（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 能力升級(jí)練（二十七）數(shù)學(xué)文化 理

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1、能力升級(jí)練(二十七)　數(shù)學(xué)文化 一、選擇題 1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題:糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧,有人送來(lái)米1 534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為(　　) A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石 解析由分層抽樣的含義,該批米內(nèi)夾谷約為28254×1534≈169(石). 答案B 2.(2019江西紅色七校聯(lián)考)《九章算術(shù)》之后,人們學(xué)會(huì)了用等差數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題,《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾(注:從第2天開(kāi)始,每天比前一天多織相同量的布),第一天織5尺布,現(xiàn)一月(按30天計(jì))共織

2、390尺布”,則從第2天起每天比前一天多織布的尺數(shù)是(　　) A.12 B.815 C.1631 D.1629 解析每天織布數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an},其中a1=5,設(shè)該等差數(shù)列的公差為d,則一月織布總數(shù)為S30=30×5+30×292d=150+435d=390,解之得d=1629. 答案D 3.(2018山東菏澤二模)歐陽(yáng)修在《賣油翁》中寫(xiě)到:“(翁)乃取一葫蘆置于地,以錢覆其口,徐以杓酌油瀝之,自錢孔入,而錢不濕”,可見(jiàn)賣油翁的技藝之高超,若銅錢直徑4厘米,中間有邊長(zhǎng)為1厘米的正方形小孔,隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴大小忽略不計(jì)),則油恰好落入孔中的概率是(　　) A.2

3、π B.1π C.12π D.14π 解析易知銅錢的面積S=π×22=4π,銅錢小孔的面積S0=1.根據(jù)幾何概型,所求概率P=S0S=14π. 答案D 4.(2018河北衡水中學(xué)二調(diào))《算學(xué)啟蒙》是由中國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰撰寫(xiě)的一部數(shù)學(xué)啟蒙讀物,包括面積、體積、比例、開(kāi)方、高次方程等. 名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題:松長(zhǎng)五尺,竹長(zhǎng)兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長(zhǎng)等.如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖,若輸入的a,b分別為5,2,則輸出的n等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析當(dāng)n=1時(shí),a=152,b=4,滿足進(jìn)行循環(huán)的條件, 當(dāng)n=2時(shí)

4、,a=454,b=8,滿足進(jìn)行循環(huán)的條件, 當(dāng)n=3時(shí),a=1358,b=16,滿足進(jìn)行循環(huán)的條件, 當(dāng)n=4時(shí),a=40516,b=32,不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件,退出循環(huán).故輸出的n值為4. 答案C 5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見(jiàn)次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為:有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地,請(qǐng)問(wèn)第二天走了(　　) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 解析依題意,6天中每天行走的路程構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,記

5、為{an},其中公比q=12.由題設(shè)有a11-1261-12=378,解得a1=192.則a2=a1q=192×12=96.所以第二天走了96里. 答案B 6.(2019湖南郴州第二次質(zhì)檢)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(　　) (注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺(tái)體的體積公式V=13(S上+S上S下+S下)·h) A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸 解析易知水面半徑是10寸,根據(jù)題意可得平地降雨量=

6、13×9×(102π+102π×62π+62π)142π=3,故選B. 答案B 7.我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家——祖暅,提出了著名的祖暅原理:“冪勢(shì)即同,則積不容異”.“冪”是截面積,“勢(shì)”是幾何體的高,意思是兩等高立方體,若在每一等高處的截面積都相等,則兩立方體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體滿足“冪勢(shì)同”,則該不規(guī)則幾何體的體積為(　　) A.4-π2 B.8-4π3 C.8-π D.8-2π 解析由三視圖知,該幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱. V正方體=23=8,V半圓柱=12(π×12)×2=π, ∴三視圖對(duì)應(yīng)幾何體的體積V=8-π.

7、 根據(jù)祖暅原理,不規(guī)則幾何體的體積V'=V=8-π. 答案C 8.(2019河南新鄉(xiāng)三模)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈;上袤二丈,無(wú)廣;高一丈,問(wèn):積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w,下底面寬3丈,長(zhǎng)4丈;上棱長(zhǎng)2丈,高1丈.問(wèn)它的體積是多少?”已知1丈為10尺,現(xiàn)將該楔體的三視圖給出如下圖所示,其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1丈,則該楔體的體積為(　　) A.5 000立方尺 B.5 500立方尺 C.6 000立方尺 D.6 500立方尺 解析該楔形的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF,取AB的中點(diǎn)

8、G,CD的中點(diǎn)H,連接FG,GH,HF,則該幾何體的體積為四棱錐F-GBCH與三棱柱ADE-GHF的體積之和,而三棱柱ADE-GHF可通過(guò)割補(bǔ)法得到一個(gè)高為EF,底面積為S=12×3×1=32(平方丈)的一個(gè)直棱柱,故該楔形的體積V=32×2+13×2×3×1=5(立方丈)=5000(立方尺). 答案A 9.(2015全國(guó)Ⅰ,理6)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”

