2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊(cè)) 第四章第3節(jié)　三角恒等變換 講義

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1、 第3節(jié)　三角恒等變換 1.能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式. 2.能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式,導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系. 3.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但對(duì)這三組公式不要求記憶). 1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式 (1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;? (2)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;? (3)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;? (4)si

2、n(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;? (5)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ; (6)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ. 2.二倍角公式 (1)sin 2α=2sin αcos α;? (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)tan 2α=2tanα1-tan2α. 1.半角公式指的是sin α2=±1-cosα2,cos α2=±1+cosα2,tan α2=±1-cosα1+cosα.它們可由二倍角公式cos 2α=1-2sin2α=2cos2α-1以α

3、2代α,然后變形導(dǎo)出,符號(hào)由α2所在的象限確定.注意:tan α2還有一個(gè)同時(shí)使用sin α,cos α,但不帶有根號(hào)的公式,即tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.此公式不需要討論α2所在的象限,使用方便. 2.積化和差公式指的是sin αcos β,cos αsin β,cos αcosβ, sin αsin β用α+β,α-β的三角函數(shù)表示,顯然可由相應(yīng)的和差角公式相加減得到. 3.和差化積公式指的是把sin α±sin β,cos α±cos β,用α+β2,α-β2的三角函數(shù)表示,這只須用角變換α=α+β2+α-β2,β=α+β2-α-β2,然后利用和差角公

4、式展開(kāi)合并即可. 1.公式的常用變式:tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtanβ); tan α·tan β=1-tanα+tanβtan(α+β)=tanα-tanβtan(α-β)-1. 2.降冪公式:sin2α=1-cos2α2;cos2α=1+cos2α2;sin αcos α=12sin 2α. 3.升冪公式:1+cos α=2cos2α2;1-cos α=2sin2α2;1+sin α=(sin α2+ cos α2);1-sin α=(sin α2-cos α2)2. 4.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)

5、-β=(α-β)+β;β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°;π4+α=π2-(π4-α)等. 5.輔助角公式 asin α+bcos α=a2+b2sin(α+),其中cos =aa2+b2,sin =ba2+b2. 6.萬(wàn)能公式 sin α=2tan α21+tan2α2,cos α=1-tan2α21+tan2α2,tan α=2tan α21-tan2α2. 1.(必修第一冊(cè)P220練習(xí)T3改編)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(　D　) A.-32 B.32 C.-12

6、 D.12 解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+ cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=12.故選D. 2.若cos(θ+π2)=-74,則cos 2θ的值為(　A　) A.18 B.716 C.±18 D.1316 解析:因?yàn)閏os(θ+π2)=-74,所以sin θ=74,所以cos 2θ=1-2sin2θ=18.故選A. 3.若tan α=13,tan(α+β)=12,則tan β=　　　　.? 解析:tan β=tan [(α+β)-α]=tan(α+β)-tanα1+

7、tan(α+β)tanα= 12-131+12×13=17. 答案:17 4.tan 10°+tan 50°+3tan 10°tan 50°=　　　　.? 解析:因?yàn)閠an 60°=tan(10°+50°)= tan10°+tan50°1-tan10°tan50°, 所以tan 10°+tan 50°=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)= 3-3tan 10°tan 50°, 故原式=3-3tan 10°tan 50°+3tan 10°tan 50°=3. 答案:3 5.若sin α+3cos α=1,且α∈(0,π),則α=　　　　.? 解析:因?yàn)閟in

8、 α+3cos α=2sin(α+π3)=1, 所以sin(α+π3)=12,又α∈(0,π), 所以(α+π3)∈(π3,4π3), 所以α+π3=5π6,所以α=π2. 答案:π2 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 1.已知θ∈(0,π4),且sin θ-cos θ=-144,則2cos2θ-1cos(π4+θ)等于(　D　) A.23 B.43 C.34 D.32 解析:由sin θ-cos θ=-144, 得sin(π4-θ)=74, 因?yàn)棣取?0,π4), 所以0<π4-θ<π4, 所以cos(π4-θ)=34. 2cos2θ-1cos(π4+θ)=cos2θs

