2.5矩陣的秩及其求法-矩陣秩求法【沐風(fēng)教學(xué)】

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1、一、矩陣秩的概念一、矩陣秩的概念二、矩陣秩的求法二、矩陣秩的求法第四節(jié)矩陣的秩及其求法 第二章 三、滿秩矩陣三、滿秩矩陣1優(yōu)講課堂1.k 階子式階子式定義定義1 設(shè)設(shè) nmijaA在在A中任取中任取k 行行k 列交叉列交叉),min1(nmkk稱為稱為A的一個(gè)的一個(gè)k 階子式。階子式。階行列式，階行列式，處元素按原相對(duì)位置組成的處元素按原相對(duì)位置組成的一、矩陣的秩的概念一、矩陣的秩的概念2優(yōu)講課堂設(shè)設(shè)110145641321A，例如例如矩陣矩陣A 的第一、三行，第二、四列相交處的元素的第一、三行，第二、四列相交處的元素所構(gòu)成的二階子式為所構(gòu)成的二階子式為10122D而1015643213D為為

2、 A 的一個(gè)三階子式。的一個(gè)三階子式。顯然，顯然，nm矩陣矩陣 A 共有共有knkmcc個(gè)個(gè) k 階子式。階子式。3優(yōu)講課堂2.矩陣的秩矩陣的秩nmijaA設(shè)，有有r 階子式不為階子式不為0 0，任何任何r+1階階記作記作R(A)或秩或秩(A)。子式子式(如果存在如果存在的話的話)全為全為0,定義定義2稱稱r為矩陣為矩陣A的秩，的秩，4優(yōu)講課堂規(guī)定：規(guī)定：零矩陣的秩為零矩陣的秩為 0.注意：注意：(1)如如 R(A)=r，則，則 A 中至少有一個(gè)中至少有一個(gè) r 階子階子式式0,rD 所有所有 r+1 階子式為階子式為 0，且更高階，且更高階子式均為子式均為 0，r 是是 A 中非零的子式的最

3、高階數(shù)中非零的子式的最高階數(shù).(2)由行列式的性質(zhì)，由行列式的性質(zhì)，()().TR AR A(3)R(A)m,R(A)n,0 R(A)min m,n .(4)如果如果 Ann ,且且0,A 則則 R(A)=n.反之，如反之，如 R(A)=n,則則0.A 因此，方陣因此，方陣 A 可逆的可逆的充分必要條件充分必要條件是是 R(A)=n.5優(yōu)講課堂二、矩陣秩的二、矩陣秩的求法求法1、子式判別法、子式判別法(定義定義)。例例1設(shè)000007204321B為階梯形矩陣，為階梯形矩陣，求R(B)。解解02021，由于由于存在一個(gè)二階子式不為存在一個(gè)二階子式不為0，而，而任何三階子式全為任何三階子式全為0

4、，則則 R(B)=2.結(jié)論：階梯形矩陣的秩結(jié)論：階梯形矩陣的秩=臺(tái)階數(shù)。臺(tái)階數(shù)。6優(yōu)講課堂010010100321A 3AR001021B 2BR例如例如100010011C 3CR125034000D2R D 21235081530007200000E 3R E 一般地，一般地，行階梯形矩陣的秩等于其行階梯形矩陣的秩等于其“臺(tái)階數(shù)臺(tái)階數(shù)”非零行的行數(shù)。非零行的行數(shù)。7優(yōu)講課堂aaaA111111,3AR如果1a求 a.解解 3ARaaaA1111110)1)(2(2aa或2a例例2 設(shè)8優(yōu)講課堂KKKKA111111111111 3AR則K3例例3311111113(1)(3)111111K

