2020高考數(shù)學大一輪復習 第一章 集合與常用邏輯用語、函數(shù) 第十節(jié) 函數(shù)與方程檢測 理 新人教A版

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1、第十節(jié) 函數(shù)與方程 限時規(guī)范訓練(限時練·夯基練·提能練) A級　基礎夯實練 1．(2018·廣州模擬)下列函數(shù)中，在(－1，1)內(nèi)有零點且單調(diào)遞增的是(　　) A．y＝logx　　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝x2－ D．y＝－x3 解析：選B.函數(shù)y＝logx在定義域上單調(diào)遞減，y＝x2－在(－1，1)上不是單調(diào)函數(shù)，y＝－x3在定義域上單調(diào)遞減，均不符合要求．對于y＝2x－1，當x＝0∈(－1，1)時，y＝0且y＝2x－1在R上單調(diào)遞增．故選B. 2．(2018·湖南長沙模擬)若函數(shù)f(x)＝ax＋1在區(qū)間(－1，1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)

2、 A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，1) 解析：選C.由題意知，f(－1)·f(1)＜0， 即(1－a)(1＋a)＜0，解得a＜－1或a＞1. 3．(2018·石家莊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞) 解析：選C.因為f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2，4)，故選C. 4．(2018·山東濱州二模)函數(shù)f(x

3、)＝3x|ln x|－1的零點個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B.函數(shù)f(x)＝3x|ln x|－1的零點即3x|ln x|－1＝0的解，即|ln x|＝的解，作出函數(shù)g(x)＝|ln x|和函數(shù)h(x)＝的圖象，由圖象可知，兩函數(shù)圖象有兩個公共點，故函數(shù)f(x)＝3x|ln x|－1有2個零點． 5．(2018·湖北武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側(cè)，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0，1) B．(0，1] C．(－∞，1) D．(－∞，1] 解析：選D.令m＝0，由f(x)＝0得x

4、＝，滿足題意，可排除選項A，B.令m＝1，由f(x)＝0得x＝1，滿足題意，排除選項C.故選D. 6．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零點依次為a，b，c，則(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解析：選A.在同一坐標系下分別畫出函數(shù)y＝2x，y＝log3x，y＝－的圖象，如圖，觀察它們與y＝－x的交點可知a＜b＜c. 7．(2018·山東泰安模擬)已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點為a，函數(shù)g(x)＝ln x＋x－2的零點為b，則下列不等式成立的是(　　) A．f(a)＜f

5、(1)＜f(b) B．f(a)＜f(b)＜f(1) C．f(1)＜f(a)＜f(b) D．f(b)＜f(1)＜f(a) 解析：選A.函數(shù)f(x)，g(x)均為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，g(1)＝－1＜0，g(e)＝e－1＞0，所以a∈(0，1)，b∈(1，e)，即a＜1＜b，所以f(a)＜f(1)＜f(b)． 8．(2018·河北武邑中學調(diào)研)函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln x的零點位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________． 解析：因為f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝－1＋ln 2＜0，f(3)＝2＋ln 3＞

6、0，所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2，3)內(nèi)，故n＝2. 答案：2 9．(2018·天津卷)已知a＞0，函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)＝ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是________． 解析：當x≤0時，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；當x＞0時，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝作出直線y＝a，y＝2a，函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，g(x)的最大值為－＋＝，由圖象可知，若f(x)＝ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a＜＜2a，得4＜a＜8. 答案：(4，8) 10．已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，

7、 (1)判斷命題：“對于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有實數(shù)根”的真假，并寫出判斷過程； (2)若y＝f(x)在區(qū)間(－1，0)及內(nèi)各有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)“對于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有實數(shù)根”是真命題．依題意，f(x)＝1有實根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有實根，因為Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0對于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有實根，從而f(x)＝1必有實根． (2)依題意，要使y＝f(x)在區(qū)間(－1，0)及內(nèi)各有一個零點，只需即 解得＜a＜. 故實數(shù)a的取值范圍為. B級　能力提升練 11．(

