(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二板塊 高考仿真模擬練(一)-(三)
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1、高考仿真模擬練 高考仿真模擬練(一) (時(shí)間:120分鐘 滿分:150分) 一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.已知集合A={x|x>1},B={y|y=x2,x∈R},則A∩B=( ) A.[0,+∞) B.(1,+∞) C.[0,1) D.(0,+∞) 解析:選B 因?yàn)锳={x|x>1},B={y|y=x2,x∈R}=[0,+∞),所以A∩B=(1+∞),選B. 2.已知拋物線y2=x,則它的準(zhǔn)線方程為( ) A.y=-2 B.y=2 C.x=- D.y= 解析:選C 因
2、為拋物線y2=x,所以 p=,=,所以它的準(zhǔn)線方程為x=-,故選C. 3.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體的體積為( ) A.(1+π) B.(1+π) C.(2+3π) D.(2+π) 解析:選A 依題意,該幾何體由一個(gè)四棱錐和一個(gè)圓錐拼接而成,故所求體積為V=××4×4×2+×π×22×4=(1+π).故選A. 4.若實(shí)數(shù)x,y滿足則z=2x+y的最大值為( ) A.2 B.5 C.7 D.8 解析:選C 作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,由z=2x+y,可得y=-2x+z,平行移動(dòng)y=-2x+z,由圖象可知當(dāng)
3、直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線的縱截距最大,即z最大.聯(lián)立得A(3,1),所以zmax=2×3+1=7. 5.若關(guān)于x的不等式x2-4x≥m對(duì)任意x∈[0,1]恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( ) A.(-∞,-3] B.[-3,+∞) C.[-3,0) D.[-4,+∞) 解析:選A ∵x2-4x≥m對(duì)任意x∈[0,1]恒成立, 令f(x)=x2-4x,x∈[0,1], ∵f(x)的對(duì)稱軸為x=2, ∴f(x) 在[0,1]單調(diào)遞減, ∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)取到最小值為-3, ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-3],故選A. 6.在等比數(shù)列{an}中,“a4,a12 是方程x2+
4、3x+1=0的兩根”是“a8=±1”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 由根與系數(shù)的關(guān)系可知a4+a12=-3,a4a12=1,所以a4<0,a12<0,則在等比數(shù)列{an}中,a8=a4q4<0,所以a8=-=-1.在常數(shù)列an=1或an=-1中,a4,a12 不是所給方程的兩根.則在等比數(shù)列{an}中,“a4,a12 是方程x2+3x+1=0的兩根”是“a8=±1”的充分不必要條件. 7.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x),若f(x)為偶函數(shù),且在(0,1)上存在極大值,則f′(x)的圖象可能為( ) 解析:
5、選C 根據(jù)題意,若f(x)為偶函數(shù),則其導(dǎo)數(shù)f′(x)為奇函數(shù),結(jié)合函數(shù)圖象可以排除B、D,又由函數(shù)f(x)在(0,1)上存在極大值,則其導(dǎo)數(shù)圖象在(0,1)上存在零點(diǎn),且零點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號(hào)為正,右側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號(hào)為負(fù),結(jié)合選項(xiàng)可以排除A,只有C選項(xiàng)符合題意. 8.設(shè)x,y,z為大于1的正數(shù),且log2x=log3y=log5z,則x,y ,z 中最小的是( ) A.x B.y C.z D.三個(gè)數(shù)相等 解析:選C 令log2x=log3y=log5z=k(k>0), 則x=2k,y=3k,z=5k, 所以x=2,y=3,z=5. 對(duì)以上三式兩邊同時(shí)乘方, 則(x)=215
6、,(y)=310,(z)=56, 顯然z最小,故選C. 9.將函數(shù)f(x)=2sin(ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)在上為增函數(shù),則ω的最大值為( ) A.3 B.2 C. D. 解析:選B 由題意可知g(x)=2sin=2sin ωx(ω>0),由y=g(x)在上為增函數(shù),得≤,ω≤2,所以ω的最大值為2. 10.已知單位向量e1與e2的夾角為,向量e1+2e2與2e1+λe2的夾角為,則λ=( ) A.- B.-3 C.-或-3 D.-1 解析:選B 因?yàn)閑1·e2=|e1|·|e2|·cos=, 所以|e1+2e2|
7、== , |2e1+λe2|==, (e1+2e2)·(2e1+λe2)=2e+(λ+4)e1·e2+2λe=4+λ , 又向量e1+2e2與2e1+λe2的夾角為, 所以==-, 解得λ=-3. 二、填空題(本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分) 11.已知三棱錐O -ABC底面ABC的頂點(diǎn)在半徑為4的球O表面上,且AB=6,BC=2,AC=4,則三棱錐O -ABC的體積為___________. 解析:∵AB=6,BC=2,AC=4, ∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC. 取AC的中點(diǎn)O1,連接OO1,BO1, 則O1為△ABC外接圓的圓心,
