2、
A.B．16C．32D．4
【解析】由題意知F(2，0)，AB所在直線方程為y＝tan30°(x－2)＝(x－2)，聯(lián)立y2＝8x消元得y2－8y－16＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝8，y1·y2＝－16，
所以|AB|＝＝32.
【答案】C
3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M(－2，1)，則直線l的斜率為( )
A.B.C.D．1
【解析】由e＝＝得＝＝，∴a2＝4b2，
則橢圓方程為x2＋4y2＝4b2，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－4，y1＋y2＝
3、2，
把A，B的坐標代入橢圓方程得
兩式相減得：(x1－x2)(x1＋x2)＝－4(y1－y2)(y1＋y2)，
則＝－＝，
∴直線l的斜率為.
【答案】C
4．直線l與橢圓C：＋y2＝1相交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別相交于C，D兩點．如果C，D是線段AB的兩個三等分點，則直線l的斜率為________．
【解析】由題意，設直線l的方程為y＝kx＋m(km≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C，D(0，m)，
聯(lián)立可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
Δ＝16k2－8m2＋8>0，
由韋達定理可得x1＋x2＝，x1x2＝，
∵C，D是線段AB
4、的兩個三等分點，
∴線段AB的中點與線段CD的中點重合．
∴x1＋x2＝＝0－，解得k＝±.
【答案】±
【知識要點】
1．直線與圓錐曲線的位置關系
判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個關于變量x(或y)的一元方程．
即，消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)當a≠0時，設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ>0?直線和圓錐曲線C相交于不同的兩點；Δ＝0?直線和圓錐曲線C相切于一點；Δ<0?直線和圓錐曲線C沒有公共點．
(2)當a＝0時，若圓錐曲
5、線是雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行或重合；若圓錐曲線是拋物線，則直線l與拋物線的__對稱軸__平行(或重合)．
2．圓錐曲線的弦長
(1)圓錐曲線的弦長：直線與圓錐曲線相交有兩個交點時，這條直線上以這兩個交點為端點的線段叫做圓錐曲線的弦．
(2)圓錐曲線弦長的計算
設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|(拋物線的焦點弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ為弦AB所在直線的傾斜角)．
典例剖析 【p159】
考點1 直線與圓錐曲線位置關系的判定及應用
(1)過拋物線y2＝2x的焦點
6、作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線( )
A．有且只有一條B．有且只有兩條
C．有且只有三條D．有且只有四條
【解析】設拋物線的焦點為F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝2＋1＝3>2p＝2.所以符合條件的直線有兩條．
【答案】B
(2)設a，b是關于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的兩個不等實根，則過A(a，a2)，B(b，b2)兩點的直線與雙曲線－＝1的公共點的個數為( )
A．0B．1C．2D．3
【解析】關于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的兩個不等實根為0
7、，－tanθ(tanθ≠0)，則過A，B兩點的直線方程為y＝－xtanθ，雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±xtanθ，所以直線y＝－xtanθ與雙曲線沒有公共點．故選A.
【答案】A
在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F1(－1，0)，且點P(0，1)在C1上．
(1)求橢圓C1的方程；
(2)設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2＝4x相切，求直線l的方程．
【解析】(1)根據橢圓的左焦點為F1(－1，0)，知a2－b2＝1，又根據點P(0，1)在橢圓上，知b＝1，所以a＝，所以橢圓C1的方程為＋y2＝1.
(2)因為直線l與橢圓C1和拋物線
8、C2都相切，
所以其斜率存在且不為0，
設直線l的方程為y＝kx＋m(k≠0)，
代入橢圓方程得＋(kx＋m)2＝1，
即x2＋2kmx＋m2－1＝0，
由題意可知此方程有唯一解，
此時Δ＝4k2m2－4(m2－1)＝0，
即m2＝2k2＋1.①
把y＝kx＋m(k≠0)代入拋物線方程得y2－y＋m＝0，由題意可知此方程有唯一解，此時Δ＝1－mk＝0，
即mk＝1.②
聯(lián)立①②得解得k2＝，
所以或
所以直線l的方程為y＝x＋或y＝－x－.
