2023屆高考一輪復習導與練 (必修第一冊) 第四章第2節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式 講義

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1、 第2節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2α+cos2α=1,sinαcosα=tan α. 2.借助單位圓的對稱性,利用定義推導出誘導公式(π2±α,π±α的正弦、余弦、正切). 1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 (1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1. (2)商數(shù)關(guān)系:tan α=sinαcosα.(α≠π2+kπ,k∈Z). 2.誘導公式 組序 一 二 三 四 五 六 七 八 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α π2-α π2+α 3π2-α 3π2+α 正弦 sin

2、 α -sin α -sin α sin α cos α cos α -cos α -cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α -sin α sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口訣 函數(shù)名不變,符號看象限 函數(shù)名改變,符號看象限 　 誘導公式的記憶口訣可以概括為“奇變偶不變,符號看象限”這里的奇、偶指的是k·π2±α(k∈Z)中k是奇數(shù)還是偶數(shù),“符號看象限”指的是把α看成銳角時,k·π2±α(k∈Z)的三角函數(shù)值的符號,即原三角函數(shù)

3、值的符號. 1.化簡sin 870°的值是(　A　) A.12 B.-12 C.32 D.-32 解析:sin 870°=sin(720°+150°)=sin(180°-30°)=12.故選A. 2.(必修第一冊P184練習T1改編)已知α是第三象限角,sin α=-513,則cos α等于(　B　) A.-513 B.-1213 C.513 D.1213 解析:因為sin α=-513,α是第三象限角, 所以cos α=-1-sin2α=-1213.故選B. 3.已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,則cos α-sin α的值為　 .? 解析:因

4、為5π4<α<3π2, 所以cos α<0,sin α<0且cos α>sin α, 所以cos α-sin α>0. 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34, 所以cos α-sin α=32. 答案:32 4.已知cos α=15,-π2<α<0,則cos(π2+α)tan(α+π)cos(-α)tanα的值為　　　　.? 解析:因為-π2<α<0, 所以sin α=-1-(15)?2=-265, 所以tan α=-26. 則cos(π2+α)tan(α+π)cos(-α)tanα=-sinαtanα·cosα·tanα=-1ta

5、nα=126=612. 答案:612 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應用 　“知一求二”問題 已知α∈(π2,π),tan α=-43,則cos(-α-π2)等于(　　) A.35 B.-35 C.-45 D.45 解析:因為tan α=sinαcosα=-43, 所以cos α=-34sin α, 所以sin2α+cos2α=sin2α+916sin2α=2516sin2α=1, 所以sin2α=1625. 又α∈(π2,π),所以sin α=45, 所以cos(-α-π2)=cos(π2+α)=-sin α=-45.故選C. 已知sin α,cos α,tan

6、α中的一個求另外兩個的值.解決此類問題時,直接套用公式sin2α+cos2α=1及tan α=sinαcosα即可,但要注意α的取值范圍,即三角函數(shù)值的符號. 　sin α,cos α的齊次式問題 已知sinα+3cosα3cosα-sinα=5,則cos2α+12sin 2α的值是(　　) A.35 B.-35 C.-3 D.3 解析:由sinα+3cosα3cosα-sinα=5,得tanα+33-tanα=5, 可得tan α=2,則cos2α+12sin 2α=cos2α+sin αcos α=cos2α+sinαcosαcos2α+sin2α=1+tanα1+tan2α=

7、35.故選A. 1.分式中分子與分母是關(guān)于sin α,cos α的齊次式,往往轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan α的式子求解. 2.關(guān)于sin α,cos α的二次齊次式,要用到“1”代換,即1=sin2α+cos2α. 　“sin α±cos α,sin αcos α”之間的關(guān)系 已知-π2<α<0,sin α+cos α=15. (1)求sin α-cos α的值; (2)求tan α; (3)求1cos2α-sin2α的值. 解:(1)因為sin α+cos α=15, 所以(sin α+cos α)2=(15)2, 即1+2sin αcos α=125,所以2sin αcos

8、 α=-2425. 因為(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2sin αcos α=1+2425=4925. 又因為-π2<α<0,所以sin α<0,cos α>0, 所以sin α-cos α<0. 所以sin α-cos α=-75. (2)由已知條件及(1)可知 sinα+cosα=15,sinα-cosα=-75,解得sinα=-35,cosα=45, 所以tan α=-34. (3)由(1)可得 1cos2α-sin2α=1(cosα+sinα)(cosα-sinα)=115×75=257.所以1cos2α-sin2α

9、=257. 對于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α這三個式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二. [針對訓練] 1.若α∈(π2,π),sin(π-α)=35,則tan α等于(　　) A.-43 B.43 C.-34 D.34 解析:因為α∈(π2,π),sin α=35,所以cos α=-45,所以tan α=-34.故選C. 2.已知tan α=-34,則sin α·(sin α-cos α)等于(　　) A.2125 B.2521 C.45 D.54 解析:sin α·(sin

