2.2矩陣的運算【沐風教學】

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1、第二節(jié) 矩陣的運算矩陣的線性運算矩陣的線性運算矩陣的乘法矩陣的乘法矩陣的冪乘矩陣的冪乘矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置方陣的行列式方陣的行列式共軛矩陣共軛矩陣一、線性運算一、線性運算1.1.加、減法加、減法 mnmnmmmmnnnnijijbababababababababaBABABAbBaAnm221122222221211112121111,),()(1規(guī)定為規(guī)定為記作記作的和的和與與那么矩陣那么矩陣和和矩陣矩陣設(shè)有兩個設(shè)有兩個定義定義)()()2()1(.CBACBAABBA算規(guī)律加法運算滿足以下的運).(.0)(,)(),(BABAAAAaAaAijij由此規(guī)定矩陣的減法為然有顯的負矩陣稱為矩陣

2、記設(shè)矩陣注意注意:只有當兩個矩陣是同類型的矩陣時只有當兩個矩陣是同類型的矩陣時,才能進行加法運算才能進行加法運算2.2.數(shù)乘數(shù)乘規(guī)定為規(guī)定為或或的乘積記作的乘積記作與矩陣與矩陣數(shù)數(shù)定義定義,2 AAAnmmnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211),(為數(shù)矩陣為同類型設(shè)規(guī)律數(shù)乘矩陣滿足以下運算nmBA)()()1(AA.,統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為矩矩陣陣的的線線性性運運算算起起來來矩矩陣陣相相加加與與數(shù)數(shù)乘乘矩矩陣陣合合AAA)()2(BABA)()3(二二、矩陣與矩陣的乘法、矩陣與矩陣的乘法)1(132322212123132121111 xaxaxayxaxaxay設(shè)有線性變換設(shè)有線性

3、變換引例引例)2(232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx便得式式代入可將的線性變換到若想求出從,)1()2(,2121yytt)3()()()()(232232222122113123212211212232132212121113113211211111tbababatbababaytbababatbababay即所對應(yīng)的矩陣的乘積與所對應(yīng)的矩陣定義為相應(yīng)把的乘積與為線性變換稱線性變換的結(jié)果再作線性變換可看成是先作線性變換線性變換,)2()1()3(,)2()1()3(.)1()2()3(32232222122131232122112132132212121

4、1311321121111babababababababababababa323122211211232221131211bbbbbbaaaaaa.,2332:矩陣的行數(shù)相等前面矩陣的列數(shù)與后面即而第二個矩陣為第一個矩陣為注意其中記作矩陣的乘積是一個與規(guī)定矩陣,),(ABCcCnmBAij),1;,1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiij那那么么矩矩陣陣是是矩矩陣陣是是設(shè)設(shè)定定義義,)(,)(32nsbBsmaAijij smijaA)(nsijbB)(一般地，有一般地，有nmijc)(sjisjijiijbababac2211ABC)(21isiiaaasjj

5、jbbb21ijcnssmnmBACBCABdABCcBCbACaC，B，A )()()()().(,1333223則則下下列列運運算算可可行行的的是是有有例例TTmnnmABdBAcABbBAannmBA)()()()()()().(,)(,2階方陣的是則下列運算結(jié)果為有例 431102311014201213013計算計算例例 解解32 1.4+0.(-1)+3.2+-1.11.1+0.1+3.0+-1.31.0+0.3+3.1+-1.42.4+1.(-1)+0.2+2.11.1+1.2+0.0+2.32.0+1.3+0.1+2.4321199129 )()().1BCACAB乘法結(jié)合律2

6、.2.矩陣乘法的運算規(guī)律矩陣乘法的運算規(guī)律矩陣的乘法滿足以下規(guī)律矩陣的乘法滿足以下規(guī)律CABAACBACABCBA)()().2 乘法分配律矩陣乘法的運算法則與數(shù)的乘法的運算法則的不同點矩陣乘法的運算法則與數(shù)的乘法的運算法則的不同點BAAB 矩矩陣陣乘乘法法不不滿滿足足交交換換律律).142002412,12002011BAABB，A但如AB是是A左乘左乘B，BA是是A右乘右乘B。顯然，。顯然，AB能成立，能成立，BA不一定能成立不一定能成立3).3).兩個非零矩陣相乘的結(jié)果可能是零矩陣兩個非零矩陣相乘的結(jié)果可能是零矩陣若若 AB=0AB=0時時,一般不能得出一般不能得出A A、B B中至少有

