2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓4 數(shù)列求和與綜合問題 理

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1、專題限時集訓(四)　數(shù)列求和與綜合問題 [專題通關(guān)練] (建議用時：30分鐘) 1．等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　) A．12　　　　　　　 B．10 C．8 D．2＋log35 B　[由等比數(shù)列的性質(zhì)，知a5a6＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10) ＝log3(a5a6)5＝log395＝10，故選B.] 2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝(　　) A．2n－1 B.

2、 C. D. B　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，且Sn＝2an＋1， ∴Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即＝. ∴{Sn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，即Sn＝.] 3．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝a·2n－1＋，則a的值為(　　) A．－ B. C．－ D. A　[當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，當n＝1時，a1＝S1＝a＋，∴a＋＝， ∴a＝－.故選A.] 4．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，則S13＝(　　) A. B. C. D. D　[由題意，∵

3、a1＝2， n＝2時，a2＋a3＝22，n＝4時，a4＋a5＝24， n＝6時，a6＋a7＝26，n＝8時，a8＋a9＝28， n＝10時，a10＋a11＝210，n＝12時，a12＋a13＝212， S13＝2＋22＋24＋26＋28＋210＋212＝2＋＝.故選D.] 5．(2019·衡水模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，則m等于(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[在等比數(shù)列中，因為Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21， 所以am＝Sm－Sm－1＝－11－5＝－16，am＋1＝Sm＋1－Sm＝32.

4、則公比q＝＝＝－2，因為Sm＝－11， 所以＝－11， ① 又am＋1＝a1(－2)m＝32， ② 兩式聯(lián)立解得m＝5，a1＝－1.] 6．[一題多解]設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝4，an＋1＝Sn，n∈N*，則a5＝________. 32　[法一：由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，則Sn＋1＝2Sn.又S1＝a1＝4，所以數(shù)列{Sn}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn＝4×2n－1＝2n＋1，則a5＝S5－S4＝26－25＝32. 法二：當n≥2時，由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1，兩式相減，得an＋1－an＝an，即an＋1＝2an，所以數(shù)列{

5、an}是從第2項開始，公比為2的等比數(shù)列．又a2＝S1＝4，所以a5＝a2·23＝4×23＝32.] 7．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，記Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，則T2 020＝________. 　[由an＋2－2an＋1＋an＝0可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列， 則公差d＝a2－a1＝2－1＝1. ∴Sn＝na1＋d＝n＋＝. ∴＝＝＝2， ∴Tn＝21－＋－＋…＋－＝21－， ∴T2 020＝2＝.] 8．設(shè)某數(shù)列的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”．若一個首項為1，公差為d(d≠0)的

6、等差數(shù)列{an}為“和諧數(shù)列”，則該等差數(shù)列的公差d＝________. 2　[由＝k(k為常數(shù))，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0， ∵對任意正整數(shù)n，上式恒成立， ∴得∴數(shù)列{an}的公差為2.] [能力提升練] (建議用時：20分鐘) 9．已知正項數(shù)列{an}滿足a－2a－an＋1an＝0，設(shè)bn＝log2，則數(shù)列{bn}的前n項和為(　　 ) A．n B． C． D． C　[由a－2a－an＋1an＝0，可得(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0， 又

7、an＞0，∴＝2，∴an＋1＝a12n，∴bn＝log2＝log22n＝n. ∴數(shù)列{bn}的前n項和為，故選C.] 10．已知數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝4，bn＋2＝bn＋cos2，則該數(shù)列的前23項的和為(　　 ) A．4 194 B．4 195 C．2 046 D．2 047 A　[當n為偶數(shù)時，bn＋2＝bn＋cos2＝bn＋1，有bn＋2－bn＝1，即偶數(shù)項成等差數(shù)列，所以 b2＋b4＋…＋b22＝11b2＋×1＝99. 當n為奇數(shù)時，bn＋2＝2bn，即奇數(shù)項成等比數(shù)列，所以 b1＋b3＋…＋b23＝＝212－1＝4 095. 所以該數(shù)列的前23項的和為99

8、＋4 095＝4 194，故選A.] 11．[重視題](2019·惠州調(diào)研)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，對任意大于2的正整數(shù)n，記集合{x|x＝ai＋aj，i∈N，j∈N,1≤i＜j≤n}的元素個數(shù)為cn，把{cn}的各項擺成如圖所示的三角形數(shù)陣，則數(shù)陣中第17行由左向右數(shù)第10個數(shù)為________． 293　[設(shè)an＝a1＋(n－1)d(d≠0)，則ai＋aj＝2a1＋(i＋j－2)d，由題意知1≤i＜j≤n，當i＝1，j＝2時，i＋j－2取最小值1，當i＝n－1，j＝n時，i＋j－2取最大值2n－3，易知i＋j－2可取遍1,2,3，…，2n－3，即cn＝2n－3(n≥

9、3)．數(shù)陣中前16行共有1＋2＋3＋…＋16＝136(個)數(shù)，所以第17行由左向右數(shù)第10個數(shù)為c148＝2×148－3＝293.] 12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1－2n(n＋1)－(n＋1)an＝0，設(shè)bn＝，n∈N*. (1)證明：{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列的前n項和Tn. [解](1)因為a1＝1，nan＋1－2n(n＋1)－(n＋1)an＝0， 所以－＝2，所以bn＋1－bn＝2. 因為b1＝＝1， 所以{bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)得bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1，n∈N*， 所以＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋＋

10、， Tn＝＋＋…＋＋， 兩式相減，得Tn＝＋2×－＝＋2×－＝＋1－－＝－－， 故Tn＝3－－＝3－. 題號 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 數(shù)列的通項an與求和公式Sn的關(guān)系 由an與Sn的關(guān)系求通項公式常以小題形式出現(xiàn)，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸，分類討論等思想，難度適中 2 數(shù)列求和，對數(shù)運算an與Sn的關(guān)系 對數(shù)運算與數(shù)列交匯是高考的命題熱點之一，裂項相消法求和簡單易行，符合高考的命題形式 【押題1】　已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn，且an＋Sn＝2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 2－　[當n＝1時，由an＋Sn＝2n＋1知，a1＋S1＝2×1＋

11、1，即a1＋a1＝3，解得a1＝. 由an＋Sn＝2n＋1，① 知當n≥2時，an－1＋Sn－1＝2(n－1)＋1＝2n－1，② ①－②得an－an－1＋(Sn－Sn－1)＝2，即2an－an－1＝2， 即2(an－2)＝an－1－2，即an－2＝(an－1－2)， 故數(shù)列{an－2}是以a1－2＝－為首項，為公比的等比數(shù)列， 所以an－2＝－×＝－，即an＝2－. 【押題2】　已知數(shù)列{an}滿足a1＋＋＋…＋＝2n＋1－2(n∈N*)，bn＝log4an. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和Tn. [解](1)當n＝1時，a1＝2. 當n≥2時， a1＋＋＋…＋＝2n＋1－2， a1＋＋＋…＋＝2n－2，兩式相減得＝2n，即an＝22n－1， 當n＝1時滿足上式，故數(shù)列{an}的通項公式an＝22n－1. (2)因為bn＝log422n－1＝， ＝＝2. 所以Tn＝＋＋…＋ ＝2 ＝2＝. - 6 -