2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)25 簡單的三角恒等變換 文 北師大版

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1、課后限時集訓(xùn)25 簡單的三角恒等變換 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．已知sin＝cos，則tan α＝(　　) A．1　　　B．－1　　　C.　　　D．0 B　[∵sin＝cos， ∴cos α－sin α＝cos α－sin α， 即sin α＝cos α， ∴tan α＝＝－1.] 2．求值：＝(　　) A．1 B．2 C. D. C　[原式＝ ＝＝ ＝ ＝＝＝.] 3．(2019·杭州模擬)若sin＝，則cos等于(　　) A．－ B．－ C. D. A　[cos＝cos ＝－cos＝－ ＝－＝－.] 4．設(shè)α∈，β∈，且t

2、an α＝，則(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ B　[由tan α＝，得＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin. ∵α∈，β∈， ∴α－β∈，－α∈， 由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α， ∴2α－β＝.] 5．若函數(shù)f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ時取得最小值，則cos θ等于(　　) A. B．－ C. D．－ B　[f(x)＝5cos x＋12sin x ＝13＝13sin(x＋α)， 其中sin α＝，cos α＝， 由題意

3、知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)， 得θ＝2kπ－－α(k∈Z)， 所以cos θ＝cos＝cos ＝－sin α＝－.] 二、填空題 6．化簡：＝________. 4sin α　[＝ ＝＝4sin α.] 7．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的兩根分別為tan α，tan β，且α，β∈，則α＋β＝________. －π　[依題意有 ∴tan(α＋β)＝＝＝1. 又 ∴tan α＜0且tan β＜0， ∴－＜α＜0且－＜β＜0， 即－π＜α＋β＜0，結(jié)合tan(α＋β)＝1， 得α＋β＝－.] 8．函數(shù)y＝sin xcos的最小正周期是______

4、__． π　[y＝sin xcos＝sin xcos x－sin2x＝sin 2x－·＝sin－，故函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π.] 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝2sin xsin. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)當(dāng)x∈時，求函數(shù)f(x)的值域． [解](1)因為f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝π. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. (2)當(dāng)x∈時，2x－∈， sin∈，f(x)∈. 故f(

5、x)的值域為. 10．已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值． [解](1)因為f(x)＝sin2x＋sin xcos x ＝－cos 2x＋sin 2x ＝sin＋， 所以f(x)的最小正周期為T＝＝π. (2)由(1)知f(x)＝sin＋. 由題意知－≤x≤m， 所以－≤2x－≤2m－. 要使f(x)在區(qū)間上的最大值為， 即sin在區(qū)間上的最大值為1， 所以2m－≥，即m≥. 所以m的最小值為. 1．已知cos＝－，則sin的值為(　　) A.　　　　B．±　

6、　　　C．－　　　　D. B　[∵cos＝－， ∴cos＝－cos ＝－cos＝－＝－， 解得sin2＋θ＝， ∴sin＝±.] 2．(2019·江西九江二模)若sin＝2cos αsin，則＝(　　) A. B. C．2 D．4 B　[∵sin＝2cos αsin ，∴sin αcos －cos αsin ＝2cos αsin ，即sin αcos ＝3cos αsin ， ∴tan α＝3tan.cos＝cos＝cos＝sin. 則＝＝＝＝＝，故選B.] 3．已知A，B均為銳角，cos(A＋B)＝－，sin＝，則cos＝________. 　[因為A，B均為銳

7、角，cos(A＋B)＝－，sin＝， 所以＜A＋B＜π，＜B＋＜π， 所以sin(A＋B)＝＝，cos＝－＝－， 可得cos＝cos＝－×＋×＝.] 4．已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R. (1)求f的值； (2)若sin α＝，且α∈，求f. [解](1)f＝cos2＋sin cos ＝＋×＝. (2)因為f(x)＝cos2x＋sin xcos x ＝＋sin 2x ＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin， 所以f＝＋sin ＝＋sin＝＋. 又因為sin α＝，且α∈， 所以cos α＝－， 所以f＝＋ ＝. 1．已

8、知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，則cos(α＋β)＝________. －　[∵α∈，－α∈， cos＝，∴sin＝－， ∵sin＝－，∴sin＝， 又∵β∈，＋β∈， ∴cos＝， ∴cos(α＋β)＝cos ＝×－×＝－.] 2．已知角α的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點P(－3，)． (1)求sin 2α－tan α的值； (2)若函數(shù)f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函數(shù)g(x)＝f－2f2(x)在區(qū)間上的值域． [解](1)∵角α的終邊經(jīng)過點P(－3，)， ∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－. (2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x， ∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1. ∵0≤x≤， ∴－≤2x－≤. ∴－≤sin≤1， ∴－2≤2sin－1≤1， 故函數(shù)g(x)＝f－2f2(x)在區(qū)間上的值域是[－2,1]． - 8 -