4、質(zhì)檢一)若e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則向量a＝e1＋e2，b＝－e1＋2e2的夾角為( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
答案 B
解析 依題意，有e1·e2＝cos60°＝，則cos〈a，b〉
＝＝
＝＝＝，
故〈a，b〉＝60°，故選B．
8．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點(diǎn)P是斜邊AB上的中點(diǎn)，則·＋·＝________．
答案 4
解析 由題意可建立如圖所示的坐標(biāo)系．可得A(2,0)，B(0,2)，P(1，1)，C(0,0)，則·＋·＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4
5、．
二、高考小題
9．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
答案 B
解析 因?yàn)閍·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3．故選B．
10．(2018·天津高考)在如圖的平面圖形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，則·的值為( )
A．－15 B．－9 C．－6 D．0
答案 C
解析 解法一：連接OA．∵＝－＝3－3＝3(－)－3(－)＝3(－)，∴·＝3(－)·＝3(·－||2)＝3×(2×1×cos120°－12
6、)＝3×(－2)＝－6．故選C．
解法二：在△ABC中，不妨設(shè)∠A＝90°，取特殊情況ON⊥AC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椤螹ON＝120°，ON＝2，OM＝1，所以O(shè)2，，C0，，M，0，B，0．故·＝－，·，－＝－－＝－6．故選C．
11．(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是( )
A．－1 B．＋1 C．2 D．2－
答案 A
解析 設(shè)＝a，＝b，＝e，以O(shè)為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系
7、，則E(1,0)．不妨設(shè)A點(diǎn)在第一象限，∵a與e的夾角為，∴點(diǎn)A在從原點(diǎn)出發(fā)，傾斜角為，且在第一象限內(nèi)的射線上．設(shè)B(x，y)，由b2－4e·b＋3＝0，得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，即點(diǎn)B在圓(x－2)2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)．而＝a－b，∴|a－b|的最小值即為點(diǎn)B到射線OA的距離的最小值，即為圓心(2,0)到射線y＝x(x≥0)的距離減去圓的半徑，所以|a－b|min＝－1．故選A．
12．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
答案 B
解析 解
8、法一：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為E，則有＋＝2，則·(＋)＝2·
＝2(＋)·(－)
＝2(2－2)．
而2＝2＝，
當(dāng)P與E重合時(shí)，2有最小值0，故此時(shí)·(＋)取最小值，最小值為－22＝－2×＝－．故選B．
解法二：以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，設(shè)P(x，y)，取BC的中點(diǎn)D，則D，．
·(＋)
＝2·＝2(－1－x，－y)·－x，－y
＝2(x＋1)·x－＋y·y－
＝2x＋2＋y－2－．
因此，當(dāng)x＝－，y＝時(shí)，·(＋)取得最小值，為2×－＝－．故選B．
13．(2017·山東高考
9、)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是______．
答案
解析 由題意不妨設(shè)e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，則e1－e2＝(，－1)，e1＋λe2＝(1，λ)．根據(jù)向量的夾角公式得cos60°＝＝＝，所以－λ＝，解得λ＝．
14．(2018·上海高考)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－1，0)，B(2,0)，E，F(xiàn)是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且||＝2，則·的最小值為_(kāi)_______．
答案 －3
解析 設(shè)E(0，m)，F(xiàn)(0，n)，又A(－1,0)，B(2,0)，∴＝(1，m)，＝(－2，n)．∴·＝－2＋mn，又知||＝2，∴
10、|m－n|＝2．
①當(dāng)m＝n＋2時(shí)，·＝mn－2＝(n＋2)n－2＝n2＋2n－2＝(n＋1)2－3．∴當(dāng)n＝－1，即E的坐標(biāo)為(0,1)，F(xiàn)的坐標(biāo)為(0，－1)時(shí)，·取得最小值－3．
②當(dāng)m＝n－2時(shí)，·＝mn－2＝(n－2)n－2＝n2－2n－2＝(n－1)2－3．∴當(dāng)n＝1，即E的坐標(biāo)為(0，－1)，F(xiàn)的坐標(biāo)為(0,1)時(shí)，·取得最小值－3．
