（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 能力升級(jí)練（二十四）數(shù)形結(jié)合思想 理

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1、能力升級(jí)練(二十四)　數(shù)形結(jié)合思想 一、選擇題 1.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的個(gè)數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析∵a>0,∴a2+1>1.而y=|x2-2x|的圖象如圖,∴y=|x2-2x|的圖象與y=a2+1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn). 答案B 2.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A.(-∞,-1]∪[4,+∞)　　B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞) 解析(1)f(x)=|x+3|-|x-1|=-4(x<-3),2x+2(-3≤x≤1),

2、4(x>1).畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,可以看出函數(shù)f(x)的最大值為4,故只要a2-3a≥4即可,解得a≤-1或a≥4.故選A. 答案A 3.已知函數(shù)f(x)=e|x-1|,x>0,-x2-2x+1,x≤0,若方程f(x)=a有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是(　　) A.[1,2) B.(1,2) C.[2,e) D.(2,e) 解析如圖,作出函數(shù)f(x)=e|x-1|,x>0,-x2-2x+1,x≤0的大致圖象, 其中f(-1)=2,f(0)=f(1)=1. 作出直線y=a,顯然當(dāng)a∈(1,2)時(shí),直線y=a與函數(shù)f(x)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn),即方程f(

3、x)=a有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選B. 答案B 4.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,x≤0,ln(x+1),x>0,若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是(　　) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 解析函數(shù)y=|f(x)|的圖象如圖. ①當(dāng)a=0時(shí),|f(x)|≥ax顯然成立. ②當(dāng)a>0時(shí),只需在x>0時(shí), ln(x+1)≥ax成立. 比較對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y=ax的增長(zhǎng)速度. 顯然不存在a>0使ln(x+1)≥ax在x>0上恒成立. ③當(dāng)a<0時(shí),只需在x≤0時(shí),x2-2x≥ax成立. 即a≥x-2成立,所以a≥-2.

4、綜上所述:-2≤a≤0.故選D. 答案D 5.設(shè)P是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動(dòng)點(diǎn),Q是直線x=-3上的動(dòng)點(diǎn),則|PQ|的最小值為(　　) A.6 B.4 C.3 D.2 解析(1)由題意知圓的圓心坐標(biāo)為(3,-1),半徑長(zhǎng)為2,|PQ|的最小值為圓心到直線x=-3的距離減去圓的半徑長(zhǎng),所以|PQ|min=3-(-3)-2=4.故選B. 答案B 二、填空題 6.經(jīng)過(guò)P(0,-1)作直線l,若直線l與連接A(1,-2),B(2,1)的線段總有公共點(diǎn),則直線l的斜率k和傾斜角α的取值范圍分別為　　　　　,　　　　　.? 解析如圖所示,結(jié)合圖形:為使l與線段AB總有公共

5、點(diǎn),則kPA≤k≤kPB,而kPB>0,kPA<0,故k<0時(shí),傾斜角α為鈍角,k=0時(shí),α=0,k>0時(shí),α為銳角. 又kPA=-2-(-1)1-0=-1,kPB=-1-10-2=1,∴-1≤k≤1. 又當(dāng)0≤k≤1時(shí),0≤α≤π4; 當(dāng)-1≤k<0時(shí),3π4≤α<π.故傾斜角α的取值范圍為α∈0,π4∪3π4,π. 答案[-1,1]　0,π4∪3π4,π 7.若在區(qū)間(-1,1)內(nèi)任取實(shí)數(shù)a,在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取實(shí)數(shù)b,則直線ax-by=0與圓(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率為　　　　　.? 解析直線ax-by=0與圓(x-1)2+(y-2)2=1相交應(yīng)滿足|a-2b

6、|a2+b2<1,即4a>3b. 在平面直角坐標(biāo)系aOb中,-13b的區(qū)域?yàn)閳D中OCDE的內(nèi)部,由E34,1,可求得梯形OCDE的面積為58,而矩形ABCD的面積為2,由幾何概型可知,所求的概率為516. 答案516 8.已知函數(shù)f(x)=x+1,0≤x<1,2x-12,x≥1,若a>b≥0,且f(a)=f(b),則bf(a)的取值范圍是　　　　.? 解析如圖,f(x)在[0,1),[1,+∞)上均單調(diào)遞增,由a>b≥0及f(a)=f(b)知a≥1>b≥12.bf(a)=bf(b)=b(b+1)=b

7、2+b,∵12≤b<1,∴34≤bf(a)<2. 答案34,2 9.過(guò)點(diǎn)(2,0)引直線l與曲線y=1-x2相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí),直線l的斜率為　　　　　.? 解析∵S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB =12sin∠AOB≤12. 當(dāng)∠AOB=π2時(shí),S△AOB面積最大. 此時(shí)O到AB的距離d=22. 設(shè)AB方程為y=k(x-2)(k<0), 即kx-y-2k=0. 由d=|2k|k2+1=22得k=-33. 答案-33 三、解答題 10.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知

8、它們?cè)趚=1處的切線互相平行. (1)求b的值; (2)若函數(shù)F(x)=f(x),x≤0,g(x),x>0,且方程F(x)=a2有且僅有四個(gè)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解(1)f'(x)=3ax2-3a,f'(1)=0, g'(x)=2bx-1x,g'(1)=2b-1, 依題意,得2b-1=0,所以b=12. (2)x∈(0,1)時(shí),g'(x)=x-1x<0,即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減, x∈(1,+∞)時(shí),g'(x)=x-1x>0,即g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增, 所以當(dāng)x=1時(shí),g(x)取得極小值g(1)=12; 當(dāng)a=0時(shí),方程F(x)=a2不可能有四個(gè)解;

9、當(dāng)a<0,x∈(-∞,-1)時(shí),f'(x)<0,即f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減, x∈(-1,0)時(shí),f'(x)>0, 即f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增, 圖① 所以當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極小值f(-1)=2a, 又f(0)=0,所以F(x)的圖象如圖①所示, 從圖象可以看出F(x)=a2不可能有四個(gè)解. 當(dāng)a>0,x∈(-∞,-1)時(shí),f'(x)>0, 即f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增, x∈(-1,0)時(shí),f'(x)<0, 即f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減, 所以當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極大值f(-1)=2a. 圖② 又f(0)=0,所以F(x)的圖象如圖②所示, 從圖②看出,若方程F(x)=a2有四個(gè)解,則12