2021版高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第3講 圓的方程練習 理 北師大版

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1、第3講 圓的方程 [基礎題組練] 1．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1，2)的圓的方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析：選A.設圓心為(0，a)，則＝1， 解得a＝2，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.故選A. 2．(2020·河北省九校第二次聯(lián)考)圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為(　　) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0 解

2、析：選C.由題意設所求圓的方程為(x－m)2＋y2＝4(m>0)，則＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故選C. 3．方程|x|－1＝所表示的曲線是(　　) A．一個圓 B．兩個圓 C．半個圓 D．兩個半圓 解析：選D.由題意得即或 故原方程表示兩個半圓． 4．(一題多解)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A(8，0)，以OA為直徑的圓與直線y＝2x在第一象限的交點為B，則直線AB的方程為(　　) A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0 C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0 解析：選A.法一：

3、如圖，由題意知OB⊥AB，因為直線OB的方程為y＝2x，所以直線AB的斜率為－，因為A(8，0)，所以直線AB的方程為y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故選A. 法二：依題意，以OA為直徑的圓的方程為(x－4)2＋y2＝16， 解方程組，得或(舍去)，即B，因為A(8，0)，所以kAB＝＝－，所以直線AB的方程為y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故選A. 5．(2020·河北五個一名校聯(lián)盟一診)已知點P為圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一點，A(0，－6)，B(4，0)，則|＋|的最大值為(　　) A.＋2 B．＋4 C．2＋4 D．2＋2 解析：選C.取

4、AB的中點D(2，－3)，則＋＝2，|＋|＝|2|，||的最大值為圓心C(1，2)與D(2，－3)的距離d再加半徑r，又d＝＝，所以d＋r＝＋2. 所以|2|的最大值為2＋4.故選C. 6．點M，N是圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同兩點，且點M，N關于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑為________． 解析：圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圓心坐標為.因為點M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點M，N關于直線x－y＋1＝0對稱，所以直線x－y＋1＝0經過圓心，即－＋1＋1＝0，k＝4.所以圓的方程為x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，圓的半徑為×＝3. 答案：3

5、 7．已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為________________． 解析：因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設C(a，0)，且a>0，所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝＝， 解得a＝2，所以圓C的半徑r＝|CM|＝＝3， 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9. 答案：(x－2)2＋y2＝9 8．已知點P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點，則點M的軌跡方程為________________． 解析：圓C的方程可化為x2＋(y－4)2

6、＝16， 所以圓心為C(0，4)，半徑為4. 設M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)． 由題設知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0. 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點P在圓C的內部，所以點M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. 答案：(x－1)2＋(y－3)2＝2 9．(一題多解)一個圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長為2，則該圓的方程為________． 解析：法一：因為所求圓的圓心在直線x－3y＝0上， 所以設所求圓的圓心為(3a，a)， 又所求圓與y軸相切， 所以半徑r＝3|a|，

7、又所求圓在直線y＝x上截得的弦長為2，圓心(3a，a)到直線y＝x的距離d＝， 所以d2＋()2＝r2， 即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1. 故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0. 法二：設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則圓心(a，b)到直線y＝x的距離為， 所以r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.?、? 由于所求圓與y軸相切，所以r2＝a2，　② 又因為所求圓的圓心在直線x－3y＝0上， 所以a－3b＝0，?、? 聯(lián)立①②③，解得或 故所求

8、圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0. 法三：設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心的坐標為， 半徑r＝. 在圓的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0. 由于所求圓與y軸相切， 所以Δ＝0，則E2＝4F.?、? 圓心到直線y＝x的距離為d＝， 由已知得d2＋()2＝r2， 即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．?、? 又圓心在直線x－3y＝0上， 所以D－3E＝0.?、? 聯(lián)立①②③，解得或 故所求圓的方程為x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2

9、＋6x＋2y＋1＝0. 答案：x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0 10．設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k＞0)． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因

10、此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. [綜合題組練] 1．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P(x，y)引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為(　　) A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 解析：選D.由題意得，圓心C的坐

11、標為(3，－4)，半徑r＝2，如圖． 因為|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ， 所以|PO|2＋r2＝|PC|2， 所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2， 即6x－8y－21＝0，所以點P的軌跡方程為6x－8y－21＝0，故選D. 2．設點P是函數(shù)y＝－的圖象上的任意一點，點Q(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為(　　) A.－2 B． C.－2 D．－2 解析：選C.如圖所示，點P在半圓C(實線部分)上，且由題意知，C(1，0)，點Q在直線l：x－2y－6＝0上．過圓心C作直線l的垂線，垂足為點A，則|CA|＝，|PQ|min＝|CA|－2＝－2.

12、故選C. 3．(2020·福建廈門一模)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，A＝，動點P在以點A為圓心，半徑為1的圓上，則·的最小值為________． 解析：如圖，以點A為原點，AB邊所在直線為x軸建立平面直角坐標系． 則A(0，0)，B(4，0)，C(1，)，設P(x，y)，則＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)， 所以·＝(4－x)(1－x)－y(－y)＝x2－5x＋y2－y＋4＝＋－3，其中＋表示圓A上的點P與點M之間距離|PM|的平方，由幾何圖形可得|PM|min＝|AM|－1＝－1＝－1， 所以(·)min＝(－1)2－3＝5－2. 答案：5－2 4．已知以點

13、P為圓心的圓經過點A(－1，0)和B(3，4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝4.則直線CD的方程為________，圓P的方程為________． 解析：由題意知，直線AB的斜率k＝1，中點坐標為(1，2)． 則直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. 設圓心P(a，b)，則由點P在CD上得a＋b－3＝0.① 又因為直徑|CD|＝4，所以|PA|＝2， 所以(a＋1)2＋b2＝40.② 由①②解得或 所以圓心P(－3，6)或P(5，－2)． 所以圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 答案：x＋y

14、－3＝0　(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40 5．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0. (1)若此方程表示圓，求實數(shù)m的取值范圍； (2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M，N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求m的值； (3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程． 解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5. (2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；將x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝

15、.因為OM⊥ON，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因為x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝. (3)設圓心C的坐標為(a，b)，則a＝(x1＋x2)＝，b＝(y1＋y2)＝，半徑r＝|OC|＝，所以所求圓的方程為＋＝. 6．在平面直角坐標系xOy中，曲線Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C. (1)是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由． (2)求證：過A

16、，B，C三點的圓過定點． 解：由曲線Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0. 設A(x1，0)，B(x2，0)，則可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m. 令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)． (1)若存在以AB為直徑的圓過點C，則·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－. 由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－， 此時C(0，－1)，AB的中點M即圓心，半徑r＝|CM|＝， 故所求圓的方程為＋y2＝. (2)證明：設過A，B兩點的圓的方程為x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 將點C(0，2m)代入可得E＝－1－2m， 所以過A，B，C三點的圓的方程為x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0， 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 令可得或 故過A，B，C三點的圓過定點(0，1)和. 8