（課標專用）天津市2020高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練8 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、專題能力訓練8　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 　專題能力訓練第22頁　? 一、能力突破訓練 1.為了得到函數(shù)y=sin2x-π3的圖象,只需把函數(shù)y=sin 2x的圖象上所有的點(　　) A.向左平行移動π3個單位長度 B.向右平行移動π3個單位長度 C.向左平行移動π6個單位長度 D.向右平行移動π6個單位長度 答案:D 解析:由題意,為得到函數(shù)y=sin2x-π3=sin2x-π6,只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有點向右平行移動π6個單位長度,故選D. 2.已知函數(shù)y=sin ωx(ω>0)在區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)2次最大值,則ω的最小值為(　　) A.5π2 B.5π4

2、 C.π D.3π2 答案:A 解析:要使y=sinωx(ω>0)在區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)2次最大值,則在區(qū)間[0,1]上至少包含54個周期,故只需要54·2πω≤1,故ω≥5π2. 3.(2019全國Ⅱ,理9)下列函數(shù)中,以π2為周期且在區(qū)間π4,π2單調(diào)遞增的是(　　) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 答案:A 解析:y=|cos2x|的圖象為,由圖知y=|cos2x|的周期為π2,且在區(qū)間π4,π2內(nèi)單調(diào)遞增,符合題意;y=|sin2x|的圖象為,由圖知它的周期為π2,但在區(qū)間π4,π

3、2內(nèi)單調(diào)遞減,不符合題意;因為y=cos|x|=cosx,所以它的周期為2π,不符合題意;y=sin|x|的圖象為,由圖知其不是周期函數(shù),不符合題意.故選A. 4.若f(x)=cos x-sin x在區(qū)間[-a,a]上是減函數(shù),則a的最大值是(　　) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π 答案:A 解析:f(x)=2cosx+π4,圖象如圖所示,要使f(x)在區(qū)間[-a,a]上為減函數(shù),a的最大為π4. 5.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的圖象關于直線x=π3對稱,若它的最小正周期為π,則函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心是(　　) A.π3

4、,1 B.π12,0 C.5π12,0 D.-π12,0 答案:B 解析:由題意知T=π,則ω=2. 由函數(shù)圖象關于直線x=π3對稱, 得2×π3+φ=π2+kπ(k∈Z), 即φ=-π6+kπ(k∈Z). ∵|φ|<π2,∴φ=-π6, ∴f(x)=Asin2x-π6. 令2x-π6=kπ(k∈Z),則x=π12+kπ2(k∈Z). ∴函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心為π12,0.故選B. 6.已知函數(shù)f(x)=5sin x-12cos x,當x=x0時,f(x)有最大值13,則tan x0=　　　　　.? 答案:-512 解析:f(x)=5sinx-12cosx=

5、13sin(x-θ)cosθ=513,sinθ=1213. 當x=x0時,f(x)有最大值13,所以x0-θ=π2+2kπ,k∈Z, 所以x0=θ+π2+2kπ,tanx0=tanθ+π2+2kπ=tanθ+π2=1-tanθ=cosθ-sinθ=-512. 7.定義一種運算:(a1,a2)?(a3,a4)=a1a4-a2a3,將函數(shù)f(x)=(3,2sin x)?(cos x,cos 2x)的圖象向左平移n(n>0)個單位長度所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù),則n的最小值為　　　　　.? 答案:5π12 解析:f(x)=3cos2x-2sinxcosx=3cos2x-sin2x=2cos

6、2x+π6,將f(x)的圖象向左平移n個單位長度對應的函數(shù)解析式為f(x)=2cos2(x+n)+π6=2cos2x+2n+π6,要使它為偶函數(shù),則需要2n+π6=kπ(k∈Z),所以n=kπ2-π12(k∈Z).因為n>0,所以當k=1時,n有最小值5π12. 8.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,則f(x)=　　　　　　　　　　.? 答案:2sinπ8x+π4 解析:由題意得A=2,函數(shù)的周期為T=16. ∵T=2πω,∴ω=π8,此時f(x)=2sinπ8x+φ. 由f(2)=2,即sinπ8×2+φ=sinπ4+φ=1,

7、則π4+φ=2kπ+π2,k∈Z, 解得φ=2kπ+π4,k∈Z. ∵|φ|<π2,∴φ=π4, ∴函數(shù)的解析式為f(x)=2sinπ8x+π4. 9.已知函數(shù)f(x)=sin x+λcos x的圖象的一個對稱中心是點π3,0,則函數(shù)g(x)=λsin xcos x+sin2x的圖象的一條對稱軸是　　　　　.(寫出其中的一條即可)? 答案:x=-π3(答案不唯一) 解析:將點π3,0代入f(x)=sinx+λcosx,得λ=-3.g(x)=-3sinxcosx+sin2x=-32sin2x+12-12cos2x=12-sin2x+π6,令2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2

8、+π6,k∈Z.由k=-1,得x=-π3. 10.已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(x∈R). (1)求f2π3的值; (2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 解:(1)由sin2π3=32,cos2π3=-12, f2π3=322--122-23×32×-12, 得f2π3=2. (2)由cos2x=cos2x-sin2x與sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-3sin2x=-2sin2x+π6. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z, 解得π6+kπ≤

