思維特訓 全等與相似的綜合應用

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1、思維特訓（十二）全等與相似 的綜合應用 思維特訓(十二)全等與相似的綜合應用 形狀相同的兩個圖形稱為相似圖形.假設兩 個圖形不僅形狀相同，而且大小也相等，那么二 者是全等圖形.全等是相似的特殊情況，全等圖 形可以看作是相似比為1的特殊的相似圖形.證 明全等的方法有“SS〃 “SAS〃 “ASA〃 “AAS〃 “HL〃 ，證明相似的方法有“三邊對應成比例 的兩個三角形相似〃"兩邊成比例且夾角相等 的兩個三角形相似〃“兩角分別相等的兩個三 角形相似"等. 類型一與相似有關的多結論問題 1 -如圖 12—S—1，在△ABC 中，AB=BC， ZABC=90° ，BM是AC邊上的中線，點D，

2、E分別在邊AC和BC 上，DB=DE，EF丄AC 于點F，有以下結論： ⑴ZDBM=ZCDE；⑵S⑼勺四邊形b^e； (3)CD?EN=BN?BD； (4)AC=2DF. 其中正確的結論有() A - 1個B?2個C?3個D?4個 圖 12—S—1 2?如圖12—S—2，△ABC和△ADE都是 等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90° ，四邊 形ACDE是平行四邊形 連接CE交AD于點F， 連接BD交CE于點G，連接BE?以下結論中： ①CE=BD；②AADC是等腰直角三角形；③Z ADB = ZAEB；④CD?AE=EF?CG?其中一定正 確的有（） 圖 12—S—2 A

3、- 1個B. 2個C?3個D?4個 3?如圖 12-S-3，菱形 ABCD 中，AB= AC，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC上的點，且AE= BF，連接CE，AF交于點H，那么以下結論： ①厶ABF CAE :②么AHC = 120。：③厶 AEHsMEA；④AE?AD=AH?AF?其中正確的 結論有（） 圖 12-S-3 A - 1個B. 2個C?3個D. 4個 類型二全等三角形與相似三角形的綜合 4 ?△ABC和是兩個全等的等腰直角 三角形，ZBAC=ZEDF=90° ，ZEF 的頂 點E與^BC的斜邊BC的中點重合將ADEF 繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB 相交于點P

4、，線段EF與射線CA相交于點Q. ⑴如圖12—S—4①，當點Q在線段AC上， 且 AP=AQ 時，求證：△BPE9ACQE. ⑵如圖12—S—4②，當點Q在線段CA的 延長線上時，求證：△BPEs^CEQ；并求當 BP=2，CQ=9 時 BC 的長. 圖 12—S—4 5 -在AAOB中，C，D分別是邊OA，OB 上的點 將^OCD繞點O順時針旋轉到△OCD 的位置? ⑴如圖12-S-5①，假設ZAOB=90° ， OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點，求證: ①AC'=BD，；②AC 丄BD，. ⑵如圖②，假設aaob為任意三角形且Z AOB=0，CD//AB，AC 與

5、BD，相交于點 E， 猜測ZAEB=〃是否成立，請說明理由. 圖 12—S—5 6?2021?襄陽如圖12—S—6，在△ABC中， ZACB=90° ，CD 是中線，AC=BC，一個以 點D為頂點的45°角繞點D旋轉，使角的兩邊 分別與AC，BC的延長線相交，交點分別為E， F，DF與AC相交于點M，DE與BC相交于點 N. ⑴如圖①，假設CE=CF，求證:DE=DF. ⑵如圖②在ZEDF繞點D旋轉的過程中: ①探究線段AB，CE，CF之間的數(shù)量關系， 并說明理由; ②假設CE=4，CF=2，求DN的長. 圖 12—S—6 7 ?如圖12—S—7，在四邊形ABCD中，E， F

6、分別是AB

7、②假設Z ABC=45° CD 如圖②，那么cd ⑵拓展探究 當 0°VZABCV90° CD A 的值有無變化? 請僅就圖③的情形給出證明? ⑶問題解決 隨著△ABC位置的變化，假設直線CE ^AB CF 5 相交于點F，且ef=6， CD=4，請直接寫出線 段BD的長. 圖 12—S—8 詳解詳析 1. C ［解析y：DB=DE， :.ZDBE=ZDEB， ???ZDBM+ZMBC=ZCDE+ZC? ???AB=BC，ZABC=90° ，BM 是 AC 邊 上的中線， ???ZC=45° ，BM 丄