7、一個為零矩陣的中至少有一個為零矩陣的結(jié)論結(jié)論.0,0,0000,1000,0001 BAABBA而而則則如如對于某些特殊的矩陣可能有對于某些特殊的矩陣可能有AB=BA,這時稱這時稱A、B是可交換的矩陣是可交換的矩陣CBACABCBA但如,.0000,1000,0001CBACAB 矩陣乘法不滿足消去律矩陣乘法不滿足消去律).2.,),(32121，BAABbbbBaaaAnn求求設(shè)矩陣設(shè)矩陣例例 niiinnnnbabababaBA1221111解nnnnnnnnnnabababababababababAB 21222121211111.:矩矩陣陣的的每每行行中中提提出出來來從從即即不不能能分

8、分別別把把有有公公因因子子不不能能認認為為矩矩陣陣注注意意ibBA.210114階階矩矩陣陣可可交交換換的的全全體體求求可可與與例例 A.,的元素素的方程求解列出對應(yīng)元由可交換的矩陣為設(shè)與分析BBAABBA即由階方陣為可交換的設(shè)與解,.24321BAABxxxxBA,1011101143214321xxxxxxxx434332142131xxxxxxxxxxxx得為任意取值23140 xxxx.,0221121為任意常數(shù)其中階方陣為可交換的全體故與xxxxxBA434231xxxxxx即由矩陣相等的定義由矩陣相等的定義,得得 433211xxxxxx.,5相相等等的的主主對對角角線線上上元元素

9、素之之和和與與證證明明階階方方陣陣均均為為和和設(shè)設(shè)例例BAABnBAnnijnnijnnijnnijdBADcABCbBaA)(,)(,)(,)(且記設(shè)證niiniiiiiibababacC2211的主對角線上的元素則,),2,1(1nkkiikiinibac即 nininkkiikiibac111)(和為的主對角線上的元素之于是矩陣C和為的主對角線上的元素之可得同理BAD,niniiinkkiiknkniikkinkkkcbaabd111111)()(.和相等的主對角線上的元素之與故BAAB例例6 用矩陣方程表示下式線性方程組用矩陣方程表示下式線性方程組 mnmnmmnnnnbxaxaxab

10、xaxaxabxaxaxa21112222212111212111解解 mnmmnnnmaaaaaaaaaAxxxxbbbb2122221112112121,令令很容易驗證得很容易驗證得 Ax=b1 1、定義、定義 設(shè)設(shè)A A是一個是一個n n階矩陣，對于正整數(shù)階矩陣，對于正整數(shù)k,k,個kkAAAA稱為稱為A A的的k k次冪次冪。三、矩陣的冪乘三、矩陣的冪乘lk,kllklklkAAAAA,2 2、冪乘的運算規(guī)律：任意正整數(shù)、冪乘的運算規(guī)律：任意正整數(shù),有有,)(kkkBAAB但一般來說)()42)()3)()22)()1?,2222222222EAEAEAEAEAEABABABABABA

11、BAnEnBA 以下式子哪些成立以下式子哪些成立階單位矩陣階單位矩陣為為階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)例題例題?式子可以成立式子可以成立在什么條件下不成立的在什么條件下不成立的不成立的原因是什么不成立的原因是什么什么什么以上式子成立的原因是以上式子成立的原因是?)(,nEA你能推導(dǎo)出公式你能推導(dǎo)出公式一般地一般地EACACACAEAnnnnnnnn 12211)(.3次次冪冪的的方方法法的的求求矩矩陣陣nA方法一方法一 數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法.,32再用數(shù)學歸納法證明之的規(guī)律發(fā)現(xiàn)等先計算kAAAnAA求設(shè)例,10111102110111011101122A解1031,23AAA同理猜想猜想101nAn.1

12、011,101,1成立下證成立時假設(shè)kAkAknkk.,10111011101,1結(jié)論成立事實上kkAAAkk方法二方法二 利用二項展開公式利用二項展開公式 將矩陣將矩陣A A分解成分解成A=F+G,A=F+G,要求矩陣要求矩陣F F與與G G的方冪容易計算的方冪容易計算,且且FG=GF.FG=GF.一般地一般地,F,F和和G G有一個是單位矩陣有一個是單位矩陣E E時時,計算更加容易計算更加容易.EBCBCBCBEBnnnnnnnn12211)(應(yīng)用二項展開公式.1方法求解例以下用二項展開公式的EBAA100100101011分解先將矩陣解)2(0,0000001000102nBBn從而因n

