2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)6 函數(shù)的奇偶性與周期性 文 北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)6 函數(shù)的奇偶性與周期性 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝則f(－7)＝(　　) A．3 B．－3　　　　 C．2　　　　 D．－2 B　[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 且f(x)＝ 所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.] 2．函數(shù)f(x)＝的圖像(　　) A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱 C．關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱 B　[因?yàn)閒(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．] 3．(2019·洛陽模擬)已知函

2、數(shù)f(x)＝a－(a∈R)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－3,3) D．(－4,4) A　[法一：由f(x)是奇函數(shù)知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－.因?yàn)閑x＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1)． 法二：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－.因?yàn)閑x＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1)．] 4．已知函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則f(

3、a)＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．±1 C　[∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，則有f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1(符合題意)， ∴f(x)＝ ∴f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0.] 5．設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝3x－7x＋2b(b為常數(shù))，則f(－2)＝(　　) A．6 B．－6 C．4 D．－4 A　[∵f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝3x－7x＋2b， ∴f(0)＝1＋2b＝0， ∴b＝－. ∴f(x)＝3x－7x－1， ∴f(－2)

4、＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.故選A.] 二、填空題 6．已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ln x，則f的值為________． ln 2　[由已知可得f＝ln ＝－2， 所以f＝f(－2)． 又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)， 所以f＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.] 7．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，并且f(x＋2)＝，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)＝x，則f(2 019)＝________. 3　[由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．故函數(shù)f(x)的周期為4.所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3.] 8．已知

5、函數(shù)f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，則f(－a)＝________. －4　[法一：因?yàn)閒(x)＋1＝x＋， 設(shè)g(x)＝f(x)＋1＝x＋， 易判斷g(x)＝x＋為奇函數(shù)， 故g(x)＋g(－x)＝x＋－x－＝0， 即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2. 所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4. 法二：由已知得f(a)＝a＋－1＝2， 即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.] 三、解答題 9．f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式． [解]　當(dāng)x＜0時(shí)，－x

6、＞0，則f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. 由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)， 所以當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝2x2＋3x－1. 因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)＝0. 綜上可得f(x)的解析式為 f(x)＝ 10．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f＝－f成立． (1)證明y＝f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值． [解](1)證明：由f＝－f， 且f(－x)＝－f(x)， 知f(3＋x)＝f ＝－f＝－f(－x)＝f(x)， 所以y＝f(x)是周期函數(shù)，且T

7、＝3是其一個(gè)周期． (2)因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0， 且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一個(gè)周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. 1．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝(　　) A．ex－e－x　 B.(ex＋e－x) C.(e－x－ex) D.(ex－e－x) D　[因?yàn)閒(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．] 2．(2019·湖南永州第三次模擬)已知f(x)滿足任

8、意x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1,3)時(shí)，f(x)＝log2x＋1，則f(2 019)的值為(　　) A．－1 B．0 C．1　　　　 D．2 C　[因?yàn)閒(x)滿足對(duì)任意x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2， 又2 019÷2＝1 009……1，且x∈[1,3)時(shí)，f(x)＝log2x＋1，因此f(2 019)＝f(1)＝log21＋1＝1.故選C.] 3．已知函數(shù)y＝f(x)，滿足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，且f(1)＝，設(shè)F(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(3)＝________. π　[由y＝f(－x)和y＝f(x

9、＋2)是偶函數(shù)知：f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，因此，函數(shù)y＝f(x)的周期為4，則F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.] 4．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解](1)設(shè)x＜0，則－x＞0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－

10、1，a－2]上單調(diào)遞增， 結(jié)合f(x)的圖像(如圖所示)知所以1＜a≤3， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]． 1．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(　　) A．y＝　 B．y＝x＋ C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex D　[A選項(xiàng)定義域?yàn)镽，由于f(－x)＝＝＝f(x)，所以是偶函數(shù)．B選項(xiàng)定義域?yàn)閧x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以是奇函數(shù)．C選項(xiàng)定義域?yàn)镽，由于f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，所以是偶函數(shù)．D選項(xiàng)定義域?yàn)镽，由于f(－x)＝－x＋e－x＝－x，所以是非奇非偶函數(shù)．] 2．已知函數(shù)f(x)＝log2(－x)是奇函數(shù)，則a＝________，若g(x)＝則g(g(－1))＝______. 1　　[由f(x)＝log2(－x)得－x＞0，則a＞0，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝log2＝0，解得a＝1.所以g(－1)＝f(－1)＝log2(＋1)＞0，g(g(－1))＝2log2(＋1)－1＝.] - 5 -