《2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第七單元 不等式與推理證明 第49講 數(shù)學歸納法練習 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第七單元 不等式與推理證明 第49講 數(shù)學歸納法練習 理(含解析)新人教A版(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第49講 數(shù)學歸納法
1.在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n-3)條時,第一步應驗證n等于(D)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.用數(shù)學歸納法證明:當n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除,第二步假設應寫成(D)
A.假設n=k (k為正奇數(shù))時命題成立,再推證n=k+1時命題成立
B.假設n=2k+1時 (k∈N*)命題成立,再推證n=2k+2時命題成立
C.假設n=2k+1時 (k∈N*)命題成立,再推證n=2k+3時命題成立
D.假設n=2k-1時 (k∈N*)命題成立,再推證n=2k+1時命題成立
k為正奇數(shù)時,k+1為正偶數(shù),A不正確;
2
2、k+1為正奇數(shù)時,2k+2為正偶數(shù),B不正確;
2k+1與2k+3 (k∈N*)雖為相鄰兩正奇數(shù),但1未包含其中,故C也不正確,應選D.
3.平面內(nèi)有k條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點.設k條直線的交點個數(shù)為f(k),則f(k+1)與f(k)的關系為(D)
A.f(k+1)=f(k)+k-1 B.f(k+1)=f(k)+k+1
C.f(k+1)=f(k)+k+2 D.f(k+1)=f(k)+k
當k條直線再增加一條時,這條直線與前k條直線都有交點,故當增加一條直線時,就增加了k個交點,即f(k+1)=f(k)+k.
4.設f(n)=+++…+ (n∈N*),那么f
3、(n+1)-f(n)等于(D)
A. B.
C.+ D.-
因為f(n)為從n+1到2n之間的連續(xù)正整數(shù)的倒數(shù)之和,
所以f(n+1)=++…+++,
故f(n+1)-f(n)=+-
=-.
5.用數(shù)學歸納法證明:1+++…+1),第一步要驗證的不等式是 1++<2 .
6.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2an(n∈N*),且a1=1,通過計算a2,a3,a4,猜想an= .
用不完全歸納法可得an=.
也可直接求出:
因為Sn=n2an,所以Sn-1=(n-1)2an-1(n≥2),
兩式相減得an=n2an-(n-1)2an-1,
4、即=(n≥2),
故an=a1···…·=.
7.設a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.
(1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項公式;
(2)用數(shù)學歸納法證明你的結論.
(1)因為a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=;
a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.
猜想:an=.
(2)證明:①易知,n=1時,猜想正確.
②假設n=k時,猜想正確,即ak=,
則ak+1=f(ak)=
=
=
=,
這說明,n=k+1時猜想也正確.
由①②可知,對于任意n∈N*,都有an=成立.
8.某個命題與正整數(shù)n有關
5、,若n=k (k∈N*)時該命題成立,那么可推得當n=k+1時命題也成立,現(xiàn)已知當n=5時該命題不成立,那么可推得(C)
A.當n=6時該命題不成立 B.當n=6時該命題成立
C.當n=4時該命題不成立 D.當n=4時該命題成立
如果n=4時命題成立,那么由題設,可推得n=5時命題也成立,上面的判斷作為一個命題,它的逆否命題是:如果n=5時命題不成立,那么n=4時命題也不成立,依據(jù)原命題等價于逆否命題,即原命題成立,則逆否命題也一定成立,應選C.
9.平面上有k個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,并且每三個圓都不交于同一點,則在k個圓的基礎上再增加一個圓,k+1個圓將平面分成的區(qū)域在
6、k個圓的基礎上增加 2k 塊.
當n=k+1時,平面上增加了第k+1個圓,它與原來的k個圓的每一個圓都相交于兩個不同的點,共2k個交點,這2k個交點將第k+1個圓分成2k段弧,每段弧將原來的一塊區(qū)域隔成了兩塊區(qū)域,故區(qū)域共增加了2k塊.
10.設數(shù)列{}的前n項和為Sn.
(1)求Sn;
(2)問是否存在自然數(shù)n0,使得對n>n0的一切自然數(shù)n都有Sn>2-?若存在,求最小的自然數(shù)n0,并證明你的結論;若不存在,請說明理由.
(1)Sn=+++…+,①
Sn=+++…+,②
由①-②得
Sn=+++…+-
=-=1--.
所以Sn=2--=2-.
(2)要Sn>2-,只需<,亦即<1.
①當n=6時,==<1成立.
②假設當n=k(k≥6)時不等式成立,即<1.
則當n=k+1時,
=·
<<1.
由①②可知,當n>5時,<1,即Sn>2-.
而當n=5時,=>1,從而Sn<2-.
因此,存在最小的自然數(shù)n0=5,對n>n0的一切自然數(shù)n都有Sn>2-成立.
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