8、 ∴OO1⊥平面ABC,∴OO1⊥BO1. ∵OB=4,BO1=2, ∴OO1==2. ∴三棱錐O-ABC的體積V=××6×2×2=4. 答案:4 12.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i (i是虛數(shù)單位)則a2+b2= ______,ab=________. 解析:由題意可得a2-b2+2abi=3+4i, 則解得則a2+b2=5,ab=2. 答案:5 2 13.已知△ABC和點(diǎn)M,滿足++=0,若存在實(shí)數(shù)m,使得+=m成立,則點(diǎn)M是△ABC的________,實(shí)數(shù)m=________. 解析:由++=0知,點(diǎn)M為△ABC的重心.設(shè)點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn),則==×(+
9、)=(+),所以有+=3,故m=3. 答案:重心 3 14.三國時(shí)期吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明,下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí),圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實(shí),黃實(shí),利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí),化簡(jiǎn),得勾2+股2=弦2,設(shè)勾股中勾股比為1∶,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1 000顆圖釘(大小忽略不計(jì)),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為__________. 解析:設(shè)勾為a,則股為a,∴弦為2a, 則圖中大四邊形的面積為4a2,小四邊形的面積為(-1)2
10、a2=(4-2)a2, 則圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為=1- . 所以落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為1 000≈134. 答案:134 15.在△ABC中,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則△BCD的面積為______,cos∠BDC=__________. 解析:取BC的中點(diǎn)E,連接AE,由題意知AE⊥BC, 在△ABE中,cos∠ABC==, ∴cos∠DBC=-,sin∠DBC==, ∴S△BCD=×BD×BC×sin∠DBC=. ∵∠ABC=2∠BDC, ∴cos∠ABC=cos 2∠BDC=2cos2∠BDC-1=, 解得cos
11、∠BDC=或cos∠BDC=-(舍去). 綜上可得,△BCD面積為,cos∠BDC=. 答案: 16.已知函數(shù)f(x)=則f(f(4))=______;f(x) 的最大值是__________. 解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)= 所以f(4)=1-=-1,f(f(4))=f(-1)=2-1=. 當(dāng)x≥0時(shí), f(x)=1-單調(diào)遞減,即有f(x)≤1; 當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x∈(0,1). 綜上可得,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最大值1. 故f(f(4))=;f(x) 的最大值是1. 答案: 1 17.對(duì)于函數(shù)f(x)=下列5個(gè)結(jié)論正確的是__________(填序號(hào)).
12、①任取x1,x2∈[0,+∞) ,都有|f(x1)-f(x2)|≤2; ②函數(shù)y=f(x)在[4,5]上單調(diào)遞增; ③ f(x)=2kf(x+2k)(k∈N*),對(duì)一切x∈[0,+∞)恒成立; ④函數(shù)y=f(x)-ln(x-1)有3個(gè)零點(diǎn); ⑤若關(guān)于x的方程f(x)=m(m<0)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2,則x1+x2=3. 解析:由題意,得f(x)=的圖象如圖所示. 由圖象可知f(x)max=1,f(x)min=-1, 則任取x1,x2∈[0,+∞),都有 |f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=2, 故①正確; 函數(shù)y=f(x)在[4,
13、5]上先增后減,故②錯(cuò)誤;
當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x+2k)=f(x+2k-2)=f(x+2k-4)=…=f(x),
即f(x)=2kf(x+2k),x∈N*,故③錯(cuò)誤;
在同一坐標(biāo)系中作出y=f(x)和y=ln(x-1)的圖象,可知兩函數(shù)圖象有三個(gè)不同公共點(diǎn),
即函數(shù)y=f(x)-ln(x-1)有3個(gè)零點(diǎn),故④正確;
在同一坐標(biāo)系中作出y=f(x)和y=m的圖象,由圖象可知當(dāng)且僅當(dāng)-1 14、寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
18.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=sin 2x+cos 2x+a(a為常數(shù)).