9、x≤2π3+kπ,k∈Z, 所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是π6+kπ,2π3+kπ(k∈Z). 11.已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2x-π6,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在區(qū)間-π3,π4上的最大值和最小值. 解:(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-π32 =1212cos2x+32sin2x-12cos2x =34sin2x-14cos2x=12sin2x-π6. 所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)因為f(x)在區(qū)間-π3,-π6上是減函數(shù),在區(qū)間-π6,π4上是增函數(shù),f-π3=-14,f-π6

10、=-12,fπ4=34.所以f(x)在區(qū)間-π3,π4上的最大值為34,最小值為-12. 二、思維提升訓練 12.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖象如圖所示,其中A,B兩點之間的距離為5,則f(-1)等于(　　) A.2 B.3 C.-3 D.-2 答案:A 解析:設函數(shù)f(x)的最小正周期為T,因為A,B兩點之間的距離為5,所以T22+42=5,解得T=6. 所以ω=2πT=π3. 又圖象過點(0,1),代入得2sinφ=1, 所以φ=2kπ+π6或φ=2kπ+5π6(k∈Z). 又0≤φ≤π,所以φ=π6或φ=5π6. 所以f(x)=

11、2sinπ3x+π6或f(x)=2sinπ3x+5π6. 對于函數(shù)f(x)=2sinπ3x+π6,當x略微大于0時,有f(x)>2sinπ6=1,與圖象不符,故舍去. 綜上,f(x)=2sinπ3x+5π6. 故f(-1)=2sin-π3+5π6=2. 13.函數(shù)y=11-x的圖象與函數(shù)y=2sin πx(-2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案:D 解析:函數(shù)y1=11-x,y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心(1,0),作出兩個函數(shù)的圖象如圖. 當1

12、圖象, 在區(qū)間1,32和52,72內(nèi)是減函數(shù);在區(qū)間32,52和72,4內(nèi)是增函數(shù). 所以函數(shù)y1在區(qū)間(1,4)內(nèi)函數(shù)值為負數(shù),且與y2的圖象有四個交點E,F,G,H. 相應地,y1在區(qū)間(-2,1)內(nèi)函數(shù)值為正數(shù),且與y2的圖象有四個交點A,B,C,D, 且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的橫坐標之和為8. 14.如果兩個函數(shù)的圖象平移后能夠重合,那么稱這兩個函數(shù)為“互為生成”函數(shù).給出下列四個函數(shù): ①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=2(sin x+cos x); ③f(x)=sin x;④f(x)=2sin x+2. 其中為“互為

13、生成”函數(shù)的是　　　　　.(填序號)? 答案:①④ 解析:首先化簡題中的四個解析式可得:①f(x)=2sinx+π4,②f(x)=2sinx+π4,③f(x)=sinx,④f(x)=2sinx+2.可知③f(x)=sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合,單純經(jīng)過平移不能完成,必須經(jīng)過伸縮變換才能實現(xiàn),所以③f(x)=sinx不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù);同理①f(x)=2sinx+π4的圖象與②f(x)=2sinx+π4的圖象也必須經(jīng)過伸縮變換才能重合,而④f(x)=2sinx+2的圖象可以向左平移π4個單位長度,再向下平移2個單位長度即可得到①f(x)=2sinx+π4的圖象,所以①

14、④為“互為生成”函數(shù). 15.如圖,在同一個平面內(nèi),向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tan α=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),則m+n=　　　　　.? 答案:3 解析:|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<π2,sinα>0,cosα>0,tanα=sinαcosα,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=7210,cosα=210,OC·OA=15,OC·OB=1,OA·OB=cosα+π4=-35, 得方程組m-35n=15,-35m+n=1,

15、解得m=54,n=74,所以m+n=3. 16.已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)=cos x的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),再將所得到的圖象向右平移π2個單位長度. (1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程; (2)已知關于x的方程f(x)+g(x)=m在區(qū)間[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β. ①求實數(shù)m的取值范圍; ②證明:cos(α-β)=2m25-1. (1)解將g(x)=cosx的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到y(tǒng)=2cosx的圖象,再將y=2cosx的圖象向右平移π2個單位長度

16、后得到y(tǒng)=2cosx-π2的圖象,故f(x)=2sinx. 從而函數(shù)f(x)=2sinx圖象的對稱軸方程為x=kπ+π2(k∈Z). (2)①解f(x)+g(x)=2sinx+cosx =525sinx+15cosx =5sin(x+φ)其中sinφ=15,cosφ=25. 依題意,sin(x+φ)=m5在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β當且僅當m5<1, 故m的取值范圍是(-5,5). ②證法一因為α,β是方程5sin(x+φ)=m在區(qū)間[0,2π)內(nèi)的兩個不同的解, 所以sin(α+φ)=m5,sin(β+φ)=m5. 當1≤m<5時,α+β=2π2-φ, 即α-β=

17、π-2(β+φ); 當-5