10、α-cos α)=sin2α-sin α·cos α= sin2α-sinα·cosαsin2α+cos2α=tan2α-tanαtan2α+1, 將tan α=-34代入, 得原式=(-34)?2-(-34)(-34)?2+1=2125.故選A. 誘導公式的應用 1.若cos(π2-α)=23,則cos(π-2α)等于(　D　) A.29 B.59 C.-29 D.-59 解析:由cos(π2-α)=23,得sin α=23. 所以cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×29-1=-59.故選D. 2.已知sin(α+π3)

11、=1213,則cos(π6-α)=　　　　.? 解析:因為(α+π3)+(π6-α)=π2. 所以cos(π6-α)=cos[π2-(α+π3)]=sin(α+π3)=1213. 答案:1213 3.化簡:tan(π+α)cos(2π+α)sin(α-3π2)cos(-α-3π)sin(-3π-α)=　　　　.? 解析:原式=tanαcosαsin[-2π+(α+π2)]cos(3π+α)[-sin(3π+α)] =tanαcosαsin(π2+α)(-cosα)sinα=tanαcosαcosα(-cosα)sinα =-tanαcosαsinα=-sinαcosα·cosαs

12、inα=-1. 答案:-1 誘導公式用法的一般思路 (1)化負為正,化大為小,化到銳角為止. (2)角中含有加減π2的整數(shù)倍時,用公式去掉π2的整數(shù)倍. 兩類公式在化簡與求值中的應用 已知α為銳角,且2tan(π-α)-3cos(π2+β)+5=0,tan(π+α)+ 6sin(π+β)-1=0,則sin α的值是(　　) A.355 B.377 C.31010 D.13 解析:由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β-1=0,解得tan α=3,又α為銳角,故sin α=31010.故選C. (1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式

13、和誘導公式求值或化簡時,關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,靈活使用公式進行變形. (2)注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響. [針對訓練] 已知α∈(3π2,2π),sin(π2+α)=13,則tan(π+2α)等于(　　) A.427 B.±225 C.±427 D.225 解析:因為α∈(3π2,2π),sin(π2+α)=13, 所以cos α=13,sin α=-223,tan α=sinαcosα=-22. 所以tan(π+2α)=tan 2α=2tanα1-tan2α=-421-(-22)2=427.故選A. 已知α∈(0,π),且cos α=-513,則

14、sin(π2-α)·tan α等于(　　) A.-1213 B.-513 C.1213 D.513 解析:因為α∈(0,π),且cos α=-513,所以sin α=1213,由誘導公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系知sin(π2-α)·tan α=cos α·sinαcosα= sin α=1213.故選C. 已知sin αcos α=38,且π4<α<π2,則cos α-sin α的值為(　　) A.12 B.±12 C.-14 D.-12 解析:因為sin αcos α=38,所以(cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-2sin α

15、cos α=1-2×38=14,因為π4<α<π2,所以 cos α

16、n(π-α)+1cos(π-α)的值為　　　　.? 解析:由sin α+cos α=-15平方得sin αcos α=-1225,因為π2<α<π, 所以sin α-cos α=(sinα+cosα)2-4sinαcosα=75, 所以1sin(π-α)+1cos(π-α)=1sinα-1cosα=cosα-sinαsinαcosα=-75-1225=3512. 答案:3512 知識點、方法 基礎(chǔ)鞏固練 綜合運用練 應用創(chuàng)新練 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 2,3 9,10 誘導公式 1,4,6,7 13 綜合應用 5,8 11,12,14 15,

17、16 1.sin 600°的值為(　B　) A.-12 B.-32 C.12 D.32 解析:sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)= -sin 60°=-32.故選B. 2.已知tan α=12,且α∈(π,3π2),則cos(α-π2)等于(　A　) A.-55 B.55 C.255 D.-255 解析:由α∈(π,3π2)知α為第三象限角, 聯(lián)立tanα=sinαcosα=12,sin2α+cos2α=1,得sin α=-55, 故cos(α-π2)=sin α=-55.故選A. 3.已知直線

18、2x+y-3=0的傾斜角為θ,則sinθ+cosθsinθ-cosθ的值是(　C　) A.-3 B.-2 C.13 D.3 解析:由已知得tan θ=-2,所以sinθ+cosθsinθ-cosθ=tanθ+1tanθ-1=-2+1-2-1=13.故選C. 4.已知sin(53°-α)=15,且-270°<α<-90°,則sin(37°+α)等于(　D　) A.15 B.-15 C.265 D.-265 解析:設(shè)53°-α=β,則α=53°-β,所以sin(37°+α)=sin(90°-β)=cos β.又因為-270°<α<-90°,所以143°<β<323°,所以

19、cos β=-1-sin2β=-265.故選D. 5.已知sin(π3-α)=-34,則cos(2021π3-2α)等于(　A　) A.18 B.-18 C.378 D.-378 解析:因為sin(π3-α)=-34,所以cos(2 021π3-2α)=cos[673π+(2π3-2α)] =cos[π+(2π3-2α)] =-cos(2π3-2α)=2sin2(π3-α)-1=2×(-34)2-1=18.故選A. 6.(多選題)已知x∈R,則下列等式恒成立的是(　CD　) A.sin(-x)=sin x B.sin(3π2-x)=cos x C.cos(π2+x)=-