9、in(π4-θ) =sin(π2-2θ)sin(π4-θ)=sin[2(π4-θ)]sin(π4-θ) =2cos(π4-θ)=32.故選D. 2.化簡(jiǎn):2sin(π-α)+sin2αcos2α2=　　　　.? 解析:2sin(π-α)+sin2αcos2α2=2sinα+2sinαcosα12(1+cosα) =2sinα(1+cosα)12(1+cosα)=4sin α. 答案:4sin α 3.化簡(jiǎn):2cos4x-2cos2x+122tan(π4-x)sin2(π4+x)=　　　　.? 解析:原式=12(4cos4x-4cos2x+1)2·sin(π4-x)cos(π4-

10、x)·cos2(π4-x) =(2cos2x-1)24sin(π4-x)cos(π4-x) =cos22x2sin(π2-2x) =cos22x2cos2x=12cos 2x. 答案:12cos 2x 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則 (1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式. (2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見(jiàn)的有“切化弦”. (3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,如“遇到分式要通分”等. 三角函數(shù)式的求值 　給角求值 求值:1+cos20

11、°2sin20°-sin 10°(1tan5°-tan 5°)=　　　　.? 解析:原式=2cos210°2·2sin10°cos10°-sin 10°(cos5°sin5°-sin5°cos5°) =cos10°2sin10°-sin 10°·cos25°-sin25°sin5°cos5° =cos10°2sin10°-sin 10°·cos10°12sin10° =cos10°2sin10°-2cos 10°=cos10°-2sin20°2sin10° =cos10°-2sin(30°-10°)2sin10° =cos10°-2(12cos10°-32sin10°)2sin10

12、° =3sin10°2sin10°=32. 答案:32 “給角求值”:一般所給出的角都是非特殊角,從表面上來(lái)看是很難的,但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系,解題時(shí),要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解. 　給值求值 若0<α<π2,-π2<β<0,cos(π4+α)=13,cos(π4-β2)=33,則cos(α+β2)等于(　　) A.33 B.-33 C.539 D.-69 解析:因?yàn)?<α<π2,則π4<π4+α<3π4, 所以sin(π4+α)=223. 又-π2<β<0,則π4<π4-β2<π2, 則sin(π

13、4-β2)=63. 故cos(α+β2)=cos [π4+α-(π4-β2)] =cos(π4+α)cos(π4-β2)+sin(π4+α)sin(π4-β2) =13×33+223×63=539.故選C. “給值求值”:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系. 　給值求角 若sin 2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],則α+β的值是(　　) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4 解析:因?yàn)棣痢蔥π4,π],所以2α∈[π2,2π].

14、又sin 2α=55>0,所以2α∈[π2,π], 所以cos 2α=-255且α∈[π4,π2]. 又β∈[π,3π2],所以β-α∈[π2,5π4]. 因?yàn)閟in(β-α)=1010>0, 所以cos(β-α)=-31010且β-α∈[π2,π], 故cos(α+β)=cos [2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-255×(-31010)-55×1010=22. 因?yàn)?α∈[π2,π],β-α∈[π2,π], 所以α+β∈[π,2π],所以α+β=7π4.故選A. 1.“給值求角”實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一函數(shù)值

15、,再求角的范圍,確定角. 2.注意要根據(jù)角的范圍選擇合適的三角函數(shù),本例選擇求cos(α+β),不宜選擇求sin(α+β). [針對(duì)訓(xùn)練] 1.3cos10°-1sin170°等于(　　) A.4 B.2 C.-2 D.-4 解析:3cos10°-1sin170°=3cos10°-1sin10°=3sin10°-cos10°sin10°cos10°= 2sin(10°-30°)12sin20°=-2sin20°12sin20°=-4.故選D. 2.已知α,β都為銳角,且sin α=217,cos β=2114,則α-β等于(　　) A.-π3 B.π3 C.-π6 D.π

16、6 解析:因?yàn)棣?β都為銳角, 且sin α=217,cos β=2114, 所以cos α=277,sin β=5714, 由sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=217×2114-277×5714=-4998=-12, 因?yàn)閟in α

17、inαcosα(cosα+sinα)cosα-sinα =sin 2α·1+tanα1-tanα=sin 2α·tan(π4+α). 由17π12<α<7π4,得5π3<α+π4<2π, 又cos(π4+α)=35, 所以sin(π4+α)=-45,tan(π4+α)=-43. cos α=cos[(π4+α)-π4]=-210,sin α=-7210, sin 2α=725. 所以sin2α+2sin2α1-tanα=725×(-43)=-2875. 答案:-2875 三角恒等變換在研究三角函數(shù)圖象和性質(zhì)中的應(yīng)用 已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2(x-π6),x