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若f(x)在上有最小值1,求a的值.
解:(1)f(x)=2+a=2sin+a,
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.
(2)當(dāng)0≤x≤時(shí),≤2x+≤,
則-≤sin≤1.
∴當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最小值為a-1=1.
∴a=2.
19.(本小題滿分15分)如圖,已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,A 15、E=BE=.
(1)求證:平面EAB⊥ 平面ABCD;
(2)求二面角AECD的余弦值.
解:(1)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接EO,CO.
∵AE=EB=,AB=2,
∴△AEB為等腰直角三角形,
∴EO⊥AB,EO=1.
又∵AB=BC,∠ABC=60°,
∴△ACB是等邊三角形,
∴CO=,又EC=2,
∴EC2=EO2+CO2,∴EO⊥CO.
∵AB∩CO=O,∴EO⊥平面ABCD.
又EO ?平面EAB,∴平面EAB⊥平面ABCD.
(2)以AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)C,OB,OE所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,-1, 16、0),C(,0,0),D(,-2,0),E(0,0,1),
∴=(,1,0), =(,0,-1),=(0,2,0).
設(shè)平面DCE的法向量n=(x,y,1),
則即解得
∴n=.
設(shè)平面EAC的法向量m=(a,b,1),
則即解得
∴m=.
∴cos〈m,n〉==.
由圖知,二面角A-EC-D為銳角,
∴二面角AECD的余弦值為.
20.(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=ln x-,g(x)=f(x)+ax-6ln x,其中a∈R.
(1)當(dāng)a=1時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1)由f(x)=l 17、n x-得定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=.
當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=>0,
所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)由已知得,g′(x)=.
因?yàn)間(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),
所以?x∈(0,+∞),
g′(x)≥0,即ax2-5x+a≥0,即a≥.
而≤=,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立,
所以a≥.
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
21.(本小題滿分15分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P,且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)動(dòng)直線l:mx+ny+n=0(m,n∈R )交橢圓C于A,B兩點(diǎn),試問:在坐標(biāo)平面上是 18、否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T.若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
解:(1)∵橢圓C:+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,
∴a=b,∴+=1,
又∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)P,代入可得b=1.
∴a=,故所求橢圓C的方程為+y2=1.
(2)動(dòng)直線l:mx+ny+n=0可化為mx+n=0,當(dāng)x=0時(shí),y=-,所以動(dòng)直線l恒過點(diǎn).
當(dāng)l與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為
x2+2=2,
當(dāng)l與y軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為
x2+y2=1.
由解得
即兩圓相切于點(diǎn)(0,1),因此所求的點(diǎn)T如果存在,只能是(0,1 19、),事實(shí)上,點(diǎn)T(0,1)就是所求的點(diǎn).
證明如下:
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),以AB為直徑的圓過點(diǎn)T(0,1),
當(dāng)直線l不垂直于x軸,可設(shè)直線l:y=kx-.
由消去y,得(18k2+9)x2-12kx-16=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=,
又因?yàn)椋?x1,y1-1), =(x2,y2-1),
所以·=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+
=(1+k2)·-k·+=0.
所以TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T(0,1).
所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(0,1)滿足 20、條件.
22.(本小題滿分15分)數(shù)列{an}滿足a1+2a2+…+nan=4-(n∈N*).
(1)求a3的值;
(2)求數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Tn;
(3)令b1=a1,bn=+an(n≥2),證明:數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn<2+2ln n.
解:(1)∵3a3=(a1+2a2+3a3)-(a1+2a2)=4--=,
∴a3=.
(2)由題意知,當(dāng)n≥2時(shí),nan=(a1+2a2+…+nan)-=4--=,
∴an=n-1,
又a1=4-=1也適合此式,
∴an=n-1,
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,
故Tn==2-n-1.
