（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第九章 直線、平面、簡單幾何體和空間向量 第58講 空間向量運算及其應用練習 理（含解析）新人教A版

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1、第58講　空間向量運算及其應用 夯實基礎(chǔ)　【p132】 【學習目標】 1．了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置，會推導空間兩點間的距離公式． 2．理解空間向量的概念，理解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示． 3．掌握空間向量的線性運算及其坐標表示． 4．掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直． 【基礎(chǔ)檢測】 1．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a與b為共線向量，則(　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－D．x＝－，y＝ 【解析】∵a＝(2x，1，3)與b

2、＝(1，－2y，9)共線， 故有＝＝. ∴x＝，y＝－. 【答案】C 2．已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是(　　) A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1) 【解析】不妨設(shè)向量為b＝(x，y，z)， A．若b＝(－1，1，0)，則cos θ＝＝＝－≠，不滿足條件． B．若b＝(1，－1，0)，則cos θ＝＝＝，滿足條件． C．若b＝(0，－1，1)，則cos θ＝＝＝－≠，不滿足條件． D．若b＝(－1，0，1)，則cos θ＝＝＝－1≠，不滿足條件． 【答案】B 3．如圖，在正方體AB

3、CD－A1B1C1D1中，點M，N分別是面對角線A1B與B1D1的中點，若＝a，＝b，＝c，則＝(　　) A.(c＋b－a) B.(a＋b－c) C.(a－c) D.(c－a) 【解析】根據(jù)向量的線性運算 ＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝(－b＋c)＋(b－a)＝(c－a)． 【答案】D 4．已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外任一點，若由＝＋＋λ確定的一點P與三點A，B，C共面，則λ＝________． 【解析】由題意A，B，C三點不共線，點O是平面ABC外一點， 若由向量＝＋＋λ確定的點P與A，B，C共面，則＋＋λ＝1，解得λ＝. 【答案】 5．△ABC的三個頂

4、點分別是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，則AC邊上的高BD長為__________． 【解析】設(shè)＝λ，O為坐標原點，則＝＋λ＝(1，－1，2)＋λ(0，4，－3)＝(1，－1＋4λ，2－3λ)， 所以＝－＝(－4，5＋4λ，－3λ)，因為⊥， 所以·＝0＋4(5＋4λ)＋9λ＝0，解得λ＝－， 所以＝， 所以||＝＝5. 【答案】5 【知識要點】 1．空間向量的有關(guān)概念 (1)在空間中，我們把具有__大小__和__方向__的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的__模或長度__，用__|a|__表示，長度為零的向量叫做零向量，記為__0__；模為__

5、1__的向量叫做單位向量． (2)長度相等且方向相同的向量叫做__相等向量__，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量__相等__． 2．空間向量的加、減法法則和運算律 (1)向量加法運算法則是__平行四邊形__法則或__三角形__法則，即①加法法則：＝＋；②減法法則：＝－. (2)運算法則：①加法交換律：a＋b＝__b＋a__；②加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__． (3)線段AB的中點公式：設(shè)O是空間任意一點，點P是線段AB的中點，則＝__(＋)__． 3．向量的數(shù)乘運算 (1)實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍是一個向量，稱為向量的__數(shù)乘運算__，向量λ

6、a的長度為__|λa|__，當λ＞0時與a同向，當λ＜0時與a反向． (2)運算法則：①數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__；②數(shù)乘結(jié)合律：λ(μa)＝__(λμ)a__． 4．平行向量(共線向量) (1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相__平行或重合__，則這些向量叫做共線向量或平行向量．a(chǎn)平行于b記作a∥b. (2)共線向量定理：對空間任意兩個向量a(a≠0)，b，a∥b的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ使得b＝__λa__． 5．向量與平面平行 (1)如果表示向量a的有向線段所在直線與平面α__平行__或a在α平面__內(nèi)__，我們就說向量a平行于平面α，記作a∥α.

