2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第66講 曲線與方程練習(xí) 理（含解析）新人教A版

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1、第66講　曲線與方程 1．已知點A(－2,0)、B(3,0)，動點P(x，y)滿足·＝x2，則點P的軌跡是(D) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 ＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，因為·＝x2，所以(－2－x)·(3－x)＋y2＝x2，即y2＝x＋6. 2．已知F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，則動點P的軌跡是(A) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．線段 由于|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2，所以P點軌跡為橢圓． 3．曲線f(x，y)＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱曲線的方程

2、是(D) A．f(x＋2，y)＝0 B．f(x－2，y)＝0 C．f(y＋2，x－2)＝0 D．f(y－2，x＋2)＝0 設(shè)(x0，y0)是f(x，y)＝0上任一點，它關(guān)于x－y＋2＝0的對稱點為(x，y)，則 解得 又f(x0，y0)＝0，所以f(y－2，x＋2)＝0. 4．設(shè)A1、A2是橢圓＋＝1長軸的兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為(C) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 設(shè)交點為P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)． 因為A1、P1

3、，P三點共線，所以＝，① 因為A2、P2，P三點共線，所以＝，② 解①②得x0＝，y0＝，代入＋＝1， 化簡得－＝1. 5．在圓x2＋y2＝9中，過已知點P(1,2)的弦的中點的軌跡方程為　(x－)2＋(y－1)2＝　. 設(shè)弦的中點為M，則OM⊥PM. 所以M在以O(shè)P為直徑的圓上， 故所求軌跡方程為(x－)2＋(y－1)2＝. 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓在x軸上截得的線段長為2，在y軸上截得的線段長為2，則圓心P的軌跡方程為　y2－x2＝1　. 設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r. 由題意y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，從而y2＋2＝x2＋3， 所以P點的軌跡方

4、程為y2－x2＝1. 7．(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足＝ . (1)求點P的軌跡方程； (2)設(shè)點Q在直線x＝－3上，且·＝1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. (1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)， 則N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)． 由＝ 得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因為M(x0，y0)在C上，所以＋＝1. 因此點P的軌跡方程為x2＋y2＝2. (2)由題意知F(－1,0)．設(shè)Q(－3，t)，P(m，n)，則 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m

5、－tn， ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. 所以·＝0，即⊥. 又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 8．點P是以F1、F2為焦點的橢圓上的一點，過焦點F2作∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為點M，則點M的軌跡是(D) A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓 連接OM，延長F2M交F1P的延長線于點Q， 則|PQ|＝|PF2|. 所以|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a. 因為OM

6、為△F1F2Q的中位線， 所以|OM|＝|QF1|＝a. 因此點M的軌跡是圓．故選D. 9．(2016·廣東佛山六校聯(lián)考)已知A(3,2)，B(1,0)，P(x，y)滿足＝x1＋x2(O為坐標(biāo)原點)，若x1＋x2＝1，則P點坐標(biāo)滿足的方程為　x－y－1＝0　. 因為＝x1＋x2， 所以(x，y)＝(3x1,2x1)＋(x2,0)＝(3x1＋x2,2x1)， 所以x＝3x1＋x2，y＝2x1，所以x－y＝x1＋x2＝1， 故P點坐標(biāo)滿足的方程為x－y－1＝0. 10．(2016·全國卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交

7、C的準(zhǔn)線于P，Q兩點． (1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ； (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程． 由題意知F(，0)， 設(shè)直線l1的方程為y＝a，直線l2的方程為y＝b， 則ab≠0，且A(，a)，B(，b)，P(－，a)， Q(－，b)，R(－，)． 記過A，B兩點的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0. (1)證明：由于F在線段AB上，故1＋ab＝0. 記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則 k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2. 所以AR∥FQ. (2)設(shè)l與x軸的交點為D(x1,0)， 則S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a||x1－|， S△PQF＝. 由題意可得|b－a||x1－|＝， 所以x1＝0(舍去)，x1＝1. 設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x，y)． 當(dāng)AB與x軸不垂直時， 由kAB＝kDE可得＝(x≠1)． 而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)． 當(dāng)AB與x軸垂直時，E與D重合，此時E點坐標(biāo)為(1,0)，滿足方程y2＝x－1. 所以所求的軌跡方程為y2＝x－1. 5