(3)證明:由 21、bn=+an,知b1=a1,b2=+a2,b3=+a3,
∴Sn=b1+b2+…+bn=(a1+a2+…+an)=Tn=·<2×,
記f(x)=ln x+-1(x>1),
則f′(x)=-=>0,
∴f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),
又f(1)=0,∴f(x)>0,
又k≥2且k∈N*時(shí),>1,
∴f =ln+-1>0,即ln>,
∴ 22、40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.已知集合A={x|x2-3x+2<0},B={x|x≥1},則A∩B=( )
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,2)
解析:選A ∵A={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2},B={x|x≥1},∴A∩B={x|1<x<2}=(1,2),故選A.
2.已知α,β∈R,則“α>β ”是“cos α>cos β ”的( )
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
解析:選D 因?yàn)楫?dāng)α=>β=時(shí),cos α>cos β不成立; 23、當(dāng)cos>cos時(shí),α>β不成立,所以“α>β”是“cos α>cos β”的既不充分也不必要條件,故選D.
3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A.+π B.+π
C. D.
解析:選A 由三視圖可知,該幾何體是半個(gè)圓柱和以圓柱軸截面為底面的四棱錐組成的組合體,其中半圓柱底面半徑為1,高為2,體積為×π×12×2=π,四棱錐的體積為×4×1=,所以該幾何體的體積為+π,故選A.
4.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件則z=2x+y的取值范圍是( )
A.[3,4] B.[3,12]
C.[3,9] D.[4,9]
解析:選C 作出不等式組表示的可行域如圖中陰 24、影部分所示,
由得A(1,1);
由得B(3,3),平移直線y=-2x+z,當(dāng)直線經(jīng)過A,B時(shí)分別取得最小值3,最大值9,故z=2x+y的取值范圍是[3,9],故選C.
5.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,bn=2an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng),前2n項(xiàng),前3n項(xiàng)的和分別為A,B,C,則( )
A.A+B=C B.B2=AC
C.(A+B)-C=B2 D.(B-A)2=A(C-B)
解析:選D ∵{an}是公差不為0的等差數(shù)列,∴{bn}是以公比不為1的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì),可得A,B-A,C-B成等比數(shù)列,∴(B-A)2=A(C-B),故選D.
6.已知函數(shù)y= 25、f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的圖象可能是( )
解析:選C 由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,函數(shù)y=f(x)先減再增,可排除選項(xiàng)A、B,又知f′(x)=0的根為正,即y=f(x)的極值點(diǎn)為正,所以可排除D,故選C.
7.正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓+=1上,若橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部,則橢圓的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選B 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2m,
∵橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部,∴m>c,
又正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓+=1上,
∴+=1≥+=e2+,
即e4-3e2+1≥0,e2≤=2,∴0<e<.
8.已知 26、△ABC的邊BC的垂直平分線交BC于Q,交AC于P,若||=1,||=2,則·的值為( )
A.3 B.
C. D.
解析:選B 因?yàn)锽C的垂直平分線交AC于P,
所以·=0,
所以·=(+)·
=·+·
=(+)(-)
=(2-2)
=.
9.已知函數(shù)f(x)=x|x|,則下列命題錯(cuò)誤的是( )
A.函數(shù)f(sin x)是奇函數(shù),且在上是減函數(shù)
B.函數(shù)sin(f(x))是奇函數(shù),且在上是增函數(shù)
C.函數(shù)f(cos x)是偶函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù)
D.函數(shù)cos(f(x))是偶函數(shù),且在(-1,0)上是增函數(shù)
解析:選A ∵函數(shù)f(x)=x|x|,
27、
∴f(sin x)=sin x|sin x|
=
∵y=cos 2x在上遞減,在上遞增,
∴y=f(sin x)在上是增函數(shù),
∴命題“函數(shù)f(sin x)是奇函數(shù),且在上是減函數(shù)”錯(cuò)誤,同理:可驗(yàn)證B、C、D均正確,故選A.
