（課標通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第五章 平面向量 第3講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例檢測 文

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1、第3講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例 [基礎(chǔ)題組練] 1．已知向量a＝(1，1)，b＝(0，2)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)∥b B．(2a－b)⊥b C．|a|＝|b| D．a(chǎn)·b＝3 解析：選B.對于A，1×2－0×1≠0，錯誤；對于B，2a－b＝(2，0)，b＝(0，2)，則2×0＋0×2＝0，所以(2a－b)⊥b，正確；對于C，|a|＝，|b|＝2，錯誤；對于D，a·b＝1×0＋1×2＝2，錯誤． 2．設(shè)a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，則實數(shù)k的值等于(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：選A.c＝a＋kb＝(1，

2、2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因為b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－. 3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝(　　) A. B. C. D. 解析：選D.設(shè)c＝(m，n)，則a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)，因為(c＋a)∥b，則有－3(1＋m)＝2(2＋n)；又c⊥(a＋b)，則有3m－n＝0，解得m＝－，n＝－.所以c＝. 4．已知向量a，b滿足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，則|b|的取值范圍為(　　)

3、A．[1，2] B．[2，4] C． D． 解析：選D.由題意知b≠0，設(shè)向量a，b的夾角為θ，因為(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cos θ－2|b|2＝0，所以|b|cos θ＝1－2|b|2，因為－1≤cos θ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以≤|b|≤1，所以|b|的取值范圍是. 5．若單位向量e1，e2的夾角為，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，則λ＝________． 解析：由題意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化簡得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－. 答案：－

4、 6．(2019·江西七校聯(lián)考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影為－3，則向量a與b的夾角為________． 解析：因為b在a上的投影為－3， 所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，則b＝(3，－3)，所以|b|＝＝6，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，因為0≤〈a，b〉≤π，所以a與b的夾角為. 答案： 7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)． (1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值； (2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a與b夾角的大小．

5、 解：(1)由題意得a＋b＝(3，－1＋x)． 由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0， 解得x＝7，即b＝(1，7)， 所以|b|＝＝5. (2)由題意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)， 故x＝－3， 所以b＝(1，－3)， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 因為〈a，b〉∈[0，π]， 所以a與b夾角是. 8．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面積． 解：(1)因為(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝6

6、1. 又|a|＝4，|b|＝3， 所以64－4a·b－27＝61， 所以a·b＝－6， 所以cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，所以θ＝. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2 ＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝. (3)因為與的夾角θ＝， 所以∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， 所以S△ABC＝×4×3×＝3. [綜合題組練] 1．(2019·鄭州質(zhì)量預測)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，點F在邊CD上．若·＝3，則·的值為(　　) A．0 B． C．－4 D．4 解析：選

7、C.＝2?||＝||＝.設(shè)與的夾角為α，·＝3?||cos α＝1?||＝1.以A為坐標原點建立平面直角坐標系，AD為x軸，AB為y軸，則B(0，3)，F(xiàn)(，1)，E.因此＝(，－2)，·＝×－2×3＝2－6＝－4，故選C. 2．(2019·陜西質(zhì)檢(一))已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，則△ABC的面積等于(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：選B. 由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中點D，連接PD，則PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由|

8、|＝2，||＝1可得||＝，則||＝2，所以△ABC的面積為×2×2＝2. 3．(2019·武漢市武昌區(qū)調(diào)研考試)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.邊DC上的動點P(包含點D，C)與CB延長線上的動點Q(包含點B)滿足||＝||，則·的最小值為________． 解析：以點A為坐標原點，分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系， 設(shè)P(x，1)，Q(2，y)，由題意知0≤x≤2，－2≤y≤0. 因為||＝||，所以|x|＝|y|，所以x＝－y. 因為＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)， 所以·＝－x(2－x)－(y－1) ＝x2－2x－y＋1 ＝

9、x2－x＋1 ＝＋， 所以當x＝時，·取得最小值，為. 答案： 4．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，若對任意的單位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，則a·b的最大值是________． 解析：由題意得，|(a＋b)·e|≤|a·e|＋|b·e|≤，所以|a＋b|≤，所以|a|2＋|b|2＋2a·b≤6，所以a·b≤，即a·b的最大值是. 答案： 5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量

10、在方向上的投影． 解：(1)由m·n＝－， 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－， 所以cos A＝－.因為0b，所以A>B，則B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1. 故向量在方向上的投影為 ||cos B＝ccos B＝1×＝. 6.在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點A(1，0)和點B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O為坐標原點． (1)若θ＝π，設(shè)點D為線段OA上的動點，求|＋|的最小值； (2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及對應(yīng)的θ值． 解：(1)設(shè)D(t，0)(0≤t≤1)， 由題意知C， 所以＋＝， 所以|＋|2＝－t＋t2＋ ＝t2－t＋1＝＋， 所以當t＝時，|＋|有最小值，為. (2)由題意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)， 則m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin， 因為θ∈，所以≤2θ＋≤， 所以當2θ＋＝，即θ＝時，sin取得最大值1. 所以當θ＝時，m·n取得最小值為1－. 6