7、 (2)共面向量：我們把平行于同一__平面__的向量叫做共面向量． (3)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的實數(shù)對x，y，使得p＝__xa＋yb__． 6．空間向量基本定理 (1)基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使p＝__x__a＋y__b＋z__c__． (2)三個向量a，b，c不共面，我們把{a，b，c}叫做空間的一個__基底__，a，b，c都叫做__基向量__． 7．空間兩向量的數(shù)量積 (1)向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠

8、AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉． ①規(guī)定__0__≤〈a，b〉≤__π__，因而〈a，b〉＝〈b，a〉； ②如果〈a，b〉＝____，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b； ③如果非零向量a，b同向，則〈a，b〉＝__0__；如果非零向量a，b反向，則〈a，b〉＝__π__． (2)向量的模長公式：|a|＝__＝__． (3)向量的數(shù)量積定義：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝__|a||b|cos__〈a，b〉__． (4)a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)． 8．空間向量的坐標運算 (1)若O為原點，A(x1，y1，z1)，

9、B(x2，y2，z2)為空間任意兩點，則＝__(x1，y1，z1)__，＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)各種運算的坐標表示：設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則①a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)__； ②a－b＝__(x1－x2，y1－y2，z1－z2)__； ③λa＝__(λx1，λy1，λz1)__； ④a·b＝__x1x2＋y1y2＋z1z2__． (3)平行、垂直、模長、夾角的坐標表示： ①a∥b?__＝＝＝λ(b不與坐標軸平行)或a＝λb__； ②a⊥b?__x1x2＋y1y2＋z1z2＝0__； ③|a|＝__

10、__； ④cos 〈a，b〉＝____. (4)空間兩點的距離公式：設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)為空間任意兩點，則|AB|＝____． 典例剖析　【p133】 考點1　空間向量的坐標運算 已知空間三點A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． (1)求以，為邊的平行四邊形的面積； (2)若|a|＝，且a分別與，垂直，求向量a的坐標． 【解析】(1)由題意可得： ＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， ∴cos〈，〉＝ ＝＝＝. ∴sin〈，〉＝， ∴以，為邊的平行四邊形的面積為 S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.

11、 (2)設(shè)a＝(x，y，z)，由題意得 解得或 ∴向量a的坐標為(1，1，1)或(－1，－1，－1)． 【點評】(1)當題目條件有垂直關(guān)系時，常轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進行應用； (2)當異面直線所成的角為α時，常利用它們所在的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角θ來進行計算； (3)通過數(shù)量積可以求向量的模． 考點2　空間向量數(shù)量積的應用 如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點． (1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求MN的長； (3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值． 【解析】(1)設(shè)＝p，＝q，＝r. 由題意可知|p|＝|

12、q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量中兩兩的夾角均為60°. ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)， ∴·＝(q＋r－p)·p ＝(q·p＋r·p－p2) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. ∴⊥，即MN⊥AB.同理可證MN⊥CD. (2)由(1)可知＝(q＋r－p)， ∴||2＝(q＋r－p)2 ＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)] ＝＝×2a2＝. ∴||＝a.∴MN的長為a. (3)設(shè)向量與的夾角為θ. ∵＝(＋)＝(q＋r)，＝－＝q－p， ∴·＝(q＋r)· ＝ ＝ ＝＝. 又∵||＝||＝a， ∴·＝||||cos

13、 θ＝a×a×cos θ＝. ∴cos θ＝. ∴向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為. 【點評】數(shù)量積的應用 (1)求夾角，設(shè)向量a，b所成的角為θ，則cos θ＝，進而可求兩異面直線所成的角． (2)求長度(距離)，運用公式|a|2＝a·a，可使線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題． (3)解決垂直問題，利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題． 考點3　共線、共面向量定理及應用 已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點． (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；

14、 (2)求證：BD∥平面EFGH； (3)設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有＝(＋＋＋)． 【解析】(1)如圖，連接BG， 則＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋＝＋， 由共面向量定理的推論知 E，F(xiàn)，G，H四點共面． (2)因為＝－ ＝－＝(－)＝， 所以EH∥BD. 又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. (3)找一點O，并連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如圖所示． 由(2)知＝，同理＝， 所以＝，即EH綊FG， 所以四邊形EFGH是平行四邊形． 所以EG，F(xiàn)H被交點M平分． 故＝(＋)＝＋ ＝＋ ＝

15、(＋＋＋)． 【點評】(1)證明點共線的方法 證明點共線的問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的問題，如證明A，B，C三點共線，即證明，共線，亦即證明＝λ(λ≠0)． (2)證明點共面的方法 證明點共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明＝x＋y或?qū)臻g任一點O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理實際上也是三個非零向量所在直線共面的充要條件． 考點4　空間向量運算的應用 如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°. (1)求AC1的長； (2)求證：A

