（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 第9講 離散型隨機變量的均值與方差練習（含解析）

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1、第9講　離散型隨機變量的均值與方差 一、選擇題 1.已知離散型隨機變量X的概率分布列為 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 則其方差D(X)＝(　　) A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 解析　由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 答案　C 2.(2017·西安調(diào)研)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X

2、的數(shù)學期望為(　　) A.100 B.200 C.300 D.400 解析　設(shè)沒有發(fā)芽的種子有ξ粒，則ξ～B(1 000，0.1)，且X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝2×1 000×0.1＝200. 答案　B 3.已知隨機變量X服從二項分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，則二項分布的參數(shù)n，p的值為(　　) A.n＝4，p＝0.6 B.n＝6，p＝0.4 C.n＝8，p＝0.3 D.n＝24，p＝0.1 解析　由二項分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，

3、p＝0.4.故選B. 答案　B 4.已知隨機變量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，則E(η)，D(η)分別是(　　) A.6，2.4 B.2，2.4 C.2，5.6 D.6，5.6 解析　由已知隨機變量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案　B 5.口袋中有5只球，編號分別為1，2，3，4，5，從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的數(shù)學期望E(X)的值是(　　) A.4 B.4.5 C.4.75 D.5 解析　由題意知，X可

4、以取3，4，5，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝＝， 所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5. 答案　B 二、填空題 6.設(shè)X為隨機變量，X～B，若隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝2，則P(X＝2)等于________. 解析　由X～B，E(X)＝2，得 np＝n＝2，∴n＝6， 則P(X＝2)＝C＝. 答案　 7.隨機變量ξ的取值為0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________. 解析　設(shè)P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b， 則解得 所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. 答案　 8.(20

5、17·合肥模擬)某科技創(chuàng)新大賽設(shè)有一、二、三等獎(參與活動的都有獎)且相應獎項獲獎的概率是以a為首項，2為公比的等比數(shù)列，相應的獎金分別是7 000元、5 600元、4 200元，則參加此次大賽獲得獎金的期望是________元. 解析　由題意知a＋2a＋4a＝1，∴a＝，∴獲得一、二、三等獎的概率分別為，，，∴所獲獎金的期望是E(X)＝×7 000＋×5 600＋×4 200＝5 000元. 答案　5 000 三、解答題 9.(2017·成都診斷)據(jù)報道，全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點，一時間“英語考試該如何改”引起廣泛關(guān)注.為了解某地區(qū)學生和包括老師、家長在內(nèi)的社會人士對

6、高考英語改革的看法，某媒體在該地區(qū)選擇了3 600人進行調(diào)查，就“是否取消英語聽力”問題進行了問卷調(diào)查統(tǒng)計，結(jié)果如下表： 態(tài)度 調(diào)查人群 應該取消 應該保留 無所謂 在校學生 2 100人 120人 y人 社會人士 600人 x人 z人 已知在全體樣本中隨機抽取1人，抽到持“應該保留”態(tài)度的人的概率為0.05. (1)現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取360人進行訪談，問應在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人？ (2)在持“應該保留”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取6人，再平均分成兩組進行深入交流.求第一組中在校學生人數(shù)

7、ξ的分布列和數(shù)學期望. 解　(1)因為抽到持“應該保留”態(tài)度的人的概率為0.05，所以＝0.05，解得x＝60. 所以持“無所謂”態(tài)度的人數(shù)為3 600－2 100－120－600－60＝720，所以應在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取720×＝72人. (2)由(1)知持“應該保留”態(tài)度的一共有180人， 所以在所抽取的6人中，在校學生為×6＝4人，社會人士為×6＝2人，于是第一組在校學生人數(shù)ξ＝1，2，3， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2. 10.(2017

8、·鄭州一模)在“出彩中國人”的一期比賽中，有6位歌手(1～6)登臺演出，由現(xiàn)場百家大眾媒體投票選出最受歡迎的出彩之星，各家媒體獨立地在投票器上選出3位出彩候選人，其中媒體甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，另在2號至6號中隨機的選2名；媒體乙不欣賞2號歌手，他必不選2號；媒體丙對6位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至6號歌手中隨機的選出3名. (1)求媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率； (2)X表示3號歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學期望. 解　(1)設(shè)A表示事件：“媒體甲選中3號歌手”，B表示事件：“媒體乙選中3號歌手”，C表示事件：“媒體丙選中3號歌手”，則

9、P(A)＝＝，P(B)＝＝， ∴媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率為 P(A)＝×＝. (2)P(C)＝＝， 由已知得X的可能取值為0，1，2，3， P(X＝0)＝P()＝×× ＝. P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 11.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取5次，設(shè)摸

10、得白球數(shù)為X，已知E(X)＝3，則D(X)＝(　　) A. B. C. D. 解析　由題意，X～B， 又E(X)＝＝3，∴m＝2， 則X～B，故D(X)＝5××＝. 答案　B 12.袋中裝有大小完全相同，標號分別為1，2，3，…，9的九個球.現(xiàn)從袋中隨機取出3個球.設(shè)ξ為這3個球的標號相鄰的組數(shù)(例如：若取出球的標號為3，4，5，則有兩組相鄰的標號3，4和4，5，此時ξ的值是2)，則隨機變量ξ的均值E(ξ)為(　　) A. B. C. D. 解析　依題意得，ξ的所有可能取值是0，1，2. 且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，因此E(

11、ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 答案　D 13.馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的分布列如下表： x 1 2 3 p(ξ＝x) ？ ！ ？ 請小牛同學計算ξ的均值.盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________. 解析　設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為1－2x，則E(ξ)＝1×x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2. 答案　2 14.計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位

12、：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立. (1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系： 年入流量X 40120 發(fā)電機最多可運行臺數(shù) 1 2 3 若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安

13、裝發(fā)電機多少臺？ 解　(1)依題意，p1＝P(40120)＝＝0.1. 由二項分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為 p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝＋4××＝0.947 7. (2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元). ①安裝1臺發(fā)電機的情形. 由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1， 對應的年利潤Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000. ②安裝2臺發(fā)電機的情形. 依題意，當40

14、00＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺. 7