8、2018·濰坊模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x≥0時，f(x)＝則關于x的函數(shù)F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零點之和為(　　) A．2a－1 B．2－a－1 C．1－2－a D．1－2a 解析：選D.當－1≤x＜0時?1≥－x＞0； x≤－1?－x≥1. 又f(x)為奇函數(shù)，∴x＜0時，f(x)＝－f(－x)＝畫出y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的圖象，如圖，共有5個交點，設其橫坐標從左到右分別為x1，x2，x3，x4，x5，則＝－3，＝3，而－log(－x3＋1)＝a?log2(1－x3)＝a?x3＝1－2a，可得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故選

9、D. 12．(2017·山東卷)已知當x∈[0，1]時，函數(shù)y＝(mx－1)2的圖象與y＝＋m的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0，1]∪[2，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞) C．( 0， ]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞) 解析：選B.在同一直角坐標系中，分別作出函數(shù)f(x)＝(mx－1)2＝m2與g(x)＝＋m的大致圖象．分兩種情形： (1)當0＜m≤1時，≥1，如圖①，當x∈[0，1]時，f(x)與g(x)的圖象有一個交點，符合題意． (2)當m＞1時，0＜＜1，如圖②，要使f(x)與g(x)的圖象在[0，1]上只有一個

10、交點，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)． 綜上所述，m∈(0，1]∪[3，＋∞)． 故選B. 13．(2018·浙江卷)已知λ∈R，函數(shù)f(x)＝ 當λ＝2時，不等式f(x)＜0的解集是________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是________． 解析：(1)當λ＝2時，f(x)＝ 其圖象如圖(1)． 由圖知f(x)＜0的解集為(1，4)． (2)f(x)＝恰有2個零點有兩種情況：①二次函數(shù)有兩個零點，一次函數(shù)無零點；②二次函數(shù)與一次函數(shù)各有一個零點． 在同一平面直角坐標系中畫出y＝x－4與y＝x2－4x＋3的

11、圖象，如圖(2)，平移直線x＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)． 答案：(1，4)　(1，3]∪(4，＋∞) 14．(2018·德州二模)設函數(shù)f(x)＝(x＞0)． (1)作出函數(shù)f(x)的圖象； (2)當0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時，求＋的值； (3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍． 解：(1)函數(shù)圖象如圖所示． (2)∵f(x)＝＝故f(x)在(0，1]上是減函數(shù)，而在(1，＋∞)上是增函數(shù)， 由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b， 且－1＝1－，∴＋＝2. (3)由函數(shù)f(x)的圖象可知，當0＜m＜1時，方程f(

12、x)＝m有兩個不相等的正根． 15．(2018·貴州遵義月考)已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ (1)求g(f(1))的值； (2)若方程g(f(x))－a＝0有4個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2個不同的解，則原方程有4個解等價于函數(shù)y＝g(t)(t＜1)與y＝a的圖象有2個不同的交點，作出函數(shù)y＝g(t)(t＜1)的圖象如圖，由圖象可知，當1≤a＜時，函數(shù)y＝g(t)(t＜1)與y＝a有2個不同的交點，即

13、所求a的取值范圍是. C級　素養(yǎng)加強練 16．已知函數(shù)f(x)＝若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有兩個零點x1，x2，則x1·x2的取值范圍是(　　) A．[4－2ln 2，＋∞) B．(，＋∞) C．(－∞，4－2ln 2] D．(－∞，) 解析：選D.因為函數(shù)f(x)＝所以F(x)＝由F(x)＝0得，x1＝ee－m－1，x2＝4－2e－m，其中m＝－ln＜－ln ，∴m＜ln.設t＝e－m，則t＞，所以x1·x2＝2et－1(2－t)，設g(t)＝2et－1(2－t)，則g′(t)＝2et－1(1－t)，因為t＞，所以g′(t)＝2et－1(1－t)＜0，即函數(shù)g(t)＝2et－1(2－t)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以g(t)＜g＝，故選D. 7