16、C1⊥BD； (3)求BD1與AC夾角的余弦值． 【解析】(1)記＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. ||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×＝6， ∴||＝，即AC1的長為. (2)∵＝a＋b＋c，＝b－a， ∴·＝(a＋b＋c)·(b－a) ＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c ＝b·c－a·c ＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0， ∴⊥，∴AC1⊥BD. (3)＝b＋c－a，＝a

17、＋b，∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos〈，〉＝＝. ∴AC與BD1夾角的余弦值為. 方法總結(jié)　　【p134】 1．證明平面三點共線的方法 對平面三點P，A，B可通過證明下列結(jié)論來證明三點共線： (1)＝λ(λ∈R)； (2)對空間任一點O，＝＋t(t∈R)； (3)對空間任一點O，＝x＋y(x，y∈R，且x＋y＝1)． 2．證明空間四點共面的方法 對空間四點P，M，A，B可通過證明下列結(jié)論來證明四點共面： (1)＝x＋y(x，y∈R)； (2)對空間任一點O，＝＋x＋y(x，y∈R)； (3)對空間任

18、一點O，＝x＋y＋z(x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1)； (4)∥(或∥或∥)． 3．利用向量的線性運算和空間向量基本定理表示向量是向量應用的基礎(chǔ)． 4．利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問題；利用數(shù)量積運算可以解決一些距離、夾角問題． 5．利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算或證明去解決問題． 6．同時要重視空間向量基本定理的運用，要注意空間向量基底的選取，用基向量表示出已知條件和所需解決問題的所有向量，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題． 7．用空間向量處理某些立體幾何問題時，除要有應用空間向量的意識外

19、，關(guān)鍵是根據(jù)空間圖形的特點建立恰當?shù)目臻g直角坐標系．若坐標系選取不當，計算量就會增大．總之，樹立用數(shù)解形的觀念，即用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題． 走進高考　　【p135】 1．(2014·廣東)已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是(　　) A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1) 【解析】(1，0，－1)·(－1，1，0)＝－1，夾角不可能為60°，(1，0，－1)·(1，－1，0)＝1，且|(1，0，－1)|＝|(1，－1，0)|＝，夾角恰好為60°. 【答案】B 2．(2018·北京)如圖，在三棱柱ABC

20、－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2. (1)求證：AC⊥平面BEF； (2)求二面角B－CD－C1的余弦值； (3)證明：直線FG與平面BCD相交． 【解析】(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中， ∵CC1⊥平面ABC， ∴四邊形A1ACC1為矩形． 又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點，∴AC⊥EF. ∵AB＝BC.∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF. (2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1. 又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC. ∵BE?平面ABC，∴EF⊥

21、BE. 如圖建立空間直角坐標系E－xyz. 由題意得B(0，2，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，1)，F(xiàn)(0，0，2)，G(0，2，1)． ∴＝(2，0，1)，＝(1，2，0)， 設(shè)平面BCD的法向量為n＝(a，b，c)， ∴∴ 令a＝2，則b＝－1，c＝－4， ∴平面BCD的法向量n＝(2，－1，－4)， 又∵平面CDC1的法向量為＝(0，2，0)， ∴cos〈n·〉＝＝－. 由圖可得二面角B－CD－C1為鈍角，所以二面角B－CD－C1的余弦值為－. (3)由(2)知平面BCD的法向量為n＝(2，－1，－4)， ∵G(0，2，1)，F(xiàn)(0，0，2)， ∴＝

22、(0，－2，1)，∴n·＝－2，∴n與不垂直， ∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，∴GF與平面BCD相交． 考點集訓　　【p250】 A組題 1．在下列命題中： ①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行； ②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面； ③若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面； ④已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故①不正確；根據(jù)自

23、由向量的意義知，空間任意兩向量a，b都共面，故②錯誤；三個向量a，b，c中任兩個一定共面，但它們?nèi)齻€卻不一定共面，故③不正確；只有當a，b，c不共面時，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確，綜上可知四個命題中正確的個數(shù)為0. 【答案】A 2．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　) A．1 B. C．2 D. 【解析】由已知，據(jù)向量坐標的線性運算可得ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，兩向量互相垂直，則數(shù)量積為0.則有3×(k－1)＋2k－2×2＝0，解得k＝. 【答案】B