5、AKKKKK9優(yōu)講課堂2、用初等變換法求矩陣的秩、用初等變換法求矩陣的秩定理定理2 矩陣初等變換不改變矩陣的秩矩陣初等變換不改變矩陣的秩。即BA則)()(BRAR說(shuō)明：說(shuō)明：jirr.1只改變子行列式的符號(hào)。只改變子行列式的符號(hào)。irk.2是是 A 中對(duì)應(yīng)子式的中對(duì)應(yīng)子式的 k 倍。倍。jikrr.3是行列式運(yùn)算的性質(zhì)。是行列式運(yùn)算的性質(zhì)。由于初等變換不改變矩陣的秩，由于初等變換不改變矩陣的秩，而任一而任一nmA都等價(jià)都等價(jià)于行階梯矩陣。于行階梯矩陣。其秩等于它的非零行的行數(shù)，即為其秩等于它的非零行的行數(shù)，即為.AR所以可以用初等變換化所以可以用初等變換化 A 為階梯矩陣來(lái)求為階梯矩陣來(lái)求A的

6、秩。的秩。10優(yōu)講課堂例例4211163124201A解解R(A)=2 000021104201，21102110420113rr 122rrA求.AR11優(yōu)講課堂,2,6352132111，求）（且設(shè)ARA4580443021116352132111A015044302111,2)(AR1,501,05例例512優(yōu)講課堂三、滿秩矩陣三、滿秩矩陣,nAR稱稱 A 是是滿秩陣滿秩陣，（，（非奇異矩陣非奇異矩陣）,nAR稱稱 A 是是降秩陣降秩陣，（，（奇異矩陣奇異矩陣）可見(jiàn)可見(jiàn)：0AnARA 為為 n 階方陣時(shí)，階方陣時(shí)，定義定義313優(yōu)講課堂定理定理3設(shè)設(shè)A是滿秩方陣，則存在初等方陣是滿秩方陣

7、，則存在初等方陣.,21sPPP使得使得EAPPPPss121,對(duì)于滿秩方陣對(duì)于滿秩方陣A施行初等行變換可以化為單位陣施行初等行變換可以化為單位陣E,又根據(jù)初等陣的作用：又根據(jù)初等陣的作用：每對(duì)每對(duì)A施行一次初等行變換，施行一次初等行變換，相當(dāng)于用一個(gè)對(duì)應(yīng)的初等陣左乘相當(dāng)于用一個(gè)對(duì)應(yīng)的初等陣左乘A,由此得到下面的由此得到下面的定理定理14優(yōu)講課堂例如例如它的行最簡(jiǎn)形是它的行最簡(jiǎn)形是 n 階單位陣階單位陣 E.EAnAR nEAnAR213212321A320430321320110001E100010001 3AR對(duì)于滿秩矩陣對(duì)于滿秩矩陣A，A為滿秩方陣。15優(yōu)講課堂定理定理5 5 R(AB)

8、R(A),R(AB)R(B),即R(AB)minR(A)，R(B)。關(guān)于矩陣的秩的一些重要結(jié)論：關(guān)于矩陣的秩的一些重要結(jié)論：性質(zhì)性質(zhì)1 1設(shè)設(shè)A是是nm矩陣，矩陣，).()()(ABRnBRARB是是tn矩陣，矩陣，性質(zhì)性質(zhì)2 2 如果如果 A B=0 則則.)()(nBRAR性質(zhì)性質(zhì)3 3 如果如果 R(A)=n,如果如果 A B=0 則則 B=0。性質(zhì)性質(zhì)4 4 設(shè)設(shè)A,B均為均為 nm矩陣，則矩陣，則).()()(BRARBAR16優(yōu)講課堂設(shè)設(shè)A為為n n階矩陣，證明階矩陣，證明R(A+E)+R(A-E)n證：證：(A+E)+(E-A)=2E R(A+E)+R(E-A)R(2E)=n而而 R(E-A)=R(A-E)R(A+E)+R(A-E)n例例817優(yōu)講課堂作業(yè)作業(yè)P109 1 2 318優(yōu)講課堂