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1、第67講 不等式的證明
1.設a,b,c是正實數,且a+b+c=9,求2a+2b+2c的最小值.
2.[2018·深圳耀華實驗學校模擬] 若a>0,b>0,a+b=1.求證:
(1)4a+1b≥9;
(2)2a+1+2b+1≤22.
3.已知定義在R上的函數f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a.
(1)求a的值;
(2)若p,q,r是正實數,且滿足p+q+r=a,求證:p2+q2+r2≥3.
4.[2018·武昌調研] 設函數f(x)=|x-2|+2x-3,記f(x)≤-1的解集為M.
(1)求M
2、;
(2)當x∈M時,證明:x[f(x)]2-x2f(x)≤0.
5.[2018·甘肅臨澤一中月考] 已知函數f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+1)≥0的解集為[0,2].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R,且1a+12b+13c=m,求證:a+2b+3c≥9.
6.[2018·衡水模擬] 已知函數f(x)=|x-3|.
(1)求不等式f(x)2a2+2b2.
7.[2018·寧夏銀川一中月考] 已知函數f(x)=|x|-|x-1
3、|.
(1)若f(x)≥|m-1|的解集非空,求實數m的取值范圍;
(2)若正數x,y滿足x2+y2=M,M為(1)中m可取到的最大值,求證:x+y≥2xy.
8.設函數f(x)=x-|x+2|-|x-3|-m,若對任意x∈R,1m-4≥f(x)恒成立.
(1)求實數m的取值范圍;
(2)求證:logm+1(m+2)>logm+2(m+3).
6
課時作業(yè)(六十七)
1.解:∵(a+b+c)2a+2b+2c=[(a)2+(b)2+(c)2]·2a2+2b2+2c2≥a
4、·2a+b·2b+c·2c2=18,且a+b+c=9,
∴2a+2b+2c≥2,當且僅當a=b=c時取等號,
∴2a+2b+2c的最小值為2.
2.證明:(1)∵a>0,b>0,a+b=1,
∴4a+1b=(a+b)4a+1b=4+4ba+ab+1≥5+24ba·ab=9,當且僅當a2=4b2時,等號成立.
(2)(分析法)
欲證2a+1+2b+1≤22,
只需證2a+1+2b+1+2(2a+1)(2b+1)≤8,
∵a>0,b>0,a+b=1,
∴只需證(2a+1)(2b+1)≤2,
由均值不等式可得(2a+1)(2b+1)≤(2a+1)+(2b+1)2=2,當且僅當a=
5、b時,等號成立,
故不等式2a+1+2b+1≤22成立.
3.解:(1)因為|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
當且僅當-1≤x≤2時,等號成立,
所以f(x)的最小值等于3,即a=3.
(2)證明:由(1)知p+q+r=3,
又因為p,q,r是正實數,
所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,當且僅當p=q=r=1時,等號成立,即p2+q2+r2≥3.
4.解:(1)由已知,得f(x)=x-1,x≤2,3x-5,x>2.
當x≤2時,由f(x)=x-1≤-1,
解得x≤0,此時x≤0;
當x
6、>2時,由f(x)=3x-5≤-1,
解得x≤43,顯然不成立.
故f(x)≤-1的解集為M=(-∞,0].
(2)證明:當x∈M時,f(x)=x-1,
于是x[f(x)]2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-x-122+14.
令g(x)=-x-122+14,x∈(-∞,0],
則函數g(x)在(-∞,0]上是增函數,
∴g(x)≤g(0)=0.
故當x∈M時,x[f(x)]2-x2f(x)≤0.
5.解:(1)由f(x+1)≥0,得m-|x-1|≥0,顯然m>0,則1-m≤x≤1+m.
∵f(x+1)≥0 的解集為[0,2],∴1+m=2且1-
7、m=0,∴m=1.
(2)證明:由(1)可知1a+12b+13c=1,則a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13c=1+2ba+3ca+a2b+1+3c2b+a3c+2b3c+1=3+2ba+a2b+3ca+a3c+3c2b+2b3c≥3+6=9,
當且僅當a=2b=3c時等號成立,即a=3,b=32,c=1時等號成立.
6.解:(1)當x≥3時,由|x-3|1,
所以11}.
(2)因為(a2+1)(
8、b2+1)-(2a2+2b2)
=(ab)2+a2+b2+1-2a2-2b2
=(ab)2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1),
又因為a,b∈M,
所以a>1,b>1,
所以a2>1,b2>1,即a2-1>0,b2-1>0,
所以(a2-1)(b2-1)>0,
所以原不等式(a2+1)(b2+1)>2a2+2b2成立.
7.解:(1)由題可得f(x)=-1,x<0,2x-1,0≤x≤1,1,x>1,
所以f(x)max=1,
所以|m-1|≤1,解得0≤m≤2,
所以實數m的取值范圍為[0,2].
(2)證明:由(1)知,M=2,所以x2+y2=2.
因為x>
9、0,y>0,
所以要證x+y≥2xy,只需證(x+y)2≥4x2y2,
即證2(xy)2-xy-1≤0,即證(2xy+1)(xy-1)≤0.
因為2xy+1>0,所以只需證xy≤1,
因為2xy≤x2+y2=2(當且僅當x=y=1時取等號),所以xy≤1成立,所以x+y≥2xy成立.
8.解:(1)∵對任意x∈R,1m-4≥f(x)恒成立,
∴m+1m≥x-|x+2|-|x-3|+4恒成立.
令g(x)=x-|x+2|-|x-3|+4,則g(x)=3x+3,x<-2,x-1,-2≤x≤3,-x+5,x>3,∴函數g(x)在(-∞,3]上是增函數,在(3,+∞)上是減函數,
∴g
10、(x)max=g(3)=2,
∴m+1m≥g(x)max=2,
即m+1m-2≥0,∴m2-2m+1m=(m-1)2m≥0,
∴m>0,
綜上,實數m的取值范圍是(0,+∞).
(2)證明:由m>0知,m+3>m+2>m+1>1,
即lg(m+3)>lg(m+2)>lg(m+1)>lg1=0.
∴要證logm+1(m+2)>logm+2(m+3),
只需證lg(m+2)lg(m+1)>lg(m+3)lg(m+2),
即證lg(m+1)·lg(m+3)<[lg(m+2)]2,
又∵lg(m+1)·lg(m+3)logm+2(m+3)成立.
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