【點評】研究直線與圓錐曲線位置關系的方法
研究直線和圓錐曲線的位置關系，一般轉化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的
9、個數．對于選擇題、填空題，常充分利用幾何條件，利用數形結合的方法求解．
考點2 弦長問題
已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，直線l1：y＝x與橢圓相交于A、B兩點，橢圓的上頂點E與焦點F2關于直線l1對稱，且|EF2|＝2.斜率為－1的直線l2與線段AB相交于點P，與橢圓相交于C，D兩點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求四邊形ACBD面積的取值范圍．
【解析】(1)由頂點E與焦點F2關于直線l1：y＝x對稱，知＝1，即b＝c，
又|EF2|＝2，得b2＋c2＝8，a2＝8，
所以橢圓方程為＋＝1.
(2)設直線l2的方程為y＝－x＋m，C(x1，
10、y1)，D(x2，y2)，
由得3x2－4mx＋2m2－8＝0，
所以
由(1)知直線l1：y＝x，代入橢圓得A，B，得|AB|＝.
由直線l2與線段AB相交于點P，得m∈，
|CD|＝|x1－x2|＝
＝＝，
而kl2＝－1與kl1＝1，知l2⊥l1，
∴SACBD＝|AB|×|CD|＝，
由m∈，得－m2∈，
所以∈，
∴四邊形ACBD面積的取值范圍是.
考點3 中點弦問題
如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點M(－2，1)是橢圓內一點，過點M作兩條斜率存在且互相垂直的動直線l1，l2，設l1與橢圓C相交于點A，B，l2與橢圓C相交于點D，E.當點M恰
11、好為線段AB的中點時，|AB|＝.
(1)求橢圓C的方程；
(2)求·的最小值．
【解析】(1)由題意設a2＝4b2，即橢圓C：＋＝1，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)．
由作差得
(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
又∵M(－2，1)，即x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
∴AB斜率k＝＝.
由
消y得，x2＋4x＋8－2b2＝0.
則|AB|＝|x1－x2|＝＝.
解得b2＝3，于是橢圓C的方程為：＋＝1.
(2)設直線AB：y＝k(x＋2)＋1，由消y得，
(1＋4k2)x2＋8k(
12、2k＋1)x＋4(2k＋1)2－12＝0.
于是x1＋x2＝，x1·x2＝.
·＝(＋)·(＋)＝·＋·
＝(－2－x1，1－y1)·(2＋x2，y2－1)＋(－2－x4，1－y4)·(2＋x3，y3－1)，
∵(－2－x1，1－y1)·(2＋x2，y2－1)
＝－(1＋k2)(2＋x1)(2＋x2)
＝－(1＋k2)[4＋2(x1＋x2)＋x1x2]＝.
同理可得(－2－x4，1－y4)·(2＋x3，y3－1)＝.
∴·＝4(1＋k2)＝，
≥＝，當k＝±1時取等號．
綜上，·的最小值為.
【點評】處理中點弦問題常用的求解方法
(1)點差法：即設出弦的兩端點坐標后，代
13、入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率．
(2)根與系數的關系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后，由根與系數的關系求解．
方法總結 【p160】
1．本講研究的問題集中體現了解析幾何的基本思想和方法，要求有較強的分析問題和解決問題的能力，有些問題涉及到代數、三角、幾何等多方面的知識，因此在復習中要注意各學科之間的聯(lián)系，提高綜合利用知識解決問題的能力．
2．直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組是否有實數解或實數解的個數問題，通過消元最終
14、歸結為討論方程Ax2＋Bx＋C＝0的實數解的個數問題．應特別注意要分A＝0和A≠0的兩種情況討論，只有A≠0時，才可用判別式來確定解的個數．當直線平行于拋物線的對稱軸時，直線與拋物線只有一個公共點．這些情況在解題中往往容易疏忽，要特別注意．對于選擇、填空題，用數形結合方法求解，往往快速簡捷．
3．斜率為k的直線被圓錐曲線截得弦AB的長|AB|＝|x1－x2|·＝|y1－y2|·(k≠0)，利用這個公式求弦長時，應注意應用韋達定理與判別式．與焦點弦長有關的問題，要注意應用圓錐曲線的定義．與弦長中點有關問題，注意利用點差法簡化運算．
走進高考 【p160】
1．(2018·全國卷Ⅰ)設橢圓
15、C：＋y2＝1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(2，0)．
(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；
(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA＝∠OMB.
