3、)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A0,22,Bπ4,0,f(x)在0,π4內(nèi)有且只有兩個(gè)最值點(diǎn),且最大值點(diǎn)大于最小值點(diǎn),則f(x)=( )
A.sin3x+π4 B.sin5x+3π4
C.sin7x+π4 D.sin9x+3π4
二、填空題
8.(2019山東棲霞高三模擬)若△ABC的面積為34(a2+c2-b2),則∠B=.
9.下表中的數(shù)陣為“森德拉姆素?cái)?shù)篩”,其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列,記第i行第j列的數(shù)為ai,j(i,j∈N*),則
(1)a9,9= ;?
(2)表中的數(shù)82共出現(xiàn) 次.?
2
3
4
5
6
7
4、
…
3
5
7
9
11
13
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
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17
21
25
…
6
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16
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…
10.已知銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若b是12和2的等比中項(xiàng),c是1和5的等差中項(xiàng),則a的取值范圍是 .?
11.已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列,a1=2,且a2,a4,a8成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng);
(2)設(shè){bn-(
5、-1)nan}是等比數(shù)列,且b2=7,b5=71.求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
12.(2019河南八市重點(diǎn)高中高三五模,文21)已知函數(shù)f(x)=x(ln x+a)+b,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為2x-y-1=0.
(1)求a,b的值;
(2)若對(duì)任意的x∈(1,+∞),f(x)≥m(x-1)恒成立,求正整數(shù)m的最大值.
13.(2019河南八市重點(diǎn)高中高三五模,理21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2,且曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線與直線x+(e-2)y=0垂直.
(1)求函數(shù)f(x
6、)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:x>0時(shí),ex-ex-1≥x(ln x-1).
參考答案
專(zhuān)題突破練4 從審題中尋找解題思路
1.C 解析由題意得cosπ2-4x=1-2sin2π4-2x=1-2×925=725,sin4x=cosπ2-4x=725.故選C.
2.C 解析當(dāng)x=1時(shí),y=1+ln(2-1)=1-ln(2+1)>0;當(dāng)x=-1時(shí),y=-1+ln(2+1)<0.觀察各選項(xiàng),可得C選項(xiàng)符合.故選C.
3.C 解析若a,b的夾角為鈍角,則a·b<0且不反向共線,a·b=-2+3t<0,得t<23.向量a=(2,t),b=(-1,3)共線時(shí),2×3=-t,得
7、t=-6,此時(shí)a=-2b.所以t<23且t≠-6.故選C.
4.A 解析∵sinA+2sinBcosC=0,
∴sin(B+C)+2sinBcosC=0.
∴3sinBcosC+cosBsinC=0.
∵cosB≠0,cosC≠0,
∴3tanB=-tanC.
∵3b=c,∴c>b.∴C>B.
∴B為銳角,C為鈍角.
∴tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC=2tanB1+3tan2B=21tanB+3tanB≤223=33,
當(dāng)且僅當(dāng)tanB=33時(shí)取等號(hào).
∴tanA的最大值是33.故選A.
5.A 解析∵直線l過(guò)(a,0),(0,b)
8、兩點(diǎn),
∴直線l的方程為xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.又原點(diǎn)到直線l的距離為34c,
∴|-ab|a2+b2=34c,即a2b2a2+b2=316c2,
又c2=a2+b2,∴a2(c2-a2)=316c4,
即316c4-a2c2+a4=0,
化簡(jiǎn)得(e2-4)(3e2-4)=0,
∴e2=4或e2=43.
又∵02,
∴e2=4,即e=2,故選A.
6.B 解析如圖,在A1D1上取中點(diǎn)Q,在BC上取中點(diǎn)N,連接DN,NB1,B1Q,QD.
∵DN∥BM,DQ∥A1M且DN∩DQ=D,BM∩A1M=M,
∴平面B1
9、QDN∥平面A1BM,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是DN(不含D,N兩點(diǎn)),
又CC1⊥平面ABCD,則當(dāng)CP⊥DN時(shí),C1P取得最小值.
此時(shí),CP=2×112+22=25,
∴C1P≥252+22=2305.故選B.
7.D 解析根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象如下,
因?yàn)閒(0)=sinφ=22,由圖可知,φ=3π4+2kπ(k∈Z).又因?yàn)?<φ<π,所以φ=3π4.所以f(x)=sinωx+3π4.因?yàn)閒π4=sinπ4ω+3π4=0,由圖可知,π4ω+3π4=π+2kπ,k∈Z,解得ω=1+8k,k∈Z.又因?yàn)?πω=T<π4,可得ω>8.所以當(dāng)k=1時(shí),ω=9,所以f(x)=s
10、in9x+3π4.故選D.
8.π3 解析由三角形面積公式可得:S=12acsinB=34(a2+c2-b2),
∴14sinB=34×a2+c2-b22ac=34cosB,
∴tanB=3.∵B∈(0,π),∴B=π3.
9.(1)82 (2)5 解析(1)a9,9表示第9行第9列,第1行的公差為1,第2行的公差為2……第9行的公差為9,第9行的首項(xiàng)b1=10,則b9=10+8×9=82.
