2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 考點測試27 平面向量基本定理及坐標表示 理（含解析）

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1、考點測試27　平面向量基本定理及坐標表示 高考概覽 考綱研讀 1．了解平面向量基本定理及其意義 2．掌握平面向量的正交分解及其坐標表示 3．會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算 4．理解用坐標表示的平面向量共線的條件 一、基礎(chǔ)小題 1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－4，m)，若a＝－b，則m＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D． 答案　A 解析　由向量的坐標運算可得1＝－m，解得m＝－2．故選A． 2．設(shè)向量e1，e2為平面內(nèi)所有向量的一組基底，且向量a＝3e1－4e2與b＝6e1＋ke2不能作為一組基底，則實數(shù)k的值為(　　) A．8 B

2、．－8 C．4 D．－4 答案　B 解析　由a與b不能作為一組基底，則a與b必共線，故＝，即k＝－8．故選B． 3．已知點A(1，3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為(　　) A．，－ B．，－ C．－， D．－， 答案　A 解析　因為＝(3，－4)，所以與其同方向的單位向量e＝＝(3，－4)＝，－．故選A． 4．若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝0，，則c可用向量a，b表示為(　　) A．a(chǎn)＋b B．－a－b C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)－b 答案　A 解析　設(shè)c＝xa＋yb，則0，＝(2x－y，x＋2y)，所以解得則c＝a＋b．故選A． 5

3、．已知平行四邊形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，對角線AC與BD交于點O，則的坐標為(　　) A．－，5 B．，5 C．，－5 D．－，－5 答案　D 解析?。剑?－2，3)＋(3，7)＝(1，10)． ∴＝＝，5．∴＝－，－5．故選D． 6．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d＝(　　) A．(2，6) B．(－2，6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 答案　D 解析　設(shè)d＝(x，y)，由題意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6，2

4、0)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6，20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0，0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故選D． 7．已知點A(1，－2)，若向量與向量a＝(2，3)同向，且||＝，則點B的坐標為(　　) A．(2，3) B．(－2，3) C．(3，1) D．(3，－1) 答案　C 解析　設(shè)＝(x，y)，則＝ka(k>0)，即由||＝得k＝1，故＝＋＝(1，－2)＋(2，3)＝(3，1)．故選C． 8．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，當A，B，C三點共線時，實數(shù)k

5、的值為(　　) A．3 B．11 C．－2 D．－2或11 答案　D 解析　因為＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，且∥，所以(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝－2或11．故選D． 9．已知向量，和在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若＝λ＋μ，則λμ＝(　　) A．－3 B．3 C．－4 D．4 答案　A 解析　建立如圖所示的平面直角坐標系xAy，則＝(2，－2)，＝(1，2)，＝(1，0)，由題意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)，即解得所以λμ＝－3．故選A． 10．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，＝，＝，若＝λ

6、1＋λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 答案　 解析　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，∴λ1＋λ2＝． 11．如圖，已知平面內(nèi)有三個向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為________． 答案　6 解析　以O(shè)為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(1，0)，B，C(3，)． 由＝λ＋μ， 得解得 所以λ＋μ＝6． 二、高考小題 12．(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝(　　)

7、 A．－8 B．－6 C．6 D．8 答案　D 解析　由題可得a＋b＝(4，m－2)，又(a＋b)⊥b， ∴4×3－2×(m－2)＝0，∴m＝8．故選D． 13．(2015·湖南高考)已知點A，B，C在圓x2＋y2＝1上運動，且AB⊥BC．若點P的坐標為(2，0)，則|＋＋|的最大值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　B 解析　解法一：由圓周角定理及AB⊥BC，知AC為圓的直徑，故＋＝2＝(－4，0)(O為坐標原點)． 設(shè)B(cosα，sinα)，∴＝(cosα－2，sinα)， ∴＋＋＝(cosα－6，sinα)，|＋＋|＝＝≤＝7，當且僅當co

8、sα＝－1時取等號，此時B(－1，0)，故|＋＋|的最大值為7．故選B． 解法二：同解法一得＋＝2(O為坐標原點)，又＝＋，∴|＋＋|＝|3＋|≤ 3||＋||＝3×2＋1＝7，當且僅當與同向時取等號，此時B點坐標為(－1，0)，故|＋＋|max＝7．故選B． 14．(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________． 答案　 解析　由題可得2a＋b＝(4，2)，∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，∴4λ－2＝0，即λ＝． 15．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝_

9、_______． 答案　 解析　由于a，b不平行，所以可以以a，b作為一組基底，于是λa＋b與a＋2b平行等價于＝，即λ＝． 16．(2015·江蘇高考)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________． 答案?。? 解析　由a＝(2，1)，b＝(1，－2)，可得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)， 由已知可得解得 故m－n＝－3． 17．(2017·江蘇高考)如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tanα＝7，與的夾角為45°．若＝m＋n(m，n∈R

10、)，則m＋n＝________． 答案　3 解析　解法一：∵tanα＝7，α∈[0，π]， ∴cosα＝，sinα＝． ∵與的夾角為α，∴＝． ∵＝m＋n，||＝||＝1，||＝， ∴＝．?、? 又∵與的夾角為45°， ∴＝＝．?、? 又cos∠AOB＝cos(45°＋α)＝cosαcos45°－sinαsin45°＝×－×＝－， ∴·＝||||cos∠AOB＝－， 將其代入①②得m－n＝，－m＋n＝1， 兩式相加得m＋n＝，所以m＋n＝3． 解法二：過C作CM∥OB，CN∥OA，分別交線段OA，OB的延長線于點M，N， 則＝m，＝n，由正弦定理得 ＝＝，∵||＝