【解析】(1)由已知得F(1，0)，l的方程為x＝1.
由已知可得，點A的坐標為或.
所以AM的方程為y＝－x＋或y＝x－.
(2)當l與x軸重合時，∠OMA＝∠OMB＝0°.
當l與x軸垂直時，OM為AB的垂線平分線，所以∠OMA＝∠OMB.
當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1<，x2<，直線MA，MB的斜率之和為kMA
16、＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得
kMA＋kMB＝.
將y＝k(x－1)代入＋y2＝1得
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
所以，x1＋x2＝，x1x2＝.
則2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.
從而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的傾斜角互補．
所以∠OMA＝∠OMB.
綜上，∠OMA＝∠OMB.
考點集訓 【p270】
A組題
1．若直線mx＋ny＝4與⊙O：x2＋y2＝4相切，則過點P(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點個數是( )
A．至多為1B．2C．1D．0
【解析】由題意知：＝2，即＝2，
∴點P(m
17、，n)在橢圓＋＝1的內部，故所求交點個數是2.
【答案】B
2．已知拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點，若P(2，2)為AB的中點，則拋物線C的方程為( )
A．y2＝4xB．y2＝－4x
C．x2＝4yD．y2＝8x
【解析】設拋物線方程為y2＝2px，
直線與拋物線方程聯(lián)立求得x2－2px＝0，
∴xA＋xB＝2p，
∵xA＋xB＝2×2＝4，
∴p＝2，
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
【答案】A
3．已知橢圓C的方程為＋＝1(m>0)，如果直線y＝x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F，則m的值為( )
18、A．2B．2C．8D．2
【解析】根據已知條件得c＝，則點(，)在橢圓＋＝1(m>0)上，
∴＋＝1，可得m＝2.
【答案】B
4．已知雙曲線x2－＝1，過點P(1，1)作直線l與雙曲線交于A，B兩點，使點P是線段AB的中點，那么直線l的方程為( )
A．2x－y－1＝0B．2x＋y－3＝0
C．x－2y＋1＝0D．不存在
【解析】根據題意，設過點P(1，1)的直線方程為y＝k(x－1)＋1或x＝1，當k存在時，有得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0(*)，當直線與雙曲線有兩個不同交點時，必有Δ＝(2k2－2k)2－4(2－k2)(－k2＋2k－3)>0，
19、解得k<，
又方程(*)的兩個不同的根是兩交點A，B的橫坐標，所以x1＋x2＝－，又P(1，1)為線段AB的中點，所以＝1，即－＝1，解得k＝2，不滿足k<，當直線為x＝1時不滿足條件，所以符合條件的直線l不存在，故選D.
【答案】D
5．過雙曲線x2－＝1的右焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點，若使得|AB|＝λ的直線l恰有3條，則λ＝________．
【解析】∵使得|AB|＝λ的直線l恰有3條．
∴根據對稱性，其中有一條直線與實軸垂直．
此時A，B的橫坐標為，代入雙曲線方程，可得y＝±2，故|AB|＝4.
∵雙曲線的兩個頂點之間的距離是2，小于4，
∴過雙曲線的焦點一定有兩
20、條直線，使得交點之間的距離等于4，
綜上可知，|AB|＝4時，有三條直線滿足題意．
∴λ＝4.
【答案】4
6．過橢圓＋＝1內一點P(3，1)，且被這點平分的弦所在直線的方程是__________________．
【解析】設直線與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，
由于A、B兩點均在橢圓上，
故＋＝1，＋＝1，
兩式相減得
＋＝0.
又∵P是A、B的中點，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.
∴直線AB的方程為y－1＝－(x－3)．
即3x＋4y－13＝0.
