思維特訓(xùn) 角的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

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1、思維特訓(xùn)（二^一一）角的運(yùn)動(dòng) 問(wèn)題 思維特訓(xùn)（二十^一一）角的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 方法點(diǎn)津? 角的運(yùn)動(dòng)主要包括角的旋轉(zhuǎn)、折疊以及三角 尺的旋轉(zhuǎn)? 解決策略：在某一時(shí)刻，利用角的位置（大 ?。?，建立方程求解，或借助整體思想、分類討 論思想、數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行探究與求解. 典題精練? 類型一角的折疊 1 ⑴如圖21—S—1①，OC是ZAOB內(nèi)的 一條射線.將OB，OA向ZAOB內(nèi)部翻折，使 射線OA, OB都與射線OC重合，折痕分別為 OE, OF,ZEOF=25°,求ZAOB 的度數(shù)； ⑵如圖②，ZMON=20°, OC 是ZMON 內(nèi)部的一條射線，第一次操作分為兩個(gè)步驟：第 涉：將OC

2、沿OM向ZMON外部翻折，得到 OM],第二步：將OC沿ON向ZMON外部翻 折，得到ON”第二次操作也分為兩個(gè)步驟：第 涉：將OC沿OM1向ZMON外部翻折，得到 OM2；第二步：將OC沿ON]向ZMON外部翻 折，得到ON2 ；…依此類推，在 次操 作的第 步恰好第一次形成一個(gè)周角，并 求ZMOC的度數(shù). 圖 21—S—1 類型二射線的旋轉(zhuǎn) 2?如圖 21-S-2, ZAOB=90。，射線 OC 繞點(diǎn)O從OA位置開(kāi)始，以每秒4。的速度按順 時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；同時(shí)，射線OD繞點(diǎn)O從OB 位置開(kāi)始，以每秒1。的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐?轉(zhuǎn)?當(dāng)OC與OA成180。角時(shí)，OC與OD同時(shí)

3、停止旋轉(zhuǎn). ⑴當(dāng)OC旋轉(zhuǎn)10秒時(shí)，ZCOD = ⑵當(dāng)OC與OD的夾角是30。時(shí)，求旋轉(zhuǎn)的 時(shí)間； ⑶當(dāng)OB平分ZCOD時(shí)，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間. 圖 21-S-2 3?如圖 21-S-3，ZAOB=20°，ZAOE = 100°，OB 平分ZAOC，OD 平分ZAOE. ⑴求ZCOD的度數(shù)； (2)假設(shè)以O(shè)為觀察中心，OA為正東方向， 那么射線OD的方向角是 ； ⑶假設(shè)ZAOE的兩邊OA, OE分別以每秒 5。、每秒3。的速度，同時(shí)繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐?轉(zhuǎn)，當(dāng)OA回到原處時(shí)，OA, OE停止運(yùn)動(dòng)，那 么經(jīng)過(guò)幾秒，ZAOE=42°? 圖 21—S—3 類型三角的旋轉(zhuǎn) 4?如圖21—

4、S—4①,射線OC，OD在ZAOB 的內(nèi)部，且ZAOB=150°，ZCOD=3O°，射線 OM，ON 分別平分ZAOD，ZBOC. (1)求ZMON的度數(shù)； ⑵如圖②，假設(shè)Z AOC = 15°，將ZCOD 繞點(diǎn)O以每秒x°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)10 秒,此時(shí) 7 ZAOM=11ZBON，如圖③所示，求x的值. 圖 21-S-4 類型四三角尺的旋轉(zhuǎn) 5 ?將一副三角尺如圖21—S—5①所示擺放 在直線AD上（三角尺OBC和三角尺 MON, ZOBC = 90°, ZBOC = 45°, ZMON = 90°, ZMNO=30。），保持三角尺OBC不動(dòng)，將三角 尺M(jìn)ON繞點(diǎn)O以每秒10。

5、的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒? ⑴當(dāng)t= 時(shí)，OM平分ZAOC,如 圖②，此時(shí)ZNOC—ZAOM= （2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角尺 MON,如圖③，使得 OM, ON同時(shí)在直線OC的右側(cè)，猜測(cè)ZNOC 與ZAOM有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由; ⑶假設(shè)在三角尺M(jìn)ON開(kāi)始旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，另 一個(gè)三角尺OBC也繞點(diǎn)O以每秒5。的速度順時(shí) 針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OM旋轉(zhuǎn)至射線OD上時(shí)同時(shí)停止（自 行畫(huà)圖分析）? ① 當(dāng)t= 時(shí)，OM平分ZAOC? ② 請(qǐng)直接寫(xiě)出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，Z NOC與 ZAOM的數(shù)量關(guān)系. 圖 21-S-5 6?O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線 OC,使ZBOC=65°,將一

6、塊三角尺的直角頂點(diǎn) 放在點(diǎn)O處. ⑴如圖21-S—6①，將三角尺M(jìn)ON的一 邊ON與射線 OB重合時(shí)，那么Z MOC = ⑵如圖②，將三角尺M(jìn)ON繞點(diǎn)O逆時(shí)針 旋轉(zhuǎn)一定角度，此時(shí)OC是ZMOB的平分線， 求ZBON和ZCON的度數(shù)； (3)將三角尺M(jìn)ON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖 ③的位置時(shí)，ZNOC=ZAOM，求ZNOB的度 數(shù). 圖 21-S-6 詳解詳析 1.解：(1)因?yàn)閷B，OA向ZAOB內(nèi)部 翻折，使射線OA，OB都與射線OC重合，折 痕分別為 OE，OF，ZEOF=25°， 所以 ZAOB = 2ZCOE + 2ZCOF = 2(ZEOC+ZCOF)=50°. (2)