11、， 由解法一，知sinα＝，cosα＝， ∴||＝＝＝， ||＝＝＝． 又＝m＋n＝＋，||＝|O|＝1， ∴m＝，n＝，∴m＋n＝3． 解法三：如圖，設(shè)O＝m，D＝n，則在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°， 由tanα＝7，得cosα＝，又由余弦定理知 即 ①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝或n＝，當n＝時，m＝10－5×＝－<0(不符合題意，舍去)，當n＝時，m＝10－5×＝，故m＋n＝＋＝3． 三、模擬小題 18．(2018·長春質(zhì)檢二)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(－2，0

12、)，則|a＋2b|＝(　　) A．3 B．3 C．2 D．5 答案　A 解析　a＋2b＝(1，－3)＋2·(－2，0)＝(－3，－3)，所以|a＋2b|＝＝3，故選A． 19．(2018·吉林白城模擬)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb與a－2b共線，則＝(　　) A． B．2 C．－ D．－2 答案　C 解析　由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb與a－2b共線，得＝，所以＝－，故選C． 20．(2018·山東濰坊一模)若M是△ABC內(nèi)一點，且滿足＋＝4，則△ABM與

13、△ACM的面積之比為(　　) A． B． C． D．2 答案　A 解析　設(shè)AC的中點為D，則＋＝2，于是2＝4，從而＝2，即M為BD的中點，于是＝＝＝． 21．(2018·河北衡水中學(xué)2月調(diào)研)一直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點E，F(xiàn)，且交其對角線AC于點M，若＝2，＝3，＝λ－μ(λ，μ∈R)，則μ－λ＝(　　) A．－ B．1 C． D．－3 答案　A 解析?。溅耍蹋溅耍?＋)＝(λ－μ)－μ＝2(λ－μ)－3μ，因為E，M，F(xiàn)三點共線，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴μ－λ＝－，故選A． 22．(2018·湖

14、南四大名校聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F．若＝a，＝b，則＝(　　) A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)＋b C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)＋b 答案　C 解析　解法一：如題圖，根據(jù)題意，得＝＋＝(a－b)，＝＋＝(a＋b)． ∵E是線段OD的中點，DF∥AB， ∴＝＝， ∴D＝A＝(a－b)， ∴A＝A＋D＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b．故選C． 解法二：如題圖，根據(jù)題意，得＝＋＝(a－b)，＝＋＝(a＋b)．令＝t，則＝t(＋)＝t＋＝a＋b．由＝＋，令＝s，又＝(a＋b)，＝a－b，所以＝a＋b，所以解方程組得把s代入即

15、可得到＝a＋b，故選C． 23．(2018·湖北黃石質(zhì)檢)已知點G是△ABC的重心，過G作一條直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且＝x，＝y(tǒng)，則的值為(　　) A． B． C．2 D．3 答案　B 解析　由已知得M，G，N三點共線，∴＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y．∵點G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝(＋)， ∴即得＋＝1，即＋＝3，通分變形得，＝3，∴＝．故選B． 24．(2018·合肥質(zhì)檢三)已知向量＝(2，0)，＝(0，2)，＝t，t∈R，則當||最小時，t＝________． 答案　 解析　由＝t知A，B，C三點共線，即動點C在直線AB上．從而當OC

16、⊥AB時，||最小，易得|O|＝|O|，此時|A|＝|A|，則t＝． 25．(2018·太原3月模擬)在正方形ABCD中，已知M，N分別是BC，CD的中點，若＝λ＋μ，則實數(shù)λ＋μ＝________． 答案　 解析　解法一：如圖，因為M，N分別是BC，CD的中點，所以＝＋，＝＋，所以＋＝(＋)＋＝＋＝， 所以＝＋，而＝λ＋μ， 所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝． 解法二：如圖，以A為原點，分別以AB，AD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系．設(shè)正方形ABCD邊長為1，則A(0，0)，C(1，1)，M1，，N，1．所以＝(1，1)，AM＝1，，＝，1，所以λ＋μ＝λ＋μ，λ＋μ＝，所

17、以所以λ＋μ＝． 一、高考大題 本考點在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(2018·皖南八校模擬)如圖，∠AOB＝，動點A1，A2與B1，B2分別在射線OA，OB上，且線段A1A2的長為1，線段B1B2的長為2，點M，N分別是線段A1B1，A2B2的中點． (1)用向量與表示向量； (2)求向量的模． 解　(1)＝＋＋，＝＋＋，兩式相加，并注意到點M，N分別是線段A1B1，A2B2的中點，得＝(＋)． (2)由已知可得向量與的模分別為1與2，夾角為，所以·＝1， 由＝(＋) 得||＝ ＝＝． 2．(2018·湖北荊門調(diào)研)在如圖所示的平面直角坐標系

18、中，已知點A(1，0)和點B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝x，其中O為坐標原點． (1)若x＝，設(shè)點D為線段OA上的動點，求|＋|的最小值； (2)若x∈，向量m＝，n＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求m·n的最小值及對應(yīng)的x值． 解　(1)設(shè)D(t，0)(0≤t≤1)，由題易知C， 所以＋＝，所以|＋|2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1＝2＋(0≤t≤1)， 所以當t＝時，|＋|2的最小值為，則|＋|的最小值為． (2)由題意得C(cosx，sinx)，m＝＝(cosx＋1，sinx)， 則m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx ＝1－cos2x－sin2x＝1－sin． 因為x∈，所以≤2x＋≤， 所以當2x＋＝，即x＝時， sin取得最大值1， 所以m·n的最小值為1－，此時x＝． 14