8、 AC， ? ZMBC=ZC=45° ， :.ZDBM=ZCDE，故(1)正確； ^ZDBM=ZCDE，ZDMB=ZEFD，DB =DE， :.△BMD^^DFE， ? s =s , △BMD △DFE ? s —S = S —S ， 四邊形BDFE △DFE 四邊形BDFE △BMD ：%de=S四邊形bmfe?故⑵錯誤； ?: ZDBC=ZBEN，ZDCB=ZEBN， :?△BCDs^EBN， .CD BD ?BN=EN，?CD^ EN=BN?BD. 故(3)正確； ^△BMD^ADFE， ?bm=df. 又???ZABC=90° ^BM是AC邊上的中線，

9、 :.BM=1^C， :.AC=2DF.故(4)正確. 應選C. 2 - D ［解析］①利用SAS證明 △CAE竺5BAD，可得到 CE=BD； ② 利用平行四邊形的性質可得AE=CD，再 結合AADE是等腰直角三角形可得到AADC是 等腰直角三角形； ③ 利用SAS證明△ BAD^ABAE可得到 ZADB=ZAEB； ④ 利用得出乙GFD =ZAFE，結合①得 ZGDF+ZGFD=90° ?由平行四邊形的性質得 ZGCD = ZAEF，進而得出厶 CGDsAEAF， 得出比例式. 3 -D ［解析］由菱形ABCD中，AB=AC， 易證得△ ABC是等邊三角形，那么可得ZB

10、= ZEAC = 60 ° ，由 SAS 即可證得 △ABF竺 ACAE，那么可得ZBAF=ZACE；利 用三角形外角的性質，即可求得ZAHC=120°； 由 ZBAF =ZACE，ZAEC =ZAEC，推出 △AEHsACEA；在菱形 ABCD 中，AD=AB， 由于△ AEHsACEA，AABF^A CAE，于是 △AEHsAAFB，得到 AE^^=AH^AF. 4 ?解：⑴證明：???△ABC是等腰直角三角 形， ZB=ZC=45° 、AB=AC. ^AP=AQ，:.BP=CQ. ???E 是 BC 的中點，:.BE=CE. 在ABPE和ACQE中， ?BE=CE，

11、ZB=ZC，BP=CQ， ???△BPE 竺△CQE(SAS). (2)證明:?△ABC和ADEF是兩個全等的 等腰直角三角形，：.ZB=ZC=ZDEF=45° . ? Z BEQ = ZEQC + ZC，即 ZBEP + ZDEF = ZEQC + ZC，:. Z BEP + 45 ° = ZEQC+45。， :.ZBEP=ZEQC，：?△BPEs^CEQ， ? BP=BE :CE=CQ. ?BP=2，CQ=9，BE=CE，：?BE2 = 18， ?：BE=CE=3 2，：?BC=6 2. 5解:⑴證明:①?△OCD旋轉到△OCD， ?: OC = OC，OD = OD，Z

12、 AOC ' = ZBOD. ? OA=OB CD分別為OA，OB的中點， ：.OC=OD，：?OC=OD. 在△AOC和ABODf中 ^OA=OB，ZAOC =zbod，oc=od， :.△ AOC ◎△ BODf (SAS)，:.ACz = BDf. ②延長AC交 BD于點E，交BO于點F， 如下圖. ^△AOC ' ^△BOD '， :.ZOACf =ZOBDf. 又ZAFO = ZBFE，ZOAC' +ZAFO = 90° ， ：.ZOBD' +ZBFE=90。， :.ZBEA=90° ， :.ACz 丄BD '. (2)ZAEB= &成立，理由如下： 設AC

13、交 BO于點F. ^△OCD旋轉得到AOCD /， ?: OC = OC，OD = OD1，Z AOC / = ZBODf. ?:CD//AB， ?OC=OD ^OA~OB， ? OC =ODf 即即OCf =OA =~OB，即OD^=OB 又ZAOC=ZBODf， :.△AOC ^△BODf， :.ZOAC =ZOBD . 又ZAFO=ZBFE， :.ZAEB=ZAOB= & 6 ?解：⑴證明：???ZACB=90° ，AC=BC， AD=BD， :.ZBCD=ZACD=45° ，ZBCE=ZACF =90° ，:.ZDCE=ZDCF=135° . 在ADC

