7、? 1 1? ????2 3π?? è?2?，??4?? 當(dāng)?x＝－??時(shí)，|AB|取最小值，所以此時(shí)點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為?－??，?÷，化為極坐標(biāo)為? ÷. 答案：????2 3π?? ????????????????????????????? ? 7π?? 8．已知直線?l?的極坐標(biāo)方程為?2ρ?sin?θ?－???÷＝???2，點(diǎn)?A?的極坐標(biāo)為?A?2???2，?? ÷，則 解析：由?2ρ?sin?θ??－???÷＝???2得?y－x＝1.所以?x－y＋1＝0.而點(diǎn)?A?對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為?A(2， －2)，則點(diǎn)?A(2，－2)到直線?x－y＋1＝0?的距離為????????

8、＝??? . 2 2 9．已知雙曲線的極坐標(biāo)方程為?ρ?＝????????? ，過(guò)極點(diǎn)作直線與它交于?A、B?兩點(diǎn)，且|AB| 1－2cos??θ???1???? 1－2cos（θ???1＋π?） 1＋2cos??θ???1 ??????????????????????? ?????????????? ? |AB|＝|ρ???1＋ρ???2|＝? ?1－2cos??θ???1 1＋2cos??θ???1?????1－4cos2θ???1?， 1－4cos2θ???1 2 è 2 2? è?2?，?4?? 4?? è è 4?? 點(diǎn)?A?到直線?l?

9、的距離為_(kāi)_______． ? π?? è 4?? |2＋2＋1| 5?2 2 5?2 答案： 三、解答題 3 1－2cos?θ ＝6.求直線?AB?的極坐標(biāo)方程． 解：設(shè)直線?AB?的極坐標(biāo)方程為?θ?＝θ?1，A(ρ?1，θ?1)， B(ρ?2，θ?1＋π?)， 3 3 3 ρ?1＝ ，ρ?2＝ ＝ . 3 3 6 ＋ ?＝? ? 1 所以 ＝±1， 2 所以?cos?θ?1＝0?或?cos?θ?1＝± 2  ， 故直線?AB?的極坐標(biāo)方程分別為?θ?＝ ，θ?＝ 或

10、?θ?＝?? . π π 3π 2 4 4 10．已知圓?C：x2＋y2＝4，直線?l：x＋y＝2，以?O?為極點(diǎn)，x?軸的正半軸為極軸，取相同 的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系． (1)將圓?C?和直線?l?方程化為極坐標(biāo)方程； (2)P?是?l?上的點(diǎn)，射線?OP?交圓?C?于點(diǎn)?R，又點(diǎn)?Q?在?OP?上且滿(mǎn)足|OQ|·|OP|＝|OR|2，當(dāng)點(diǎn) P?在?l?上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)?Q?軌跡的極坐標(biāo)方程． 解：(1)將?x＝ρ?cos?θ?，y＝ρ?sin?θ?分別代入圓?C?和直線?l?的直角坐標(biāo)方程得其極坐標(biāo) 方程為?C：ρ?＝2， 3

11、 1．在極坐標(biāo)方程中，曲線?C?的方程是?ρ?＝4sin?θ?，過(guò)點(diǎn)?4，???÷作曲線?C?的切線，則切線 l：ρ?(cos?θ?＋sin?θ?)＝2. (2)設(shè)?P，Q，R?的極坐標(biāo)分別為(ρ?1，θ?)，(ρ?，θ?)(ρ?2，θ?)， 則|OQ|·|OP|＝|OR|2?得?ρ?ρ?1＝ρ?2. 2 2ρ ?????????? ，所以?????????? 又?ρ?2＝2，ρ?1＝cos?θ?＋sin?θ cos?θ?＋sin?θ?＝4， 故點(diǎn)?Q?軌跡的極坐標(biāo)方程為?ρ?＝2(cos?θ?＋sin?θ?)(ρ?≠0)． B?級(jí) 能力提升

12、 ? π?? è 6?? 長(zhǎng)為( ) A．4 C．2?2 B.?7 D．2?3 解析：ρ?＝4sin??θ??化為直角坐標(biāo)方程為?x2＋(y－2)2＝4，點(diǎn)?4，???÷化為直角坐標(biāo)為(2???3， ? 3π?? 點(diǎn)(－1，1)的極坐標(biāo)為????2，?? ÷. ? π?? è 6?? 2)． 切線長(zhǎng)、圓心到定點(diǎn)的距離及半徑構(gòu)成直角三角形， 由勾股定理，得切線長(zhǎng)為?（2?3）2＋（2－2）2－22＝2?2. 答案：C 2．在極坐標(biāo)系(ρ?，θ?)(0≤θ?<2π?)中，曲線?ρ?＝2sin?θ?與?ρ

13、?cos?θ?＝－1?的交點(diǎn)的極 坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：由?ρ?＝2sin?θ?，得?ρ?2＝2ρ?sin?θ?， 其直角坐標(biāo)方程為?x2＋y2＝2y. ρ?cos?θ?＝－1?的直角坐標(biāo)方程為?x＝－1. ? ? ìx2＋y2＝2y， ìx＝－1， 聯(lián)立í 解得í ? ? ?x＝－1， ?y＝1. è 4?? 答案：????2， 3π?? 4?? ? è  ÷ 程為?ρ?sin?θ?＋???÷＝?? ，圓?C：?x＋?? ÷??＋?y＋?? ÷??＝r2. 3．在直角坐標(biāo)系?xOy?中，以?

14、O?為極點(diǎn)，x?軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，直線?l?的極坐標(biāo)方 ? π?? 2 ? 2?2 ? 2?2 2?? è 4?? 2 è è 2?? (1)求圓心?C?的極坐標(biāo)； (2)當(dāng)?r?為何值時(shí)，圓?C?上的點(diǎn)到直線?l?的最大距離為?3. 4 解：(1)圓?C：?x＋????2?2＋?y＋????2?2 ÷??＝r2?的圓心?C?的直角坐標(biāo)為?－ 2??，－??2?? ? ?  è?2???è?2???è 2?????2? ÷. ? ÷ ? 因?yàn)?ρ?＝ ?－ 2?2＋?－ è 2??

15、 è 2?2 ÷?＝1， 2?? 又?tan??θ?＝1?且?C?在第三象限，所以?θ?＝5π ? 5π?? 所以圓心?C?的極坐標(biāo)為?1， ÷. (2)由?ρ?sin?θ?＋???÷＝????2 2??，得?ρ?cos??θ?＋ρ?sin??θ?＝1. 4?. è 4?? ? π?? è 4?? 所以直線?l：x＋y－1＝0. 圓?C：?x＋ 2??，－??2?? ? è 2?2?????2?2?????2?????2? ÷?＋?y＋?÷?＝r2?的圓心?－?÷ 2???è?2???è 到直線?l?的距離為 2??－????2 ＝1＋????2 ? ?－ d＝? 2?? 2?－1? 2???????????2?， 因?yàn)閳A?C?上的點(diǎn)到直線?l?的最大距離為?3， 所以?1＋????2 2?＋r＝3，即?r＝2－ 2 2?， 所以當(dāng)?r＝2－????2 2?時(shí)，圓?C?上的點(diǎn)到直線?l?的最大距離為?3. 5