7、在第五次操作的第一步恰好第一次形成 一個(gè)周角?設(shè)NMOC=x。， 那么 16X20°+16x°=360。，解得 x=2?5, 所以ZMOC=2?5°? 2. 解：(1)因?yàn)樯渚€OC繞點(diǎn)O從OA位置 開(kāi)始，以每秒4啲速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，射線 OD繞點(diǎn)O從OB位置開(kāi)始，以每秒1。的速度按 逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)， 所以當(dāng)OC旋轉(zhuǎn)10秒時(shí)，ZCOD=90。一 4°X10-1°X10=40。，故答案為：40. (2)設(shè)旋轉(zhuǎn)t秒時(shí)，OC與OD的夾角是30°. 如圖①，那么4t+t=90—30，解得t=12； 如圖②，那么4t+t=90+30，解得t=24. 綜上所述，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是12秒或24

8、秒. ⑶如圖③,設(shè)旋轉(zhuǎn)m秒時(shí),OB平分ZCOD， 那么 4m—90=m，解得 m=30， 故旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是30秒. 3. 解：(1)因?yàn)閆AOB=20°，ZAOE=100°， 所以 ZEOB =ZAOE —ZAOB=80°. 又因?yàn)镺B平分ZAOC, OD平分ZAOE, 所以 ZAOC=2ZAOB=40°, 1 ZAOD=2ZAOE=50°, 所以Z COD=ZAOD-ZAOC=5O°-4O° = 10°. (2) 由(1)知ZAOD=5O°, 所以射線OD的方向角為北偏東40°. (3) 設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，ZAOE=42°，那么 3x-5x+100=42 或 5x-(3x

9、+100)=42, 解得x=29或x=71. 即經(jīng)過(guò)29秒或71秒,ZAOE=42°. 4?解：1)因?yàn)閆AOB=150°, ZCOD=30°, OM, ON 分別平分ZAOD,ZBOC, 所以Z MON=Z MOD + Z NOC-Z COD 1 =2(ZAOD+ZBOC)-ZCOD= 1 2(ZAOB+ZCOD)—ZCOD=60°? ⑵由題意，得ZBOD=105°-10x°, ZAOC = 15°+10x°, 所以 ZBOC=135°-10x°,ZAOD=45°+ 10x°. 7 又因?yàn)閆AOM=11ZBON,且 OM, ON 分別平分ZAOD,ZBOC, 7

10、所以 ZAOD=11ZBOC, 即 45°+10x°=11(135° - 10x°),解得 x=2.5. 5?解：⑴因?yàn)閆 AOC = 45°, OM平分 ZAOC, 1 所以Z AOM=2Z AOC=22.5°, 所以t=2?25? 因?yàn)?ZMON=90°,ZMOC=22?5°, 所以 ZNOC-Z AOM=ZMON-ZMOC — ZAOM=45°?故答案為 2.25, 45°. (2) ZNOC -ZAOM=45°. 理由：因?yàn)?ZAON=9O°+(1Ot)°, 所以 ZNOC = 90° + (10t)° - 45° = 45° + (10t)°. 因?yàn)?ZAOM=

11、(10t)°, 所以Z NOC -ZAOM=45°. ⑶①如圖，因?yàn)閆AOB=(5t)°, 所以 ZAOC=45°+(5t)°. 因?yàn)镺M平分ZAOC, 1 所以 ZAOM=2ZAOC, 而 ZAOM=(10t)°, 所以 10t=；(45+5t), 解得t=3. 1 ② ZNOC—2ZAOM=45°? 理由：因?yàn)閆AOB=(5t)°, ZAOM=(10t)°, ZMON=90°,ZBOC=45°, 所以 Z AON=90°+ZAOM=90°+(10t)°, ZAOC=ZAOB+ZBOC=45°+(5t)°, 所以 ZNOC = ZAON - ZAOC = 90

12、° + (10t)° - 45° - (5t)°=(5t)°+45°, 所以ZNOC 一錯(cuò)誤! ZAOM=45°? 6?解：⑴因?yàn)閆MON=90°, ZBOC=65°, 所以 ZMOC = ZMON - ZBOC = 90° - 65°=25°. ⑵因?yàn)閆BOC=65°, OC是ZMOB的平分 線， 所以 ZMOB=2ZBOC=130°. 所以Z BON = Z MOB-Z MON = 130° - 90°=40°. 所以Z CON=Z BOC -ZBON=65° - 40° =25 ⑶因?yàn)閆BOC=65°, 所以 ZAOC = ZAOB - ZBOC = 180° - 65°=115°. 因?yàn)?ZMON=90°, 所以Z AOM+Z NOC = Z AOC-Z MON = 115°-90°=25°. 又因?yàn)?ZNOC=ZAOM, 所以 2ZNOC=25°. 所以ZNOC=12?5°? 所以 ZNOB=ZNOC+ZBOC=77?5°?