【答案】3x＋4y－13＝0
7．直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>
21、b>0)的焦距為2，過點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點P(2，1)，不經過原點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，線段AB被直線OP平分，且·＝0.求直線l的方程．
【解析】(1)設橢圓方程為＋＝1，代入點，得b＝1，
故橢圓方程為＋y2＝1.
(2)由條件知OP：y＝x，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l：y＝kx＋m(m≠0)，
代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＞0，
x1＋x2＝－，x1x2＝.
由AB中點在直線OP上，
∴＝－，k＝－，
此時x1＋x2＝2m，x1x2＝2m2－2，
·＝0，
(x1－2)(x
22、2－2)＋＝0，
x1x2－(x1＋x2)＋4＋(m－1)2＝0，
解得m＝1，滿足Δ＞0，
故所求直線方程為y＝－x＋1.
8．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)．
(1)若橢圓的離心率為，且過右焦點垂直于長軸的弦長為3，求橢圓C的標準方程；
(2)點P(m，0)為橢圓長軸上的一個動點，過點P作斜率為的直線l交橢圓C于A，B兩點，試判斷|PA|2＋|PB|2是否為定值，若為定值，則求出該定值；若不為定值，說明原因．
【解析】(1)e＝，即＝，a＝2c，
不妨令橢圓方程為＋＝1，
當x＝c時，＝，得出c＝1，
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)令直線方程為y＝與橢圓交于A，B
23、兩點，
聯(lián)立方程得2b2x2－2b2mx＋b2m2＝a2b2，
即2x2－2mx＋m2－a2＝0，
∴x1＋x2＝m，x1x2＝，
∴＋＝＋y＋＋y
＝＋
＝＝
＝＝a2＋b2為定值．
B組題
1．過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的直線l與拋物線交于B，C兩點，l與拋物線的準線交于點A，且|AF|＝6，＝2，則|BC|等于( )
A.B．6C.D．8
【解析】不妨設直線l的傾斜角為θ，其中0<θ<，點B(x1，y1)，C(x2，y2)，則點B在x軸的上方，過點B作該拋物線的準線的垂線，垂足為B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3，＝，由此得p＝2，拋物線方程是y2＝4
24、x，焦點F(1，0)，cosθ＝＝＝＝，sinθ＝＝，tanθ＝＝2，直線l：y＝2(x－1)．由消去y，得2x2－5x＋2＝0，x1＋x2＝，|BC|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.
【答案】A
2．如圖，已知F為拋物線y2＝2x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，·＝3(其中O為坐標原點)，則△ABO與△BFO面積之差的最小值是( )
A．2
B．3
C．3
D.
【解析】由題意可知，F.設A，B，∴·＝y(tǒng)1y2＋＝3，
解得y1y2＝2或y1y2＝－6.又因為A，B兩點位于x軸兩側，所以y1y2＜0，即y1y2＝－6.
設AB所在直線方程為ty＝x＋b，聯(lián)立方
25、程得y2－2ty＋2b＝0，所以y1y2＝2b＝－6.
所以b＝－3，所以直線過定點C
于是S△ABO－S△BFO＝S△ACO＋S△BCO－S△BFO＝|y1|＋|y2|≥3，
當且僅當6|y1|＝5|y2|且y1y2＝－6時，等號成立．
【答案】C
3．拋物線y2＝2px(p>0)與直線y＝x＋1相切，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是拋物線上兩個動點，F為拋物線的焦點，且|AF|＋|BF|＝8.
(1)求p的值．
(2)線段AB的垂直平分線l與x軸的交點是否為定點？若是，求出交點坐標；若不是，說明理由．
(3)求直線l的斜率的取值范圍．
【解析】(1)因為
26、拋物線y2＝2px(p>0)與直線y＝x＋1相切，所以由得y2－2py＋2p＝0(p>0)有兩個相等實根，所以Δ＝4p2－8p＝4p(p－2)＝0，解得p＝2.
(2)拋物線y2＝4x的準線x＝－1.且|AF|＋|BF|＝8，
所以由定義得x1＋x2＋2＝8，則x1＋x2＝6.