綜上可知，·的最小值為－3．
三、模擬小題
15．(2018·惠州一模)若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
11、
答案 A
解析 因?yàn)?－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故選A．
16．(2018·唐山期末)在平行四邊形ABCD中，已知AB＝5，AD＝3，|＋|＝4，則·＝( )
A．5 B．9 C．12 D．16
答案 B
解析 如圖，因?yàn)椋?，所以|＋|＝||＝4．又AB＝5，AD＝3，所以AD⊥BD．所以·＝||||cos〈，〉＝5×3×＝9．故選B．
17．(2018·鄭州質(zhì)檢三)在△ABC中，已知AD⊥AB，＝3，||＝1，則·＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 如圖
12、，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則AB∥CE．由＝3，得＝3，從而＝4．由數(shù)量積的幾何意義，知·＝4·＝4，故選D．
18．(2018·石家莊質(zhì)檢二)若兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 由|a＋b|＝|a－b|兩邊平方得a·b＝0．再由|a＋b|＝2|b|兩邊平方得|a|＝|b|．從而有cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以〈a＋b，a〉＝，故選D．
19．(2018·衡陽(yáng)二模)如圖，在正方形ABCD中，已知AB＝2，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，則·的值是_______
13、_．
答案 0
解析 解法一：·＝＋·－＝·＋2－2－·＝0＋2－2－0＝0．
解法二：因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以△ABE≌△BCF，故∠EAB＝∠FBC，從而AE⊥BF，故·＝0．
20．(2018·太原三模)已知a，b是單位向量，a·b＝0，若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值是________．
答案?。?
解析 因?yàn)閍，b是單位向量，a·b＝0，設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，則c－a－b＝(x－1，y－1)，所以|c－a－b|＝＝1，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以向量c的模|c|＝表示圓(x－1)2
14、＋(y－1)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，最大值為＋1＝＋1．
一、高考大題
1．(2017·江蘇高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值．
解 (1)因?yàn)閍＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝3sinx．
若cosx＝0，則sinx＝0，與sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0，于是tanx＝－．
又x∈[0，π]，所以x＝．
(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx
15、＝2cosx＋．
因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＋∈，，
從而－1≤cosx＋≤．
于是，當(dāng)x＋＝，即x＝0時(shí)，f(x)取到最大值3；
當(dāng)x＋＝π，即x＝時(shí)，f(x)取到最小值－2．
2．(2015·廣東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈．
(1)若m⊥n，求tanx的值；
(2)若m與n的夾角為，求x的值．
解 (1)∵m⊥n，∴m·n＝0，
故sinx－cosx＝0，∴tanx＝1．
(2)∵m與n的夾角為，
∴cos〈m，n〉＝＝＝，
故sin＝．
又x∈，∴x－∈，x－＝，
即x＝，故x的值為．
二、模擬大題
3．
16、(2018·江西南昌三校聯(lián)考)已知A，B，C是△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對(duì)邊長(zhǎng)，向量m＝(，cosA＋1)，n＝(sinA，－1)，m⊥n．
(1)求角A的大?。?
(2)若a＝2，cosB＝，求b的值．
解 (1)∵m⊥n，
∴m·n＝sinA＋(cosA＋1)×(－1)＝0，
∴sinA－cosA＝1，∴sinA－＝．
∴00，∴|a＋b|＝2cosx．
(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1
＝22－．
∵x∈，∴≤cosx≤1，
∴當(dāng)cosx＝時(shí)，f(x)取得最小值－；
當(dāng)cosx＝1時(shí)，f(x)取得最大值－1．
11
2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第三章 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 考點(diǎn)測(cè)試27 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 文（含解析）