18、∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在區(qū)間[-π3,π4]上的最大值和最小值. 解:(1)由已知得 f(x)=1-cos2x2-1-cos(2x-π3)2 =12(12cos 2x+32sin 2x)-12cos 2x =34sin 2x-14cos 2x=12sin(2x-π6). 所以f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)由(1)知f(x)=12sin(2x-π6). 因?yàn)?π3≤x≤π4, 所以-5π6≤2x-π6≤π3, 所以當(dāng)2x-π6=-π2, 即x=-π6時(shí),f(x)有最小值, 且f(-π6)=-12, 當(dāng)2x-π6=π3,即

19、x=π4時(shí),f(x)有最大值, 且f(π4)=34. 所以f(x)在區(qū)間[-π3,π4]上的最大值為34,最小值為-12. 三角恒等變換在三角函數(shù)圖象和性質(zhì)中的應(yīng)用,解決此類問(wèn)題可先根據(jù)和角公式、倍角公式把函數(shù)表達(dá)式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y=Asin(ωx+)+t或余弦型函數(shù)y=Acos(ωx+)+t的形式,再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解. [針對(duì)訓(xùn)練] 已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(x∈R). (1)求f(2π3)的值; (2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 解:(1)由sin 2π3=32,cos 2π3=-12,得f(2π3)=

20、(32)2-(-12)2-23×32×(-12)=2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x,得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin(2x+π6). 所以f(x)的最小正周期是T=2π2=π. 由正弦函數(shù)的性質(zhì),得 π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z, 解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z). 已知sin α=35,α∈(π2,π),tan(π-β)=12,則tan(α-β)的值為(　　) A.-211 B.211 C.112

21、 D.-112 解析:因?yàn)閟in α=35,α∈(π2,π), 所以cos α=-1-sin2α=-45, 所以tan α=sinαcosα=-34. 因?yàn)閠an(π-β)=12=-tan β,所以tan β=-12, 則tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=-211.故選A. 已知sin α=13+cos α,且α∈(0,π2),則cos2αsin(α+π4)的值為(　　) A.-23 B.23 C.-13 D.13 解析:因?yàn)閟in α=13+cos α,即sin α-cos α=13, 所以cos2αsin(α+π4)=cos2α-sin2αsin

22、αcos π4+cosαsinπ4= (cosα-sinα)(cosα+sinα)22(sinα+cosα)=-1322=-23.故選A. 已知α,β為銳角,cos α=17,sin(α+β)=5314,則cos β=　　 　.? 解析:因?yàn)棣翞殇J角,所以sin α=1-(17)?2=437. 因?yàn)棣?β∈(0,π2),所以0<α+β<π. 又因?yàn)閟in(α+β)π2, 所以cos(α+β)=-1114. cos β=cos [(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =-1114×17+5314×437=49

23、98=12. 答案:12 (1+tan 17°)(1+tan 28°)的值為　　　　.? 解析:原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°tan 28°=1+tan 45°(1-tan 17°tan 28°)+tan 17°tan 28°=1+1=2.　 答案:2 若3sin x+cos x=23,則tan(x+7π6)=　　　　.　? 解析:由3sin x+cos x=23,得2sin(x+π6)=23, 即sin(x+π6)=13,所以cos(x+π6)=±223, 所以tan(x+π6)=±24, 即tan(x+7π6)=tan(x+π6)=±24.

24、 答案:±24 若3π2<α<2π,則12+1212+12cos2α可化簡(jiǎn)為　　　　.? 解析:12+1212·2cos2α=12+12|cosα|, 因?yàn)?π2<α<2π,所以|cos α|=cos α. 所以原式=12+12cosα=cos2α2. 又因?yàn)?π4<α2<π,所以原式=-cos α2. 答案:-cos α2 (1)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,則cos C= 　　　　.? (2)cos 20°·cos 40°·cos 100°=　　　　.? (3)化簡(jiǎn):sin235°-12cos10°cos80°=　　　　.? 解

25、析:(1)由tan Atan B=tan A+tan B+1, 可得tanA+tanB1-tanAtanB=-1, 即tan(A+B)=-1,又因?yàn)锳+B∈(0,π), 所以A+B=3π4,則C=π4,cos C=22. (2)設(shè)S=cos 20°·cos 40°·cos 100°, 則S=-cos 20°·cos 40°·cos 80°, 設(shè)T=sin 20°·sin 40°·sin 80°, 則ST=-12sin 40°·12sin 80°·12sin 160°=-18T,又T≠0,所以S=-18, 即cos 20°·cos 40°·cos 100°=-18. (3)si