13、BEBBCBCEBEAnnnnn221)(于是10100101001nnkAA試求已知矩陣例,0010012000100010000100010000000BB，EA其中解故由二項展示公式得可交換與即且滿足可以驗證,),()(0,000000100432BEEBBBEBBBB22211)()()()(BECBECEBEAnnnnnnn221)1(BnnBnEnnnnnnnnnnnn0002)1(121你能用數(shù)學歸納法的思想求出這一結(jié)論嗎你能用數(shù)學歸納法的思想求出這一結(jié)論嗎?作業(yè)！作業(yè)！nAnnnnnnnnnnnnA求設(shè)例,1111111113nBBBBnEAA2,111111111,1容易得出

14、其中分解成將解nBnBnEBnEBnEBnEA2222221212)1(于是.),(1AAABnEn故冪等矩陣,).(1,利用乘法結(jié)合律列矩陣矩陣都是其中若nAT.,),31,21,1(,)3,2,1(nTAA求設(shè)已知例方法三方法三 利用乘法結(jié)合律利用乘法結(jié)合律得應(yīng)用矩陣乘法的結(jié)合律因為解,3321)31,21,1(T則有是一個數(shù)并注意,TTTTT)()(TkT1)()()(1TkTAkT1)()()(TTTkA)()()(TTTnTnA因為TTTT)()(TnT1)(AnT1)()()(1TnT 123332123121133,2,131211311nn 123332123121131n 除

15、了以上求矩陣冪的方法以外除了以上求矩陣冪的方法以外,還有應(yīng)用矩陣的分塊求矩陣的還有應(yīng)用矩陣的分塊求矩陣的冪冪;利用相似矩陣對角化的方法求矩陣冪利用相似矩陣對角化的方法求矩陣冪.這些方法將在后續(xù)的內(nèi)這些方法將在后續(xù)的內(nèi)容中介紹容中介紹.四、四、矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置.,.,51為為對對稱稱矩矩陣陣稱稱矩矩陣陣時時當當記記作作的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置矩矩陣陣陣陣叫叫做做矩矩到到的的矩矩陣陣的的行行換換成成同同序序數(shù)數(shù)的的列列得得把把矩矩陣陣定定義義AAAAAA TT 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置矩矩陣陣為為矩矩陣陣例例如如 113021A 101231TA:,2滿滿足足下下述述運運算算規(guī)規(guī)律律算算矩矩陣陣的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置也也是是一

16、一種種運運 AATT)()1(TTTBABA)()2(TTAA)()3(TTTABAB)()4(10011A已已知知矩矩陣陣例例TABB)(,0110,求1001TA解0110,TB0110)(TTTBAAB故這一解法是否正確這一解法是否正確?正確如何解正確如何解?2311021A已知例102324171,BTAB)(,求1023241712311021AB因為解法10131731401031314170)(TAB所以TTTABAB)(2解法1031314170213012131027241單位階為滿足設(shè)列矩陣例nEXXxxxXTTn,1),(221.,2,EHHHXXEHTT且是對稱陣證明矩

17、陣22221121121),(),(:nnnTnnTxxxxxxxxxXX注意TTTXXEH)2(證TTTXXE)2(.,2)(2是對稱矩陣所以HHXXEXXETTTT22)2(TTXXEHHH)(44TTTXXXXXXETTTXXXXXXE)(44EXXXXETT44.0,0:.3AAAnAT則若證明階實方陣是設(shè)例.0,0,AAAAAATT比較對應(yīng)元素即可得由計算的元素設(shè)出分析nnnnnnnnnnnnTnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaAACaaaaaaaaaA212221212111212222111211212222111211,則設(shè)解2222122222221212122

18、11nnnnnnaaaaaaaaa)(,0素只考慮主對角線上的元得由TAAC),2,1(022221niaaaciniiii0,),2,1,(0Anjiaij故于是然而，對于矩陣然而，對于矩陣 和和2 2、方陣、方陣A A的行列式具有下列性質(zhì)：矩陣的行列式具有下列性質(zhì)：矩陣B B是與是與A A同階的方陣同階的方陣五、方陣的行列式五、方陣的行列式1 1、定義、定義 n n階矩陣階矩陣A A的元素按原有的位置構(gòu)成的行列式，的元素按原有的位置構(gòu)成的行列式，稱為矩陣稱為矩陣A A的行列式，記作的行列式，記作detAdetA或或ATAAdetdetAkkAndet)det(BAABdetdetdet sAAA,21nnAAAAAA2121nmAmnBBAABBAABdetdet)det(),det()det(性質(zhì)性質(zhì)3 3 可以推廣到有限個方陣乘積行列式的情形。即若可以推廣到有限個方陣乘積行列式的情形。即若均為均為n n階矩陣，則階矩陣，則，即使，即使ABAB和和BABA都有意義，都有意義，一般地，有一般地，有作業(yè)：書本作業(yè)：書本53頁第頁第3、4（2）（）（4）（）（5）、）、5、8、9、10