9、已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 解析設(shè)米堆的底面半徑為r尺,則π2r=8,所以r=16π,所以米堆的體積為V=14×13π×r2×5=π12×16π2×5≈3209(立方尺). 故堆放的米約有3209÷1.62≈22(斛). 答案B 10.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,以其名命名的函數(shù)f(x)=1,x為有理數(shù),0,x為無(wú)理數(shù)稱為狄利克雷函數(shù),則關(guān)于函數(shù)f(x)有以下四個(gè)命題: ①f(f(x))=1; ②函數(shù)f(x)是偶函數(shù); ③任意一個(gè)非零有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對(duì)

10、任意x∈R恒成立; ④存在三個(gè)點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC為等邊三角形. 其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析由f(x)是有理數(shù)?f(f(x))=1,故命題①正確;易得f(-x)=f(x)?f(x)是偶函數(shù),故②正確;易得f(x+T)=f(x)成立,故③正確;取A1-33,0,B(1,1),C1+33,0,可得△ABC為等邊三角形,故④正確,綜上真命題的個(gè)數(shù)有4個(gè). 答案A 二、填空題 11.第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的.如圖所示,會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的

11、直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較大的銳角為θ,那么tanθ+π4=　　　　　.? 解析依題意得大、小正方形的邊長(zhǎng)分別是5,1, 于是有5sinθ-5cosθ=10<θ<π2, 則sinθ-cosθ=15. 從而(sinθ+cosθ)2=2-(sinθ-cosθ)2=4925, 則sinθ+cosθ=75, 因此sinθ=45,cosθ=35,tanθ=43. 故tanθ+π4=tanθ+11-tanθ=-7. 答案-7 12.數(shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系,如詩(shī)中有回文詩(shī):“兒憶父兮妻憶夫”,既可以順讀也可以

12、逆讀.數(shù)學(xué)中有回文數(shù),如343、12521等,兩位數(shù)的回文數(shù)有11、22、33、…、99共9個(gè),則三位數(shù)的回文數(shù)中,偶數(shù)的概率是　　　　　.? 解析三位數(shù)的回文數(shù)為ABA, A共有1到9共9種可能,即1B1、2B2、3B3、… B共有0到9共10種可能,即A0A、A1A、A2A、A3A、… 共有9×10=90個(gè), 其中的偶數(shù)即為A是偶數(shù),共4種可能,即2B2,4B4,6B6,8B8, B共有0到9共10種可能. 共有4×10=40個(gè), ∴三位數(shù)的回文數(shù)中,偶數(shù)的概率P=4090=49. 答案49 13.《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩

13、鼠對(duì)穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問(wèn)何日相逢,各穿幾何?”題意是:有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進(jìn)一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進(jìn)一尺,以后每天減半,問(wèn)幾天兩只老鼠能相遇,相遇時(shí)各自打了多少尺的墻.如果墻足夠厚,Sn為前n天兩只老鼠打洞長(zhǎng)度之和,則Sn=　　　　　尺.? 解析由題意可知大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,前n天打洞之和為1-2n1-2=2n-1,同理,小老鼠每天打洞的距離1-12n1-12=2-12n-1,所以Sn=2n-1+2-12n-1=2n-12n-1+1. 答案2n-12n-1+1 14.《九章算術(shù)》是我

14、國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有勾五步,股一十二步,問(wèn)勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5步和12步,問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓的概率是　　　　　.? 解析因?yàn)樵撝苯侨切蝺芍苯沁呴L(zhǎng)分別為5步和12步,所以其斜邊長(zhǎng)為13步,設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為r,則12×5×12=12(5+12+13)r,解得r=2.由幾何概型的概率公式,得此點(diǎn)取自內(nèi)切圓內(nèi)的概率P=4π12×5×12=2π15. 答案2π15 15.(2019廣西南寧質(zhì)檢)如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長(zhǎng)程序:正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形邊上再連

15、接正方形,如此繼續(xù),若共得到4 095個(gè)正方形,設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為22,則最小正方形的邊長(zhǎng)為　　　　　.? 解析依題意,正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以22為首項(xiàng),公比為22的等比數(shù)列,因?yàn)楣灿?095個(gè)正方形,則1+2+22+…+2n-1=4095,∴n=12. 所以最小正方形的邊長(zhǎng)為22×2212-1=2212=164. 答案164 圖1 16.在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書(shū)中,用如圖1所示的三角形,解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后,法國(guó)數(shù)學(xué)家布萊士·帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個(gè)三角形.近年來(lái)國(guó)外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國(guó),所以有些書(shū)上

16、稱這是“中國(guó)三角形”(Chinese triangle).17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如圖2.在楊輝三角中相鄰兩行滿足關(guān)系式:Cnr+Cnr+1=Cn+1r+1,其中n是行數(shù),r∈N.請(qǐng)類比上式,在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是　　　　　.? 圖2 解析類比觀察得,將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù)1Cn+11,而相鄰兩項(xiàng)之和是上一行的兩者相拱之?dāng)?shù),故類比式子Cnr+Cnr+1=Cn+1r+1,有1Cn+21Cn+1r+1Cn+21Cn+1r+1=1Cn+11Cnr. 答案1Cn+21Cn+1r+1Cn+21Cn+1r+1=1Cn+11Cnr 11