(2)第1行數(shù)組成的數(shù)列a1,j(j=1,2,…)是以2為首項(xiàng),公差為1的等差數(shù)列,所以a1,j=2+(j-1)·1=j+1;第i行數(shù)組成的數(shù)列ai,j(j=1,2,…)是以i+1為首項(xiàng),公差為
11、i的等差數(shù)列,所以ai,j=(i+1)+(j-1)i=ij+1,由題意得ai,j=ij+1=82,即ij=81,且i,j∈N*,所以81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出現(xiàn)5次.
10.(22,10) 解析因?yàn)閎是12和2的等比中項(xiàng),所以b=12×2=1;因?yàn)閏是1和5的等差中項(xiàng),所以c=1+52=3.
又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,
①當(dāng)a為最大邊時(shí),
有12+32-a2>0,a≥3,1+3>a,
解得3≤a<10;
②當(dāng)c為最大邊時(shí),有
12+a2-32>0,a+1>3,a≤3,解得22
12、(22,10).
11.解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),
∵a1=2,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,
∴(3d+2)2=(d+2)(7d+2),解得d=2,故an=a1+(n-1)d=2n.
(2)令cn=bn-(-1)nan,設(shè){cn}的公比為q.
∵b2=7,b5=71,an=2n,
∴c2=b2-a2=3,c5=81,
∴q3=c5c2=27,q=3,
∴cn=c2qn-2=3n-1.
從而bn=3n-1+(-1)n2n.
Tn=b1+b2+…+bn=(30+31+…+3n-1)+[-2+4-6+…+(-1)n2n],當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=3n+2n-12,
13、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=3n-2n-32.
12.解(1)由f(x)=x(lnx+a)+b,得
f'(x)=lnx+a+1,
由切線方程可知:f(1)=2-1=1,
∴f'(1)=a+1=2,f(1)=a+b=1,
解得a=1,b=0.
(2)由(1)知f(x)=x(lnx+1),
則x∈(1,+∞)時(shí),f(x)≥m(x-1)恒成立等價(jià)于x∈(1,+∞)時(shí),m≤x(lnx+1)x-1恒成立.
令g(x)=x(lnx+1)x-1,x>1,
則g'(x)=x-lnx-2(x-1)2.
令h(x)=x-lnx-2,則h'(x)=1-1x=x-1x,∴當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)>
14、0,則h(x)單調(diào)遞增,
∵h(yuǎn)(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,
∴?x0∈(3,4),使得h(x0)=0.
當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),g'(x)<0;x∈(x0,+∞)時(shí),g'(x)>0,∴g(x)min=g(x0)=x0(lnx0+1)x0-1.
∵h(yuǎn)(x0)=x0-lnx0-2=0,
∴l(xiāng)nx0=x0-2.
∴g(x)min=g(x0)=x0(x0-2+1)x0-1=x0∈(3,4).
∴m≤x0∈(3,4),即正整數(shù)m的最大值為3.
13.(1)解由f(x)=ex-ax2,得f'(x)=ex-2ax.
因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線與直線x+(e
15、-2)y=0垂直,
所以f'(1)=e-2a=e-2,所以a=1,
即f(x)=ex-x2,f'(x)=ex-2x.
令g(x)=ex-2x,則g'(x)=ex-2.
所以x∈(-∞,ln2)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
x∈(ln2,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.
所以g(x)min=g(ln2)=2-2ln2>0.
所以f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
即f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞),無(wú)減區(qū)間.
(2)證明由(1)知f(x)=ex-x2,f(1)=e-1,所以y=f(x)在x=1處的切線方程為y-(e-1)=(e-2)(x-1),即y=(
16、e-2)x+1.
令h(x)=ex-x2-(e-2)x-1,
則h'(x)=ex-2x-(e-2)=ex-e-2(x-1),
且h'(1)=0,h″(x)=ex-2.
x∈(-∞,ln2)時(shí),h″(x)<0,h'(x)單調(diào)遞減;
x∈(ln2,+∞)時(shí),h″(x)>0,h'(x)單調(diào)遞增.
因?yàn)閔'(1)=0,所以h'(x)min=h'(ln2)=4-e-2ln2<0.
因?yàn)閔'(0)=3-e>0,所以存在x0∈(0,1),使x∈(0,x0)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;x∈(x0,1)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
又h(0)=h(1)=0,所以x>0時(shí),h(x)≥0,即ex-x2-(e-2)x-1≥0,所以ex-(e-2)x-1≥x2.
令φ(x)=lnx-x,
則φ'(x)=1x-1=1-xx.
所以x∈(0,1)時(shí),φ'(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增;
x∈(1,+∞)時(shí),φ'(x)<0,φ(x)單調(diào)遞減,
所以φ(x)≤φ(1)=-1,即lnx+1≤x.
因?yàn)閤>0,所以x(lnx+1)≤x2.
所以x>0時(shí),ex-(e-2)x-1≥x(lnx+1),
即x>0時(shí),ex-ex-1≥x(lnx-1).
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