設直線AB的垂直平分線l與x軸的交點C(m，0)．
由C在AB的垂直平分線上，從而|AC|＝|BC|，
即(x1－m)2＋y＝(x2－m)2＋y，
所以(x1－m)2－(x2－m)2＝y(tǒng)－y，
即(x1＋x2－2m)(x1－x2)＝4x2－4x1＝－4(x1－x2)．
因為x1≠x2，所以x1＋x2－2
27、m＝－4.
又因為x1＋x2＝6，所以m＝5.
所以點C的坐標為(5，0)．
即直線AB的垂直平分線l與x軸的交點為定點(5，0)．
(3)設直線l的斜率為k1，由(2)設直線l方程為y＝k1(x－5)．
設AB的中點M(x0，y0)，由x0＝＝3，可得M(3，y0)．
因為直線l過點M(3，y0)，所以y0＝－2k1.
又因為點M(3，y0)在拋物線y2＝4x的內部，
所以y<12.即4k<12，則k<3.
因為x1≠x2，則k1≠0.
所以k1的取值范圍是∪(0，)．
4．已知橢圓T的焦點分別為F1(－1，0)，F2(1，0)，且經過點P.
(1)求橢圓T的標準方程
28、；
(2)設橢圓T的左右頂點分別為A，B，過左焦點的直線與橢圓交于點C，D，△ABD和△ABC的面積分別為S1，S2，求|S1－S2|的最大值；
(3)設點M在橢圓T外，直線ME，MF與橢圓T分別相切于點E，F，若ME⊥MF，求證：點M在定圓上．
【解析】(1)設所求的方程為＋＝1(a>b>0)，
其中a2－b2＝c2＝1，且＋＝1，解得a2＝3，b2＝2，
所以橢圓T的標準方程為＋＝1.
(2)點A，B的坐標分別為(－，0)，(，0)，設點C，D的坐標為(x1，y1)、(x2，y2)，
因為要構成三角形，又直線CD過左焦點，則C，D分別在x軸兩側，
所以y1y2<0，不妨設y
29、1>0，y2<0，則S1＝－y2，S2＝y(tǒng)1，
直線CD過焦點(－1，0)，且斜率不為0，設直線CD方程為x＝my－1，
與橢圓方程聯(lián)立消元得(2m2＋3)y2－4my－4＝0，y1、y2是該方程的兩個異號實根，
|S1－S2|＝|－y2－y1|＝|y1＋y2|＝，
當m＝0時，|S1－S2|＝0，
當m≠0時，|S1－S2|＝≤＝，
當且僅當|2m|＝，即m2＝時取等號，
綜上，|S1－S2|的最大值為.
(3)當直線ME，MF斜率分別不存在和為0時，ME，MF分別垂直于坐標軸，點M坐標為(，)或(－，)或(－，－)或(，－)，則MO＝(定值)，其中O是坐標原點，點M在定圓x
30、2＋y2＝5上．
當直線ME，MF斜率存在且不為0時，設點M坐標為(x0，y0)，
設直線ME，MF的方程分別為y＝k1(x－x0)＋y0，y＝k2(x－x0)＋y0，
可以統(tǒng)一為y＝k(x－x0)＋y0的形式，并與橢圓方程聯(lián)立消元得：
(2＋3k2)x2－(6k2x0－6ky0)x＋(3k2x－6kx0y0＋3y－6)＝0，
由直線ME，MF與橢圓相切，則
Δ＝(6k2x0－6ky0)2－4(2＋3k2)(3k2x－6kx0y0＋3y－6)＝0，
展開化簡得：(3－x)k2＋(2x0y0)k＋＝0(3－x≠0且2－y≠0)，
k1，k2可以看作是這個方程的兩根，
由ME⊥MF得k1k2＝－1＝，即x＋y＝5，
并且此時方程中的判別式Δ＝4[xy－(x－3)(y－2)]＝4y＋16>0恒成立，
點M也在定圓x2＋y2＝5上，
綜上，點M在定圓x2＋y2＝5上．
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（名師導學）2020版高考數學總復習 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第70講 直線與圓錐曲線練習 理（含解析）新人教A版