26、n235°-12cos10°cos80°=1-cos70°2-12cos10°sin10°=-12cos70°12sin20°=-1. 答案:(1)22　(2)-18　(3)-1 知識(shí)點(diǎn)、方法 基礎(chǔ)鞏固練 綜合運(yùn)用練 應(yīng)用創(chuàng)新練 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),求值 1,4,7 11 三角函數(shù)式的給值求值 2,5,6,8 13 三角函數(shù)式的給值求角 3 三角恒等變換的應(yīng)用 9,10,12,14,15 16 1.sin 16°cos 14°-sin 254°sin 14°的值是(　B　) A.0 B.12 C.32 D.-12 解析:原

27、式=cos 74°cos 14°+sin 74°sin 14°=cos(74°-14°)= cos 60°=12.故選B. 2.sin 2α=-13,則cos2(α-π4)的值為(　C　) A.-23 B.-13 C.13 D.23 解析:cos2(α-π4)=1+cos2(α-π4)2=1+cos(2α-π2)2=1+sin2α2=1-132=13.故選C. 3.已知α,β都是銳角,若sin α=55,sin β=1010,則α+β等于(　A　) A.π4 B.3π4 C.π4和3π4 D.-π4和-3π4 解析:由于α,β都是銳角,所以cos α=1-sin2α=255

28、,cos β= 1-sin2β=31010. 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=22,所以α+β=π4.故選A. 4.tan 18°+tan 12°+33tan 18°tan 12°等于(　D　) A.3 B.2 C.22 D.33 解析:因?yàn)閠an 30°=tan(18°+12°)=tan18°+tan12°1-tan18°tan12°=33,所以 tan 18°+tan 12°=33(1-tan 18°tan 12°),所以原式=33.故選D. 5.已知tan(α+π4)=2,則sin2α-cos2α1+cos2α的值為(　A　) A.-16

29、 B.16 C.52 D.-56 解析:tan α=tan[(α+π4)-π4]=tan(α+π4)-11+tan(α+π4)=13,原式=2sinαcosα-cos2α2cos2α= tan α-12=13-12=-16.故選A. 6.已知α是第三象限角,3cos 2α+sin α=2,則tan α等于(　A　) A.24 B.33 C.3 D.22 解析:因?yàn)棣潦堑谌笙藿?3cos 2α+sin α=2, 所以3(1-2sin2α)+sin α=2, 所以6sin2α-sin α-1=0, 解得sin α=-13或sin α=12(舍去), 所以cos α=-1-s

30、in2α=-223, 所以tan α=24.故選A. 7.形如a　bc　d的式子叫做行列式,其運(yùn)算法則為a　bc　d=ad-bc,則行列式sin 15°　2cos 15°　2的值是　　　　.? 解析:因?yàn)閟in 15°　2cos 15°　2=2sin 15°-2cos 15°=2(22sin 15°- 22cos 15°)=2sin(15°-45°)=-2sin 30°=-1, 所以sin 15°　2cos 15°　2的值是-1. 答案:-1 8.若cos α=-13,sin β=-33,α∈(π2,π),β∈(3π2,2π),則sin(α+β)的值為　　　　.? 解析:因?yàn)閏

31、os α=-13,α∈(π2,π), 所以sin α=1-cos2α=223, 因?yàn)閟in β=-33,β∈(3π2,2π), 所以cos β=1-sin2β=63, 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=223×63+(-13)× (-33)=539. 答案:539 9.若函數(shù)f(x)=(1+3tan x)cos x,0≤x<π2,則f(x)的最大值是(　B　) A.1 B.2 C.3+1 D.3+2 解析:由0≤x<π2,則f(x)=(1+3tan x)cos x=(1+3·sinxcosx)cos x=cos x+3sin x=2sin(

32、x+π6),因?yàn)?≤x<π2,所以π6≤x+π6<2π3,所以當(dāng)x+π6=π2時(shí),f(x)取到最大值2.故選B. 10.(多選題)已知f(x)=sin xsin(x+π3)-14,則f(x)的值不可能是(　CD　) A.-12 B.12 C.-2 D.2 解析:因?yàn)閒(x)=sin xsin(x+π3)-14 =sin x(12sin x+32cos x)-14 =12sin2x+32sin x cos x-14 =12×1-cos2x2+34sin 2x-14 =34sin 2x-14cos 2x =12sin(2x-π6), 所以-12≤f(x)≤12.故選CD.