10.如圖,在正四面體ABCD中,P,Q,R在棱AB,AD,AC上,且AQ=QD,==,分別記二面角APQR,APRQ,AQRP的平面角為α,β,γ,則α,β,γ的大小關(guān)系為( )
A.β>γ>α B.γ>β>α
C.α>γ>β D.α>β>γ
解析:選D 在正四面體ABCD中,P,Q,R在棱AB,AD,AC上,且AQ=QD,==,可得α 28、為鈍角,β,γ為銳角,設(shè)P到平面ACD的距離為h1,P到QR的距離為d1,Q到平面ABC的距離為h2,Q到PR的距離為d2,設(shè)正四面體的高為h,可得h1=h,h2=h,h1<h2,由余弦定理可得QR<PR,由三角形面積相等可得到d1>d2,所以可以推出sin γ=<=sin β,所以γ<β,所以α>β>γ,故選D.
二、填空題(本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分)
11.若復(fù)數(shù)z=4+3i,其中i是虛數(shù)單位,則|z|=________.
解析:∵復(fù)數(shù)z=4+3i,
∴|z|==5.
答案:5
12.若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,實(shí)軸長(zhǎng)為4,離心率為,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn) 29、方程為__________,漸近線方程為__________.
解析:∵2a=4,∴a=2,又∵離心率=,∴c=2,∴b==2,∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,漸近線方程為y=±x=±x.
答案:-=1 y=±x
13.已知直線l:x-y=0與圓C:(x-2)2+y2=4交于O,A兩點(diǎn)(其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則圓心C到直線l的距離為__________,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為__________.
解析:∵圓C:(x-2)2+y2=4,∴C(2,0),由點(diǎn)到直線的距離公式可得C到直線l的距離為d==1,由得O(0,0),A(3,),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.
答案:1 3
14.如圖,四邊形ABCD中, 30、△ABD、△BCD分別是以AD和BD為底邊的等腰三角形,其中AD=1,BC=4,∠ADB=∠CDB,則BD=__________,AC=__________.
解析:設(shè)∠ADB=∠CDB=θ,在△ABD中,BD=,在△CBD中,BD=8cos θ,可得cos θ=,BD=2,cos 2θ=2cos2θ-1=-,由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos 2θ=24,解得AC=2.
答案:2 2
15.已知2a+4b=2(a,b∈R),則a+2b的最大值為__________.
解析:由2a+4b=2a+22b=2≥2,得2a+2b≤1=20,a+2b≤0,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b 31、時(shí)等號(hào)成立,所以a+2b的最大值為0.
答案:0
16.設(shè)向量a,b,且|a+b|=2|a-b|,|a|=3,則|b|的最大值是__________;最小值是__________.
解析:設(shè)|b|=t,a,b的夾角為θ,由|a+b|=2|a-b|,可得|a+b|2=4|a-b|2,9+t2+
6tcos θ=4(9+t2-6tcos θ),化簡(jiǎn)得t2-10tcos θ+9=0,可得t2-10t+9≤0,1≤t≤9,即|b|的最大值是9,最小值是1.
答案:9 1
17.已知函數(shù)f(x)=+-a有六個(gè)不同零點(diǎn),且所有零點(diǎn)之和為3,則a的取值范圍為__________.
解析:根據(jù)題 32、意,有f(x)=f(m-x),于是函數(shù)f(x)關(guān)于x=m對(duì)稱,結(jié)合所有的零點(diǎn)的平均數(shù)為,可得m=1,此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=+在上與直線y=a有3個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)g(x)=當(dāng) 33、
接下來問題的關(guān)鍵是判斷n與5的大小關(guān)系,因?yàn)間′=2--4<0,所以n≤g=+++2=<5,若函數(shù)g(x)=+在上與直線y=a有3個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是(5,+∞).
答案:(5,+∞)
三、解答題(本大題共5小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
18.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=4cos xcos+1.
(1)求f 的值;
(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
解:(1)f =4coscos+1=4coscos+1=4××+1=-2.
(2)f(x)=4cos xcos+1
=4cos x+1
=-2cos2x-sin 34、2x+1
=-sin 2x-cos 2x
=-2sin.
所以f(x)的最小正周期為π,
令2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
19.(本小題滿分15分)如圖,在四面體ABCD中,AB=BC=CD=BD=AD=1,平面ABD⊥平面CBD.
(1)求AC的長(zhǎng);
(2)點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn),求直線BE與平面ACD所成角的正弦值.
解:(1)∵AB=1,BD=,AD=2,
∴AB2+BD2=AD2,
∴AB⊥BD,
又∵平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,
∴AB⊥平面CBD, 35、∴AB⊥BC,
∵AB=BC=1,∴AC=.
