（通用版）2020版高考數(shù)學大二輪復習 能力升級練（二十）參數(shù)方程與極坐標 文

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1、能力升級練(二十)　參數(shù)方程與極坐標 1.(2019福建福州高三第一學期質(zhì)量抽測)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=3+tcosα,y=y0+tsinα(t為參數(shù),α為l的傾斜角),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線E的極坐標方程為ρ=4sin θ,直線θ=β,θ=β+π3,θ=β-π3(ρ∈R),與曲線E分別交于不同于極點O的三點A,B,C. (1)若π3<β<2π3,求證:|OB|+|OC|=|OA|; (2)當β=5π6時,直線l過B,C兩點,求y0與α的值. 解(1)證明:依題意,|OA|=|4sinβ|,|OB|=4sinβ+π3,|OC|=4

2、sinβ-π3, ∵π3<β<2π3, ∴|OB|+|OC|=4sinβ+π3+4sinβ-π3=4sinβ=|OA|. (2)當β=5π6時,直線θ=β+π3與圓的交點B的極坐標為4sin7π6,7π6=-2,7π6=2,π6, 直線θ=β-π3與圓的交點C點的極坐標為4sinπ2,π2=4,π2, 從而,B、C兩點的直角坐標分別為:B(3,1),C(0,4), ∴直線l的方程為y=-3x+4, 所以,y0=1,α=2π3. 2.(2019河北衡水中學高三上學期七調(diào))在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=1+cosα,y=sinα(α為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為

3、x=cosβ,y=1+sinβ(β為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求曲線C1和曲線C2的極坐標方程; (2)已知射線l1:θ=απ6<α<π2,將射線l1順時針方向旋轉(zhuǎn)π6得到射線l2:θ=α-π6,且射線l1與曲線C1交于O、P兩點,射線l2與曲線C2交于O,Q兩點,求|OP|·|OQ|的最大值. 解(1)曲線C1直角坐標方程為(x-1)2+y2=1,所以C1極坐標方程為ρ=2cosθ, 曲線C2直角坐標方程為x2+(y-1)2=1,所以C2極坐標方程為ρ=2sinθ. (2)設(shè)點P的極坐標為(ρ1,α),即ρ1=2cosα,設(shè)點Q的極坐標為ρ

4、2,α-π6,即ρ2=2sinα-π6, 則|OP|·|OQ|=ρ1·ρ2=2cosα·2sinα-π6=4cosα32sinα-12cosα =23sinαcosα-2cos2α=3sin2α-cos2α-1=2sin2α-π6-1, ∵π6<α<π2,∴π6<2α-π6<5π6, 當2α-π6=π2,即α=α3時,|OP|·|OQ|取最大值1. 3.(2019云南昆明調(diào)研)在直角坐標系xOy中,已知傾斜角為α的直線l過點A(2,1).以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C的極坐標方程為ρ=2sin θ,直線l與曲線C分別交于P,Q兩點. (1)寫出直線l的參數(shù)

5、方程和曲線C的直角坐標方程; (2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直線l的斜率k. 解(1)直線l的參數(shù)方程為x=2+tcosα,y=1+tsinα(t為參數(shù)). 曲線C的直角坐標方程為x2+y2=2y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程,得t2+(4cosα)t+3=0, 由Δ=(4cosα)2-4×3>0,得cos2α>34, 由根與系數(shù)的關(guān)系, 得t1+t2=-4cosα,t1·t2=3, 由參數(shù)的幾何意義知,|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,|PQ|=|t1-t2|, 由題意知,(t1-t2)2=t1·t2, 則(t1+t2)2=5t1·

6、t2, 得(-4cosα)2=5×3, 解得cos2α=1516,滿足cos2α>34, 所以sin2α=116,tan2α=115, 所以直線l的斜率k=tanα=±1515. 4.(一題多解)(2019河南鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)在平面直角坐標系xOy中,直線l過點(1,0),傾斜角為α,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρ=8cosθ1-cos2θ. (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程; (2)若α=π4,設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點,求△AOB的面積. 解(1)由題知直線l的參數(shù)方程為x=1+tcosα,y=tsinα(t

7、為參數(shù)). 因為ρ=8cosθ1-cos2θ, 所以ρsin2θ=8cosθ, 所以ρ2sin2θ=8ρcosθ,即y2=8x. (2)方法一:當α=π4時,直線l的參數(shù)方程為x=1+22t,y=22t(t為參數(shù)), 代入y2=8x可得t2-82t-16=0, 設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=82, t1·t2=-16, 所以|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1·t2=83. 又點O到直線AB的距離d=1×sinπ4=22, 所以S△AOB=12|AB|×d=12×83×22=26. 方法二:當α=π4時,直線l的方程為y=x-1,

8、設(shè)M(1,0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由y2=8x,y=x-1,得y2=8(y+1),即y2-8y-8=0, 由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=8,y1y2=-8, S△AOB=12|OM||y1-y2|=12×1×(y1+y2)2-4y1y2=12×82-4×(-8)=12×46=26. 5.(2019貴州貴陽模擬)在平面直角坐標系xOy中,曲線C:x=3cosα,y=sinα(α為參數(shù)),在以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為22ρcosθ+π4=-1. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程; (2)過點M(-1,0)且與直線l平行的直線l1交曲線C于A,B兩點,求點M到A,B兩點的距離之和. 解(1)曲線C的普通方程為x23+y2=1, 由22ρcosθ+π4=-1,得ρcosθ-ρsinθ=-2,所以直線l的直角坐標方程為x-y+2=0. (2)直線l1的參數(shù)方程為x=-1+22t,y=22t(t為參數(shù)),將其代入x23+y2=1中,化簡得:2t2-2t-2=0, 設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1+t2=22,t1t2=-1, 所以|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=(22)?2-4×(-1)=322. 6