33、11.(多選題)下列式子正確的有(　ACD　) A.sin 15°+cos 15°=62 B.cos 75°=6+24 C.23tan 15°+tan215°=1 D.tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1 解析:因?yàn)閟in 15°+cos 15°=(sin15°+cos15°)2=1+sin30°= 62,所以A正確; cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°= 22×32-22×12=6-24,所以B錯(cuò)誤; 又由tan 30°=2tan15°1-tan215°, 得1-tan215°=

34、2tan15°tan30°=23tan 15°, 所以23tan 15°+tan215°=1,所以C正確; 因?yàn)?=tan 45°=tan(12°+33°)=tan12°+tan33°1-tan12°tan33°, 所以tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°, 所以tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.故D正確.故選ACD. 12.已知π2<β<α<3π4,cos(β-α)=1213,sin(β+α)=-35,則cos 2α等于(　D　) A.6365 B.-6365 C.3365 D.-3365 解析:因?yàn)棣?<β<α<3π

35、4,所以-π4<β-α<0,π<α+β<3π2, 又cos(β-α)=1213,sin(β+α)=-35, 所以sin(β-α)=-1-cos2(β-α)=-513,cos(β+α)=-1-sin2(β+α)= -45; 所以cos 2α=cos [(β+α)-(β-α)] =cos(β+α)cos(β-α)+sin(β+α)sin(β-α) =(-45)×1213+(-35)×(-513)=-3365.故選D. 13.被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生為我國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn),他所倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用.0.618就是黃

36、金分割比m=5-12的近似值,黃金分割比還可以表示成2sin 18°,則m4-m21-2sin227°=　　　　.? 解析:把m=2sin 18°代入 m4-m21-2sin227°=2sin18°4-4sin218°cos54° =4sin18°cos18°cos54°=2sin36°sin 36°=2. 答案:2 14.已知sin α-cos α=12,π<α<2π,求tan α,tan α2的值. 解:法一　因?yàn)閟in α-cos α=12, 所以1-2sin αcos α=14, 所以sin αcos α=38>0, 所以sin α與cos α同號(hào), 又因?yàn)棣?α<

37、2π,所以π<α<3π2, 所以sin α<0,cos α<0,所以sin α+cos α<0. 又因?yàn)?sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=74, 所以sin α+cos α=-72, 所以sin α=-74+14,cos α=-74-14, 所以tan α=sinαcosα=4-73, tan α2=sin α2cos α2=2sin2α22sin α2cos α2=1-cosαsinα=-2-7. 法二　因?yàn)閟in α-cos α=12,sin α=2sinα2cosα2=2sinα2cosα2cos2α2+sin2α2=2tan α21+tan2α2,

38、 cos α=cos2α2-sin2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2, 所以2tan α21+tan2 α2-1-tan2α21+tan2α2=12, 所以tan2α2+4tanα2-3=0, 又因?yàn)棣?α<2π,所以π2<α2<π, 所以tan α2<0, 所以tan α2=-2-7, 所以tan α=2tan α21-tan2α2=2×(-2-7)1-(-2-7)2=4-73. 15.已知函數(shù)f(x)=2sin(π4+x)cos(π4-x)-1. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)若函數(shù)g(x)=f(x

39、)-23cos2x,求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解:(1)函數(shù)f(x)=2sin(π4+x)cos(π4-x)-1=2cos2(π4-x)-1=cos[2·(π4 -x)]=sin 2x, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π2=π. (2)g(x)=f(x)-23cos2x=sin 2x-3(2cos2x-1)-3=sin 2x- 3cos 2x-3 =2sin(2x-π3)-3, 令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z, 得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z, 所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-π12,kπ+5π12],k∈Z. 16.如圖,圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)C,B在圓O上,且點(diǎn)C位于第一象限,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1213,-513),∠AOC=α.若|BC|=1,則3cos2α2- sin α2cos α2-32的值為　　　　.? 解析:由題意得|OB|=|OC|=|BC|=1,從而△OBC為等邊三角形,所以sin ∠AOB=sin(π3-α)=513,所以3cos2α2-sin α2cos α2-32=3·1+cosα2- sinα2-32=-12sin α+32cos α=-sin(α-π3)=sin(π3-α)=513. 答案:513