(2)由(1)可知AB⊥平面BCD,過B作BG⊥CD于點(diǎn)G,連接AG,則有CD⊥平面ABG,
∴平面AGD⊥平面ABG,
過B作BH⊥AG于點(diǎn)H,則有BH⊥平面AGD,連接HE,
則∠BEH為BE與平面ACD所成的角.
由BC=CD=1,BD=,得∠BCD=120°,
∴∠BCG=60°,∴BG=,
又∵AB=1,∴AG=,∴BH=,
又∵BE=AD=1,
∴sin∠BEH==.
即直線BE與平面ACD所成角的正弦值為.
20.(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=x--4ln x.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
( 36、2)當(dāng)0 37、1),B(x2,y2)兩點(diǎn),D(x0,y0)為AB的中點(diǎn),且|AF|+|BF|=1+2x0.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若x1x2+y1y2=-1,求的最小值.
解:(1)根據(jù)拋物線的定義知|AF|+|BF|=x1+x2+p,x1+x2=2x0,
∵|AF|+|BF|=1+2x0,
∴p=1,∴y2=2x.
(2)設(shè)直線l的方程為x=my+b,代入拋物線方程,得y2-2my-2b=0,
∵x1x2+y1y2=-1,即+y1y2=-1,
∴y1y2=-2,即y1y2=-2b=-2,∴b=1,
∴y1+y2=2m,y1y2=-2,
∴|AB|=|y1-y2|
=·
= 38、2·,
x0==
=[(y1+y2)2-2y1y2]
=m2+1,
∴=,
令t=m2+1,t∈[1,+∞),
則==≥,
當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即m=0時(shí)取等號(hào).
所以的最小值為.
22.(本小題滿分15分)已知數(shù)列{xn}滿足x1=1,xn+1=2+3,求證:
(1)0 39、+1<9,
所以n=k+1時(shí),0 40、 )
A. B.
C. D.
解析:選D?。剑剑剑xD.
2.雙曲線-=1的漸近線方程是( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析:選C 在雙曲線-=1中,a=3,b=2,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x,選C.
3.若變量x,y滿足約束條件則z=2x+y的最大值是( )
A.3 B.2
C.4 D.5
解析:選A 作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,作出直線y=-2x,平移該直線,由圖象可知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),z取得最大值,
由解得
即A(2,-1),此時(shí)zmax=2×2-1=3,故選A.
4.?dāng)?shù)列{an}中 41、,a1=2,a2=3,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),那么a2 019=( )
A.1 B.-2
C.3 D.-3
解析:選A 因?yàn)閍n+1=an-an-1(n≥2),所以an=an-1-an-2(n≥3),所以an+1=an-an-1=(an-1-an-2)-an-1=-an-2(n≥3).
所以an+3=-an(n∈N*),所以an+6=-an+3=an,
故{an}是以6為周期的周期數(shù)列.
因?yàn)? 019=336×6+3,
所以a2 019=a3=a2-a1=3-2=1.故選A.
5.(1-x)4展開式中x2的系數(shù)為( )
A.16 B.12
C.8 42、 D.4
解析:選C 因?yàn)?1-x)4=,所以展開式中x2的系數(shù)為-C+2C=8,故選C.
6.已知a=(cos α,sin α),b=(cos(-α),sin(-α)),那么“a·b=0”是“α=kπ+(k∈Z)”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:選B ∵a·b=0=cos α·cos(-α)+sin α·sin(-α)=cos2α-sin2α=cos 2α,
∴2α=2kπ±,解得α=kπ±(k∈Z).
∴“a·b=0”是“α=kπ+(k∈Z)”的必要不充分條件,故選B.
7.已知函數(shù)f(x)=(2x-1)ex 43、+ax2-3a(x>0)為增函數(shù),則a的取值范圍是( )
A.[-2,+∞) B.
C.(-∞,-2 ] D.
解析:選A 由函數(shù)f(x)=(2x-1)ex+ax2-3a(x>0)為增函數(shù),則f′(x)=2ex+(2x-1)ex+2ax=(2x+1)ex+2ax≥0在(0,+∞)上恒成立,
即a≥在(0,+∞)上恒成立.
設(shè)g(x)=,x>0,則g′(x)
=
=.