20、sin x D.cos(x-π)=-cos x 解析:sin(-x)=-sin x,故A不成立; sin(3π2-x)=-cos x,故B不成立; cos(π2+x)=-sin x,故C成立; cos(x-π)=-cos x,故D成立.故選CD. 7.已知α為鈍角,sin(π4+α)=34,則sin(π4-α)=　　　　.? 解析:因為α為鈍角,所以cos(π4+α)=-74, 所以sin(π4-α)=cos [π2-(π4-α)] =cos(π4+α)=-74. 答案:-74 8.已知sin(3π+α)=2sin(3π2+α),則sinα-4cosα5sinα+2cosα

21、=　　　　;sin2α+sin 2α=　　　　.? 解析:因為sin(3π+α)=2sin(3π2+α), 所以-sin α=-2cos α,即sin α=2cos α. sinα-4cosα5sinα+2cosα=2cosα-4cosα10cosα+2cosα=-212=-16. 因為sin α=2cos α,所以tan α=2, 所以sin2α+sin 2α=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α= tan2α+2tanαtan2α+1=4+44+1=85. 答案:-16　85 9.已知sin α+cos α=12,α∈(0,π),則1-tanα1+tan

22、α等于(　A　) A.-7 B.7 C.3 D.-3 解析:因為sin α+cos α=12, 所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=14, 所以sin αcos α=-38,又因為α∈(0,π), 所以sin α>0,cos α<0,所以cos α-sin α<0, 因為(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×(-38)=74, 所以cos α-sin α=-72, 所以1-tanα1+tanα=1-sinαcosα1+sinαcosα=cosα-sinαcosα+sinα=-7212=-7.故選A. 10.已知ta

23、n θ+1tanθ=4,則sin4θ+cos4θ等于(　D　) A.38 B.12 C.34 D.78 解析:tan θ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin2θ+cos2θsinθcosθ=1sinθcosθ=4. 所以sin θcos θ=14, 所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×(14)2=78.故選D. 11.已知sin(-π2-α)cos(-7π2+α)=1225,且0<α<π4,則sin α=　　　　, cos α=　　　　.? 解析:sin(-π2-α)cos(-7π2+α)= (-c

24、os α)·(-sin α)=sin αcos α=1225. 因為0<α<π4,所以0

25、1-2sin θcos θ=4925,因為θ∈(0,π),所以 sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0,所以sin θ-cos θ=75.聯(lián)立sinθ+cosθ=15,sinθ-cosθ=75,解得sin θ=45,cos θ=-35.所以tan θ=-43. 答案:1225　-43 13.已知k∈Z,化簡:sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α]sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)=　　　　.? 解析:當k=2n(n∈Z)時, 原式=sin(2nπ-α)cos[(2n-1)π-α]sin[(2n+1)π+α]cos(2nπ+α) =sin(-α)

26、·cos(-π-α)sin(π+α)·cosα =-sinα(-cosα)-sinα·cosα=-1; 當k=2n+1(n∈Z)時, 原式=sin[(2n+1)π-α]·cos[(2n+1-1)π-α]sin[(2n+1+1)π+α]·cos[(2n+1)π+α]=sin(π-α)·cosαsinα·cos(π+α)=sinα·cosαsinα(-cosα)=-1. 綜上,原式=-1. 答案:-1 14.已知π2<α<π,tan α-1tanα=-32. (1)求tan α的值; (2)求cos(3π2+α)-cos(π-α)sin(π2-α)的值. 解:(1)令tan α=

27、x,則x-1x=-32, 整理得2x2+3x-2=0,解得x=12或x=-2, 因為π2<α<π,所以tan α<0,故tan α=-2. (2)cos(3π2+α)-cos(π-α)sin(π2-α)=sinα+cosαcosα= tan α+1=-2+1=-1. 15.是否存在α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)= 2cos(π2-β),3cos(-α)=-2cos(π+β)同時成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,請說明理由. 解:假設(shè)存在角α,β滿足條件, 則由已知條件可得sinα=2sinβ,①3cosα=2cosβ,② 由①2+②2

28、,得sin2α+3cos2α=2. 所以sin2α=12,所以sin α=±22. 因為α∈(-π2,π2),所以α=±π4. 當α=π4時,由②式知cos β=32, 又β∈(0,π),所以β=π6,此時①式成立; 當α=-π4時,由②式知cos β=32, 又β∈(0,π),所以β=π6,此時①式不成立,故舍去. 所以存在α=π4,β=π6滿足條件. 16.已知sin α=1-sin(π2+β),求sin2α+sin(π2-β)+1的取值范圍. 解:因為sin α=1-sin(π2+β)=1-cos β, 所以cos β=1-sin α,因為-1≤cos β≤1, 所以-1≤1-sinα≤1,-1≤sinα≤1, 所以0≤sin α≤1, 所以sin2α+sin(π2-β)+1=sin2α+cos β+1=sin2α-sin α+2= (sin α-12)2+74, 所以sin2α+sin(π2-β)+1的取值范圍是[74,2].