24、3．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，＝(1，2，0)，＝(2，1，0)，＝(0，1，5)，則對角線AC1的邊長為(　　) A．4B．4C．5D．12 【解析】＝＋＋＝＋＋＝(0，1，5)＋(1，2，0)＋(2，1，0)＝(3，4，5)， 所以||＝＝5. 【答案】C 4．空間四邊形ABCD的各邊和對角線均相等，E是BC的中點，那么(　　) A.·<· B.·＝· C.·>· D.·與·的大小不能比較 【解析】取BD的中點F，連接EF，則EF綊CD，因為〈，〉＝〈，〉>90°，·＝0，·<0，所以·>·. 【答案】C 5．已知a＝(，－1，0)，b＝(k，0，1)

25、，a，b的夾角為60°，則k＝________． 【解析】由已知可得|a|＝2，|b|＝， ∴a·b＝2cos 60°＝k，∴k＝. 【答案】 6．如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是________． 【解析】∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝. 【答案】 7．四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，A1A＝AB＝AD，則CC1與BD所成角為__________． 【解析】四棱柱ABCD－A1B1C1D1

26、中，因為∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，A1A＝AB＝AD，＝＋＋，因為CC1∥BB1，所以∠DBB1是CC1，BD所成角，設(shè)AA1＝AB＝AD＝1，則BD＝1，2＝2＋2＋2＋2||||·cos 120°＋2||||cos 120°＋2||||cos 60°＝1＋1＋1－1－1＋1＝2，所以DB1＝，所以DB2＋BB＝DB，所以∠DBB1＝90°. 【答案】90° 8．已知空間中三點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設(shè)a＝，b＝. (1)求向量a與向量b的夾角的余弦值； (2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實數(shù)k的值． 【解析】(1)∵a＝(

27、1，1，0)，b＝(－1，0，2)， ∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 即向量a與向量b的夾角的余弦值為－. (2)法一：∵ka＋b＝(k－1，k，2)． ka－2b＝(k＋2，k，－4)， 且ka＋b與ka－2b互相垂直， ∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4) ＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0， ∴k＝2或k＝－， ∴當ka＋b與ka－2b互相垂直時， 實數(shù)k的值為2或－. 法二：由(1)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b

28、－2b2 ＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－. ∴當ka＋b與ka－2b互相垂直時， 實數(shù)k的值為2或－. B組題 1．如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面是邊長為1的正方形，若∠A1AB＝∠A1AD＝60°，且A1A＝3，則A1C的長為(　　) A.B．2C.D. 【解析】根據(jù)向量的線性運算 ||＝＝ ＝ ＝ ＝＝. 【答案】A 2．已知向量{a，b，c}是空間的一個單位正交基底，向量{a＋b，a－b，c}是空間的另一個基底．若向量m在基底{a，b，c}下的坐標為(1，2，3)，則m在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為________．

29、 【解析】由題意可知： m＝a＋2b＋3c＝－＋3c， 即m在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為. 【答案】 3．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點．計算： (1)·； (2)·； (3)EG的長； (4)異面直線AG與CE所成角的余弦值． 【解析】設(shè)＝a，＝b，＝c. 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°. ＝＝c－a，＝－a，＝b－c. (1)·＝·(－a) ＝a2－a·c＝. (2)·＝(c－a)·(b－c) ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.

30、 (3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，則||＝. (4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝－， 由于異面直線所成角的范圍是， 所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為. 4．如圖，在棱長為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O(shè)為原點建立空間直角坐標系O－xyz. (1)寫出點E，F(xiàn)的坐標； (2)求證：A1F⊥C1E； (3)若A1，E，F(xiàn)，C1四點共面，求證：＝＋. 【解析】(1)E(a，x，0)，F(xiàn)(a－x，a，0)． (2)∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)， ∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)， ∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0， ∴⊥， ∴A1F⊥C1E. (3)∵A1，E，F(xiàn)，C1四點共面， ∴，，共面． 選與為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實數(shù)對(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2， 即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a) ＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴ 解得λ1＝，λ2＝1. 于是＝＋. 18