由g′(x)>0,得0 44、+=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),若C上存在點(diǎn)P滿足∠APB=120°,則m的取值范圍是( )
A.∪[12,+∞) B.∪[6,+∞)
C.∪[12,+∞) D.∪[6,+∞)
解析:選A 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,則0 45、m的取值范圍是∪[12,+∞),故選A.
9.函數(shù)y=x+的值域?yàn)? )
A.[1+,+∞) B.(,+∞)
C.[,+∞) D.(1,+∞)
解析:選D 由x2-2x+3=(x-1)2+2,得x∈R,
①當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)y=x+為增函數(shù),
所以y≥1+=1+.
②當(dāng)x≤1時(shí),由y=x+移項(xiàng)得 =y(tǒng)-x>0,
兩邊平方整理得(2y-2)x=y(tǒng)2-3,
從而y≠1且x=.
由x=≤1,得y≤1-或1 46、是弧AB上的一點(diǎn),且滿足OP⊥OB,M,N分別是線段OA,OB上的動(dòng)點(diǎn),則·的最大值為( )
A. B.
C.1 D.
解析:選C ·=(+)·(+)=2+·+·=1+
||cos 150°+||·||cos 120°≤1+0×+0×=1,故選C.
二、填空題(本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分)
11.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),該幾何體的表面積為__________cm2,體積為__________cm3.
解析:由三視圖可知,該幾何體為一個(gè)四棱錐,高為2,底面為邊長(zhǎng)為2的正方形,所以表面積為22+2××2×2+2××2×2=8+4,體 47、積為×2×22=.
答案:8+4
12.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=,b=3,sin C=
2sin A,則sin A=________;設(shè)D為AB邊上一點(diǎn),且=2,則△BCD的面積為________.
解析:由sin C=2sin A及正弦定理得c=2a=2,又cos A===,所以sin A===.又因?yàn)椋?,所以點(diǎn)D為AB邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),所以S△BCD=××bcsin A=××3×2×=2.
答案: 2
13.已知sincos=,且0<α<,則sin α=________,cos α=________.
解析:因?yàn)閟incos=-co 48、s α·(-sin α)=sin αcos α=,
又0<α<,則且0 49、0=150種不同的安排方案.
學(xué)生甲被單獨(dú)安排去金華時(shí),共有CCA+A=14種不同的安排方案,則學(xué)生甲被單獨(dú)安排去金華的概率是=.
答案:150
15.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若=,則||=________.
解析:由題意知,F(xiàn)(1, 0),設(shè)M(x0,y0),N(0,y),
則由=,
可得(x0-1,y0)=(0-x0,y-y0),所以
把x0=代入y2=4x,得
y0=±=±,y=3y0=±,
所以 ||==5.
答案:5
16.已知函數(shù)f(x)=則關(guān)于x的方程f(x2-4x)=6的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)為________ 50、.
解析:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,t=x2-4x=(x-2)2-4,由圖象可知,當(dāng)-4≤t≤0時(shí),f(t)=6,即ln(1-t)+4=6,t=1-e2<-4,故方程無解,當(dāng)t>0時(shí),f(t)=6有2個(gè)解,對(duì)應(yīng)t=x2-4x各有2個(gè)解,故關(guān)于x的方程f(x2-4x)=6的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)為4.
答案:4
17.如圖,棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)A在平面α內(nèi),三條棱AB,AC,AD都在平面α的同側(cè).若頂點(diǎn)B,C到平面α的距離分別為,,則平面ABC與平面α所成銳二面角的余弦值為________.
解析:如圖,作BB1⊥平面α于B1,CC1⊥平面α于C1,
連接BC,B1C1,
過點(diǎn)B作B 51、E⊥CC1,垂足為E.
則AC1==,AB1==,
B1C1=BE==,
∴cos∠B1AC1==-,
sin∠B1AC1=.
∴S△B1AC1=×××=3.
S△BAC=×32=.
設(shè)平面ABC與平面α所成銳二面角為θ,
則cos θ===.
答案:
三、解答題(本大題共5小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
18.(本小題滿分14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cos(A-B)+cos C=sin(A-B)+sin C.
(1)求角B的大??;
(2)若b=2,求△ABC面積的最大值.
解:(1)在△ABC中,A+
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