2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3 綜合法與分析法 3.2 分析法練習(xí) 北師大版選修1-2

4、 7.已知點An(n,an)為函數(shù)y=x2+1圖像上的點,Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖像上的點,其中n∈N+,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為　　　　　.? 解析:因為an=n2+1,bn=n,要判斷cn與cn+1的大小關(guān)系,只需判斷cn的增減性,而cn=n2+1-n=1n2+1+n,cn隨n的增大而減小,所以cn+1cn+1 8.已知a>0,b>0,2c>a+b,求證:c-c2-ab

5、c)20,故只需證a-2c<-b,即證a+b<2c, 此為題設(shè)中的已知條件.故原不等式成立. 9.★設(shè)a,b,c,D均為正數(shù),且a+b=c+D,證明: (1)若ab>cD,則a+b>c+d; (2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件. 證明(1)因為(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd, 由題設(shè)a+b=c+D,ab>cD, 得(a+b)2>(c+d)2. 因此a+b>c+d. (2)①若|a-b|<|c-D|,則(a-b)2<(c-D)2, 即(a+b)2-4ab<(c+D)2-4c

6、D. 因為a+b=c+D,所以ab>cD. 由(1),得a+b>c+d. ②若a+b>c+d,則(a+b)2>(c+d)2, 即a+b+2ab>c+d+2cd. 因為a+b=c+D, 所以ab>cD. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+D)2-4cD=(c-D)2. 因此|a-b|<|c-D|. 綜上,a+b>c+d是|a-b|<|c-D|的充要條件. 10.★如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點.求證: (1)直線BC1∥平面EFPQ; (2)直線AC1⊥平面PQ

7、MN. 證明(1)如圖,連接AD1, 由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知AD1∥BC1. 因為F,P分別是AD,DD1的中點,所以FP∥AD1. 從而BC1∥FP. 而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ, 故直線BC1∥平面EFPQ. (2)如圖,連接AC,BD,B1D1,A1C1,則AC⊥BD. 由CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,可得CC1⊥BD. 又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1A1. 而AC1?平面ACC1A1,所以BD⊥AC1. 因為M,N分別是A1B1,A1D1的中點, 所以MN∥B1D1∥BD,從而MN⊥AC1. 同理可證PN⊥AC1. 又PN∩MN=N, 所以直線AC1⊥平面PQMN. 6