14、E和ADCF中， CE=CF，ZDCE=ZDCF，CD=CD， :.△DCE^ADCF，:.DE=DF. ⑵①=4CE?CF?理由： ?:ZDCF=ZDCE=135° ， ???ZCDF+ZF= 180。一135°=45° ? 又?:乙CDF +ZCDE = 45 ° ，?乙 F = ZCDE， :?△CDFs'CED， ? CD=CF ?CE=CD 即 CD2=CE? cf. ???ZACB=90° ，AC=BC，AD=BD，:. CD=2AB，：?AB2=4CE?CF. ②如圖，過點D作DG丄BC于點G，那么 ZDGN=ZECN=90° ，CG=DG. 當

15、 CE=4，CF=2 時，由 CD2=CE- CF 得 CD=2 2. ?:在 RtADCG 中，CG=DG=2. ? ZECN=ZDGN，ZENC=ZDNG， :.△CENs^GDN， :CN= CE :GN=DG ???GN=；CG=2， ???DN= GNTDGih2^10. 7 ?解：⑴證明：TGE是AB的垂直平分線， ? GA=GB ?同理 GD=GC. 在△AGD 和△BGC 中GA=GB，ZAGD = ZBGC，GD=GC， :.△AGD^^BGC，：.^=BC. ⑵證明:^zagd=zbgc， :.ZAGB=ZDGC. ga 由⑴知△AGD^^

16、BGC，得筋 GD GC 在AAGB和ADGC中， GA=GB GD GC ZAGB=ZDGC， :?△AGBs^DGC， ?AG=EG 即AG :DG=FG，即EG DG FG9 又易知 ZAGE = ZDGF，?: Z AGD = ZEGF， :?△AGDs&GF. ⑶如圖，延長AD交GB于點M，交BC的 延長線于點H，那么AH^BH. 由△AGD^^BGC，得ZGAD=ZGBC. 在AGAM 和 A^BM 中，ZGAD=ZGBC， ZGMA = ZHMB， :.ZAGB=ZAHB=90° ， ???ZAGE=；NAGB=45° ，

17、 ???第=護? 又△AGDs^EGF， .AD=AG= ?EF=EG=? 8 ?解：⑴①如圖，?：CD丄BD，:.ZCDB =90° ? ?:ZDBC=ZABC=30?！?：?CD=BC? 在△ABC和ABAE中， ZACB=ZAEB=90° ，ZBAE=ZABC= 30° ，AB=BA，???△ABC9ABAE(AAS)， 1 CD 1 :.BC=AE，:.CD=2AE，???AE=2 ②如圖①，過點C作CF丄AB于點F， ???ZABC=45°，ZACB=90°、：?△ACB 是等腰直角三角形. VZCBD=45° ，:.ZABD=90° . 又TAE

18、丄BD，???點B與點E重合，:.EF ???CD丄BD，?:四邊形CDEF為矩形，:.EF =CD，：?CD=2AE， ?:ae=2* (2)g的值無變化. 理由：如圖②，延長AC與直線l交于點G， VZACB = 90 ° ，ZDBC=ZABC，?： Z agb=zbag，:.ba=bg. 又VBC丄AG，:?C是AG的中點. VAE 丄 l，CD 丄 I，：?CD〃AE， CD gc 1 :?△GCDs^GAE，???AE=GA=2? ⑶分兩種情況：①如圖③，當點F在線段 AB上時，過點C作CGIII交AE于點H，交AB 于點 G，:.zdbc=zhcb.

19、?: ZDBC=ZCBF，：?ZCBF=ZHCB， :.cg=bg. V Z ACB = 90 ° ，?： N CAG +ZCBF = ZHCB+ZACG=90° ，:zacg=zcag， :.cg=ag=bg. 5 V CG〃 l，:. △CFGs^EFB ? cf=cg :ef=be 設 CG=5x，BE=6x，那么 AB=10x. VZAEB=90°，?:AE=8x，由(2)得 AE =2CD. VCD=4，：?AE=8=8x，?：x=1 ， ?：AB=10，BE=6，CG=5. ?:GH//1，???△AGHsAABE，\BE=AE 1 =2，??HG=3， ???CH=CG+HG=8? ?:CG/l，CD/AE，?四邊形 CDEH 為平 行四邊形， :.DE=CH=8，:.BD=DE-BE=2； ②如圖④當點F在線段BA的延長線上時， 過點C作CG/l，交AE于點H，交AB于點G， 同理可得 CG=5，BE=6，HG=3， ?DE=CH=CG-HG=2， ：?BD=DE+BE=8? 綜上所述，線段BD的長為2或8.